Geometry of Hamiltonian SystemsEdit
ハミルトニアンは、いくつかの異なる、しかし同等の方法で、滑らかな偶数次元多様体M2n上のシンプレクティック構造を誘導することができ、そのうち最も知られているのは次のとおりです：
As a closed nondegenerate symplectic 2-formω. Darbouxの定理により、M上の任意の点p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},q_{1},\cdots ,q_{n}} の近傍にある局所座標では、以下のようになる。
はシンプレクティック形式 ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {displaystyle \ =sum _{i=1}^{n}dp_{i} wedge dq_{i}} が存在する。
このとき、局所座標 p, q は canonical または symplectic と呼ばれます。
により、自然同型性 T x M ≅ T x ∗ M {displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M} が構成される。
of tangent space T x M {displaystyle T_{x}M}.
とコタンジェント空間 T x ∗ M . {displaystyle T_{x}^{*}M.}.
これはベクトルξ∈T x M {displaystyle \in T_{x}M} を写像することにより行われる。
から1-form ωξ∈T x ∗ M , {displaystyle \omega _{xi }in T_{x}^{*}M, }
where ω ξ ( η ) = ω η , ξ ) , {Displaystyle \ _{xi }(\eta )=themega (\eta ,\xi ),}
for an arbitrary η∈T x M . T_{x}M.} {displaystyle ↵T_{x}M.
ωの双線形性と非degeneracy、{displaystyle \omega ,}
およびd i m T x M = d i m T x ∗ M, {displaystyle \mathop {\rm {dim}} により、[displaystyle]で[dim}]を選択すると、[displaystyle]が[displaystyle]になります。 T_{x}M=mathop {rm {dim}} T_{x}^{*}M,}
the mapping ξ → ω ξ {displaystyle \toomega _{xi }} {displaystyle ╱╱╱╱╱╱╱ㄬ
は確かに線形同型である。 この同型性は、M上の座標を変えても変わらないという点で自然である。 {displaystyle M.}.
これを各x∈Mについて繰り返すと、{Θdisplaystyle x\ in M,}
同型J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)to \Omega ^{1}(M)} が得られます。
平滑ベクトル場の無限次元空間と平滑1-形式の空間との間。 For every f , g∈C ∞ ( M , R ) {displaystyle f,g}in C^{Thinkinfty }(M,\mathbb {R} )} ｝。
and ξ , η∈Vect ( M ) , {displaystyle ξ ,\eta \in {text{Vect}}(M),}
J – 1 ( f ξ + g ηη ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {displaystyle J^{-1}(fxi +g}eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).} ←クリックすると拡大します。
（代数学的に言えば、C ∞ ( M , R ) {displaystyle C^{infty }(M,\mathbb {R} )}のようになります。
-modules Vect ( M ) {displaystyle {Cext{Vect}}(M)}} 。
and Ω 1 ( M ) {displaystyle \Omega ^{1}(M)} } ←クリックすると拡大します。
は同型である）。 H∈C ∞ ( M × R t , R ) , {displaystyle Httpin C^{Enfty }(Mtimes \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}
ならば、全ての固定t ∈ R t に対して、, {d H∈Ω 1 ( M ) , {displaystyle dH}in \Omega ^{1}(M),}
and J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {J(dH)Γin {text{Vect}}(M).}となる。
J ( d H ) {displaystyle J(dH)} ｛Displaystyle J(dH)｝ .
はハミルトンベクトル場と呼ばれる。 M上のそれぞれの微分方程式{displaystyle M} は
x ˙ = J ( d H ) ( x ) {displaystyle { {dot {x}}=J(dH)(x)}} {displaystyle { {dot {x}}=J(dH)(x)
はハミルトン方程式と呼ばれる。 ここで x = x ( t ) {displaystyle x=x(t) } とする。
and J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}.
はベクトル場 J ( d H ) {displaystyle J(dH)} の（時間に依存した）値である。
at x ∈ M . {displaystyle x in M.}.
