数学は数のゲームであり、数はどこにでもあります。 そして、そのゲームのルールは、数字に関連する性質や規則です。 性質があれば、頭の中で答えを素早く簡単に計算することができます。 性質とは、数字が従う特別なルールにほかなりません。 すべての数学の体系が従う、数の3つの基本的な性質があります。 可換性、連想性、および分配性です。 これらの性質は、4つの演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）の特徴であり、扱う数字に関係なく常に適用されます。 しかし、次の記事では、可換・連想の性質だけを取り上げます。

可換・連想の性質は、いずれも足し算・掛け算の操作に適用されるルールです。 これらの性質は代数学で問題解決に役立つ法則として使われています。 可換性は移動することを意味する「commute」という言葉に由来し、足したりかけたりしている数を入れ替えることができることを指しています。 連想性は「連想する」「グループ化する」という言葉に由来し、3つ以上の数をどのようにグループ化しても、括弧を使ってグループ化することを指します。 どのように数字をグループ化し直しても、結果は同じになります。

「可積」とは

たとえば、2と5を足しても、5と2を足しても同じ答えになることが分かっていますね。 足し算の問題では、結果を変えることなく数字の順番を変えることができます。 このような数と足し算に関することを「足し算の可換性」といいます。 つまり、足し算は可換演算であると言えるのです。 同様に、乗算も可換演算である。

加算の可換性：

a + b = b + a

3 + 4 = 7 は 4 + 3 = 7

数の順序にかかわらず結果は同じになる。

乗法の可換性：

a × b = b × a

3 × 7 = 21 は 7 × 3 = 21

同様に、数字の順序に関係なく結果は同じになる。

連想性とは何か

連想性は、我々が使う別の性質で、再グループ化に関係するものである。 たとえば、2 + 3 + 5 を足すとき、最初に 2 と 3 を足してから 5 を足すか、最初に 3 と 5 を足してから 2 を足します。数学的には、次のようになります。 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. このような動作をする演算を連想演算と呼びます。 1251>

Associative property of addition:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

数字をどうグループ化しても結果は同じになるのである。

乗法の結合性：

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

なので、数字でのグループ分けは結果を変えないのである。

可換性と連想性の違い

意味

– 可換性は「移動する」という意味の「commute」から来ており、足したりかけたりしている数字を順番に関係なく入れ替えることができることを指します。 一方、連想性は「連想する」「グループ化する」という言葉に由来し、3つ以上の数をどのようにグループ化しても、括弧を使ってグループ化することを指します。

Rule

– 足し算の可換則は、a + b = b + a、つまり、aとbを足しても、bとaを足しても同じ結果になることを意味しています。 この足し算の法則を足し算の可換性という。 同様に、掛け算も可換演算であり、a×bはb×aと同じ結果になる。一方、連想特性は、数のグループ化について言及した規則である。 足し算の連想則は、a＋（b＋c）は（a＋b）＋cと同じになる。同様に、掛け算の連想則は、a×（b×c）は（a×b）×cと同じになる。

例

– 加算の commutative property（可換の性質）: 1＋2＝2＋1＝3

乗法の可換性：2×3＝3×2＝6

加算の連想性：1＋2＝2＋1＝3

。 5＋(3＋7)＝(5＋3)＋7＝15

乗法の結合性：5＋(3＋7)＝(5＋3)＋7＝15

。 5×(2×4)=(5×2)×4=40

可換型と連想型の違い。 比較表

まとめ

一言で言えば、可換性は連想性と混同してはいけない性質です。 可換性は、足し算や掛け算の演算において、数の順序を変えても結果は同じだから大丈夫、というものです。 一方、連想特性は、足し算・掛け算の演算において、数値や変数をどのようにグループ化しても結果は同じになるというものです。