算数は、作り物の規則を使って、モデルや関係を作り上げるものです。
- このモデルはどのような関係を表しているか？
- この関係を共有する現実のアイテムは何か？
- この関係は私にとって意味があるか？
これらの質問は単純ですが、新しいテーマを理解するのに助けになります。 もしあなたが私の数学の記事を気に入ってくれたなら、この記事は、しばしば悪者にされるこの科目に対する私のアプローチについて説明しています。
数学教育
教科書は理解に焦点を当てることはほとんどなく、「プラグ アンド チャグ」式で問題を解くことがほとんどです。
- ピタゴラスの定理は三角形についてだけではありません。 似たような形同士の関係や、任意の数の集合の間の距離など、もっと多くのことについてです。 それは、すべての成長率の間の基本的な関係についてです。
- 自然対数は単なる逆関数ではありません。
エレガントで「ハッ！」とするような洞察に焦点を当てるべきですが、それは生徒が自分でランダムにつまずくのに任せています。 私は大学時代に地獄のような詰め込み勉強をした後に「あっ」と思いました。それ以来、他の人が同じ苦しみを味わわないように、そうした啓示を見つけて共有したいと思っています。 より多くの理解、より少ない痛み、そして誰もが得をします。
時間とともに進化する数学
私は数学を思考方法と考え、結果だけを示すのではなく、その思考がどのように発展したかを見ることが重要だと思います。 例を挙げてみましょう。
あなたが原始人で、数学をやっていると想像してください。 最初の問題の1つは、ものをどう数えるかということでしょう。
どの方式が正しいということはなく、それぞれに利点があります：
- 単項方式。 砂の中に線を引く — 非常にシンプル。 ゲームのスコアをつけるのに最適で、消したり書き直したりすることなく数字を足すことができます。 より高度な単項式、大きな数字のためのショートカットを持つ。
- 小数：数字は場所とゼロを持つ「位置」システムを使用できることを大きく認識した。 2進法：最も単純な位置システム（2桁、オンとオフ）なので、機械装置には最適です。 非常にコンパクトで、数値のサイズと精度 (1E3 と 1.000E3) を簡単に測定できます。
これで終わりですか? とんでもない。 1000年後には、10進数がローマ数字と同じくらい古風に見えるようなシステムになっているでしょう（「By George, how did they manage with such clumsy tools?」）
Negative Numbers Are Not That Real
数字についてもう少し考えてみましょう。 上の例は、私たちの数システムが「数える」問題を解決するための多くの方法のうちの1つであることを示しています。
ローマ人はゼロと分数を奇妙だと考えたでしょうが、「無」や「部分から全体へ」が有用な概念でないことを意味するわけではありません。
分数（1/3）、小数（.234）、複素数（3＋4i）は新しい関係を表現する方法であり、それぞれのシステムが新しい考えをどのように取り入れたかを見てみましょう。 ローマ人にとってゼロが「意味をなさない」のと同じように、今は意味をなさないかもしれません。
それでも、あなたがここで私を納得させるように、負の数は私たちが考えるようには存在しないかもしれません：
あなたです。 負の数は素晴らしいアイデアだが、本来は存在しない。 それは我々が概念に適用するラベルです。
私: 確かにそうです。
あなた。
私：えーと…あなたが農夫で、3頭の牛を失ったと仮定します。
私：いや、つまり、あなたは3頭の牛を友人にあげました。 OK、彼は3頭持っていて、あなたは0頭です。
私：いや、彼はいつか返すつもりなんですよ。
あなた。 あ、そうなんだ。 だから実際に持ってる数字(-3か0)は彼が返してくれると思うかどうかで決まるんだよ。 私の意見によって、カウントの仕方が変わるとは思いませんでした。 私の世界では、ずっと0でした。
私：はぁ。 そんなもんじゃないんだよ。 牛を返してもらったら、-3から3になるんだよ。
君。 OK、つまり彼が牛を3頭返すと、-3から3へ6回ジャンプするのか？ 他に知っておくべき新しい算術はありますか？ sqrt(-17) cowsってどんな感じ？
俺：出て行け。
負の数は関係を表すことができる：
- 正の数は牛の余りを表す
- ゼロは牛がいないことを表す
- 負の数は返済を前提とした牛の赤字を表す
しかし負の数は「実際にはない」–そこには関係（牛の余剰・欠損）だけが表されているのである。 私たちは、-3頭の牛を手に取ることはできないけれど、簿記に役立つように「負の数」のモデルを作りました。 (「負」の意味について、あえて違う解釈をしました。ローマ数字と小数が違う数え方であるのと同じです。)
ところで、1700年代まで、西洋の数学者を含む多くの人々に、負の数は受け入れられませんでした。 負という考え方は「不合理」だと考えられていたのです。
Why All the Philosophy?
私は、自分の**マインドセットが学習の鍵であることに気づきました。 **その結果、私は深い洞察に到達することができました。 ハンマーは釘を打つ」という知識は、「どんな硬いもの（石やレンチ）でも釘を打つことができる」という洞察と同じではありません。
ある大学教授が有名な禅僧を訪ねに行った。 老師が静かにお茶を出す間、教授は禅について話した。 老師は客人の杯を満たし、さらに注ぎ続けました。 教授は、溢れ出す茶碗を眺めているうちに、我慢ができなくなった。 満杯だ！」。 もうこれ以上は入らない！」教授はぼやいた。 「あなたはこの杯のようなものです」と師匠は答えた。「まずあなたの杯を空にしない限り、どうやってあなたに禅を示そうか」
- 創造的であれ。 奇妙な関係を探せ。 図を使え。 ユーモアを使え。 アナロジーを使え。 ニーモニクを使え。 アイデアをより鮮明にするものなら何でも使ってください。 アナロジーは完璧ではないが、一般的なアイデアに悩むときに役立つ。
- 自分が学べることを認識する。 私たちは子供たちに、古代ギリシャ人が驚くような代数学、三角法、微積分を学ぶことを期待しています。 そして、そうすべきなのです。正しく説明されれば、私たちは多くのことを学ぶことができるのです。 意味がわかるまでやめないでください。そうしないと、数学的なギャップがあなたを悩ますことになります。
So What’s the Point?
私が発見したことを共有したいと思います。 その関係をよりよく説明する新しいモデルが現れるかもしれない（ローマ数字を10進法に）
確かに、使い道がないように見えるモデルもありますね。 多くの学生が「虚数は何の役に立つのか」と質問します。
虚数の使用は、私たちの想像力と理解力によって制限されます。負の数が借金の考えを持たなければ「役に立たない」ように、虚数はそれらが表す関係を本当に理解していないため、混乱することがあります。 私は、証明や力学ではなく、関係に焦点を当てることで、複素数や微積分、その他のとらえどころのないトピックをカバーしたいと思っています」
でもこれは私の経験です — あなたはどうやって学ぶのが一番いいですか？
- Ed Latimore 氏のように、何人かの友人が自分の経験を書いています。
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