ハミルトン系は時間R上の繊維束Eとして理解することができ、繊維Et、t∈Rが位置空間となる。 ラグランジアンはE上のジェットバンドルJ上の関数であり、ラグランジアンを繊維方向にレジェンドル変換すると、tでの繊維が共伴空間T＊Etである時間上のデュアルバンドル上の関数となり、この関数は自然シンプレクティック形式を備え、後者がハミルトニアンとなる。 4434>
シンプレクティック多様体上の任意の滑らかな実数値関数 H は、ハミルトン系を定義するのに使用することができます。 この関数Hは “ハミルトニアン “または “エネルギー関数 “として知られている。 シンプレクティック多様体は、位相空間と呼ばれる。 ハミルトニアンは、シンプレクティック多様体上にハミルトン・ベクトル場と呼ばれる特殊なベクトル場を生成する。 これは多様体の変換の1パラメータ族（曲線のパラメータは一般に「時間」と呼ばれる）、言い換えれば、同一性から始まるシンプレクティック多様体のアイソトピーである。 Liouvilleの定理により、各共変は位相空間上の体積形式を保存する。 ハミルトン流が引き起こす交叉同型の集まりは、一般にハミルトン系の「ハミルトン力学」と呼ばれる。
交叉構造はポアソンブラケットを引き起こす。 ポアソンブラケットは多様体上の関数空間にリー代数の構造を与える。
FとGがM上の滑らかな関数であれば、滑らかな関数ω2（IdG、IdF）が適切に定義され、関数FとGのポアソンブラケットと呼ばれ、{F、G}と表記される。 ポアソンブラケットには次のような性質がある：
- bilinearity
- antisymmetry
- { F 1⋅ F 2 , G }. = f 1 { f 2 , g }. + f 2 { f 1 , g }. {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
（ライプニッツ則）
- { { H , F } 。 , G } + { { F , G } }. , H } + { { G , H }. , F } ≡ 0 {displaystyle \{H,F},G}+theat{F,G},H}+theat{G,H},F}equiv 0}
(Jacobi identity)
- non-degeneracy: if point x on M is not critical for F then a smooth function G exist that { F, G }. ( x ) ≠ 0 {displaystyle \{F,G}(x)\neq 0}
.
Given a function f
d d t f = ∂ t f + { f , H } ∂ ∂ ゙ t f + { f , H } ゙ t f = ∂ ∂ ゙ t f + { f , H , {displaystyle {frac {}mathrm {d}. }{mathrm {d} t}}f={thefrac {thefpartial }{partial t}}f+left{f,{thefmathcal {H}}right},}
もし確率分布があれば、その確率分布は次のようになります。 ρ, ならば（位相空間速度 ( p ˙ i , q ˙ i ) {displaystyle ({dot {p}}_{i},{dot {q}}_{i})}} は、以下のようになる。
は発散がゼロで確率は保存される）その対流微分はゼロであることを示すことができるので ∂ t ρ = – { ρ , H } となる。 {displaystyle {frac {}partial }{}partial t}} {rho =-Yehleft}{rho ,{}mathcal {H}}right}}
これをリウヴィルの定理という。 シンプレクティック多様体上のあらゆる滑らかな関数Gはシンプレクティック同形の1パラメータ族を生成し、{G, H} = 0ならGは保存され、シンプレクティック同形は対称変換である。
ハミルトニアンは複数の保存量Giを持つことができる。 シンプレクティック多様体の次元が2nで、インボリューションにある関数的に独立な保存量Giがn個ある（すなわち{Gi, Gj}=0）場合、ハミルトニアンはリュービル可積である。 Liouville-Arnoldの定理は、局所的には、任意のリウビル可積分ハミルトニアンは、保存量Giを座標とする新しいハミルトニアンにsymplectomorphismを介して変換することができると言っています。 変換されたハミルトニアンはGiにのみ依存し、したがって運動方程式は
G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {displaystyle {dot {G}_{i}=0quad ,\quad {dot {}varphi }}_{i}=F_{i}(G)} という単純な形式を持つ。
ある関数Fに対して、KAM定理によって支配される可積分系からの小さな逸脱に焦点を当てた分野全体があります。 一般にハミルトン系はカオスであり、測度、完全性、可積分性、安定性の概念が曖昧である。
Riemannian manifoldsEdit
