相互排他的事象と非相互排他的事象
前回の演習で、難しい確率はシミュレーションをしたり大数の法則を使えば分かることを学習しましたね。 理論的な確率は、状況に応じてさまざまな方法で計算することができます。
相互排他的事象とは、同時に起こることができない事象のことです。 例えば、右折と左折、サイコロの偶数と奇数、ゲームの勝ち負け、走ることと歩くことなどです。
互いに排他的でない事象とは、同時に起こる可能性のある事象のことです。 例：車を運転しながらラジオを聞く、サイコロの目が偶数と素数、ゲームに負けて得点する、走って汗をかくなどです。
相互に排他的でない事象は、確率の計算をより複雑にします。
Games Fair Reflection
Games Fairでシングルカードフリップゲームをもう一度やり直します。
相互排他的事象の定義を適用して、このゲームの異なるポイント結果は相互排他的ですか、それとも非相互排他的ですか？
確率の計算方法について、時間をかけて考えて書き出してください。
GamesFair
Long Description
確率を相互排他的事象としてのみ理解することの問題は、これらの事象を単純化する意味がないように単純化していることにあります。 それは、人が良いことをしてお金を稼ぐことはできない、あるいは、数学が得意で非常に創造的であることはできないと言っているのと同じくらい悲劇的なことです。 次のビデオは、事象を相互に排他的でないものとして認識することの重要性を示しています。
Venn Diagrams
これは、52枚のカードからなる標準的なデッキのすべてのカードを表示したベン図です。 Aは非フェイスカードの集合で、A’はフェイスカードです。
ベン図は事象を表示する方法であり、1つの事象のみが発生する単純な状況を表示するのに使用できる。
複数の事象を表示するのにも使用できる。
相互に排他的ではない事象を表示するときに特に有用である。
このアクティビティでは、2つまたは3つのイベントを一度に表示し、イベント間の関係を分析するために使用します。
集合の交わり
Minds Onの50人の患者の問題のベン図を考えてみましょう。
二つの集合の「交点」、AとBの要素に
という表記を用います。
この例では、
は症状の重なり、つまり頭痛 “AND” インフルエンザ症状の両方を持つ患者を表しています。
この交差点を “AND” という単語で知ることになります。
Record Your Work
ある患者が両方の症状を持っている確率を計算するために、”AND “に該当する人が何人いるか調べてくださいと言われていますね。 やり方は一つしかないのでご安心ください。
下のインタラクティブを使ってベン図を作成し、例の両方の症状を持っている人の人数を求めます。
インフルエンザの季節の始まりに、ある医師が2日間で50人の患者を診察しました。 30人は頭痛、24人は風邪、12人はどちらでもない。 中には両方の症状を持っている患者もいる。 無作為に選んだ患者が両方の症状を持つ確率は何％か？
VennDiagram
Long Description
|
In Words |
イン・ワールド。 記号 |
In Symbols |
|---|---|---|
|
All Red |
n(A) = |
P(A) = |
|
All number |
n(B) = |
P(B) = |
|
全カード |
n(S) = |
P(S) = |
|
交わりです。 数字と赤の両方 |
|
|
|
赤のみ（数字カードでない赤カード） |
|
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ナンバーのみ（レッドカードではないナンバーカード） |
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ユニーです。 赤か数字 |
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それ以外すべて |
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= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 包摂の原理-。Exclusion
Venn Diagramを考えてみよう。 n(A)とn(B)を足すと、交点部分を2回数えることになる。 要素の数を知るために2回数えてはいけない。 もし2回数えてしまった場合は、1回引くという簡単な修正方法があります。
包含・排除の原則は確率を決めるときに役立つ公式・考え方で、互いに排他的でない事象に使用されます。
これは次のように書くことができます：
または言い換えると、A “OR” Bの要素の数は、Aの要素の数＋Bの要素の数からA “AND” Bの要素の数を引いたものと同じです。
学習の応用
包含排除の原理を表す式を使って元の問題を解く：
インフルエンザの季節に入り、医師が2日間で50人を診察することになる。 30人は頭痛、24人は風邪、12人はどちらでもない。 中には両方の症状を持っている患者もいる。 無作為に選んだ患者が両方の症状を持つ確率は何％か？
解答の手順を示し、説明しなさい（定義：自明でないこと、他に示されていないような少し考えなければならないことについては、時間をかけて説明を書きなさい）。
解答
- 8 have just a cold,
- 14 have just a headache,
- 16 have both.といった具合です。
3つのイベントを使ったベン図
ベン図と互いに排他的なイベントは、2つの異なるイベントだけで使用されているわけではありません。 より複雑ではあるが、3つのイベントもベン図で使用することができる。
例
Eastside Secondaryの学生サービス部門は、12年生の生徒数をカウントしたいと考えています。 彼らはすべての生徒が数学、英語または科学を履修していることを知っています。 彼らはそれを発見しました。
- 64人が数学
- 56人が英語
- 82人が科学
- 20人が数学と英語
- 25人が数学と科学
- 21人が英語と科学
- 12人が3コース全部を履修していることが判明した。
下の図のような3つの事象のベン図を作りなさい。 各生徒が1つのカテゴリにしか入らないように注意して、ベン図の各セクションを埋めてください。
- 生徒の総数は何人ですか。
- ランダムに生徒が数学と理科を履修する確率は何ですか。
- 生徒が3つのうちちょうど2つを履修する確率は何ですか。
解答
- 3つとも12、
- EとSでは9だがMでは無い。
- 13 MとSでE以外、
- 8 MとEでS以外、
- 48 Sだけ、
- 27 Eだけ、
- 31 Mだけ。
この問題のヘルプは、次の類似の例を参照してください。