重要な特殊ケースは、ハミルトニアンが2次形式であること、つまり。 H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {displaystyle {mathcal {H}}(q,p)={}tfrac {1}{2}langle p,p}rangle _{q}}} として記述できるハミルトニアンは、次のとおりである。
ここで⟨ , ⟩qは構成空間における点qへの共伴空間T*
qQという繊維上の滑らかに変化する内積で、コメトリックスと呼ばれることもあります。 このハミルトニアンは運動項のみからなる。
リーマン多様体または擬リーマン多様体を考えた場合、リーマンメトリックは接線束と共接線束の間に線形同型を誘導する。 (音楽的同型性参照)。 この同型性を利用して、コメトリックスを定義することができる。 (座標系では、コメトリックスを定義する行列は、メトリックを定義する行列の逆行列になります)。 このハミルトニアンに対するハミルトン-ヤコビ方程式の解は、多様体上の測地線と同じになります。 特に、この場合のハミルトン流は測地線流と同じものである。 このような解の存在と、解の集合の完全性については、測地線の記事で詳しく説明されています。 ハミルトン流としての測地線も参照。
Sub-Riemannian manifoldsEdit
コメトリックスが縮退しているときは、反転しないことになります。 この場合、メトリックを持たないので、リーマン多様体にはならない。 しかし、ハミルトニアンは依然として存在する。 配置空間多様体Qのすべての点qでコメトリックスが縮退しており、コメトリックスのランクが多様体Qの次元より小さい場合、亜リーマン多様体が存在する。
この場合のハミルトニアンは亜リーマンハミルトニアンと呼ばれる。 このようなハミルトニアンはすべてコメトリックスを一意に決定し、その逆もまた然りである。 このことは、すべてのサブリーマン多様体がそのサブリーマンハミルトニアンによって一意に決定されること、またその逆も真であり、すべてのサブリーマン多様体は一意のサブリーマンハミルトニアンを持つことを意味する。 サブリーマン測地線の存在はChow-Rashevskiiの定理によって与えられる。
連続した実数値のハイゼンベルグ群はサブリーマン多様体の簡単な例を提供している。 ハイゼンベルグ群の場合、ハミルトニアンは
H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {}displaystyle {}mathcal {H}} {}left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}right)={}tfrac {1}{2}}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}right)} {}p_z} {H}leフト{}={}mathcal {H}} {}right{}left(x,y,z,p_{x}+p_{y}^{2}right)
pzはハミルトニアンに関与しない。
ポアソン代数の編集
ハミルトン系はさまざまに一般化することができる。 シンプレクティック多様体上の滑らかな関数の代数を単純に見るのではなく、ハミルトン力学は一般の可換ユニタル実ポアソン代数の上で定式化することができる。 状態は、代数の任意の要素Aに対して、A2が非負の実数に写像するようなポアソン代数（ある適切なトポロジーを備えた）上の連続線形汎関数である
さらなる一般化は、南部力学によって与えられる。
Poisson bracketによる量子力学への一般化Edit
上記のハミルトンの方程式は古典力学ではよく働くが、量子力学ではうまくいかない。なぜなら、議論されている微分方程式は、任意の時点で粒子の正確な位置と運動量を同時に特定できることを仮定しているからである。 しかし、この方程式はさらに一般化され、p と q 上のポアソン代数をモイヤル括弧の代数に変形することによって、古典力学だけでなく量子力学にも適用できるように拡張される。
具体的には、ハミルトン方程式のより一般的な形式は、
d f d t = { f , H } となる。 + ∂ f ∂ t {displaystyle { {frac {}mathrm {d} f}{}mathrm {d} t}}=}left{f,{}mathcal {H}} ✂+{frac {partial f}{partial t}}}} {displaystyle {}mathm {f} t} {}mathrm {d} f}{}mathrm {d} t} {}path
ここで、fはpとqの何らかの関数、Hはハミルトニアンである。 微分方程式に頼らずにポアソン括弧を評価する方法については、リー代数学を参照。 これらのポアソン括弧は、Hilbrand J. Groenewoldによって証明されたように、非等価なリー代数に準拠したモイヤル括弧に拡張することができ、それによって位相空間における量子力学の拡散を記述できる（位相空間定式化とWigner-Weyl変換を参照のこと）。 このような代数的アプローチは、位相空間における確率分布をウィグナー準確率分布に最終的に拡張することを可能にするだけでなく、単なるポアソンブラケット古典的設定において、システム内の関連する保存量の分析に役立つ力を与えてくれる
。