この記事では、順列と組み合わせの問題について学習します。

Permutations

Definition

Permutations とは、アイテムのコレクションを配置することができる異なる方法である。

例えば、アルファベットA、B、Cを一度にまとめてグループ化する方法は、ABC、ACB、BCA、CBA、CAB、BACです。

配列の順番が違うのでABCとCBAは同じではないことに注意してください。 順列の問題を解くときも同じです。

一度にn個のものを並べることができる数、nPn＝n！です。 nの階乗」といいます。

階乗の式

ある数nの階乗は、nから1までのすべての数の積と定義します。

たとえば5の階乗、5！=5*4*3*2*1=120となります。

したがって、3文字を一度に並べることができる数は、3！=3*2*1=6通りです。

n個のものをr個ずつ並べた順列の数、で表されます：

nPr = n! / (n-r)!

例えば:

2つずつ並べた3文字の並べ方は、3!/(3-2)! = 3!/1!

重要な順列の公式

1! = 1

0! = 1
それでは、いくつかの例を見てみましょう：

問題1：「CHAIR」という単語の文字でできる、意味を持つまたは持たない言葉の数を求めよ。

解答：

「CHAIR」は5文字からなる。

したがって、この5文字でできる単語の数＝5！＝5*4*3*2*1＝120

＜3921＞問題2：単語「INDIA」の文字でできる単語の数、意味のあるものとないものの数を求めよ。

解答：

単語「INDIA」は5文字で、「I」が2回出てきます。

ある文字が単語中に複数回出てくる場合、単語中の全ての文字の数の階乗をそれぞれの文字の出現数で割ってみます。

したがって、「INDIA」によって形成される単語の数＝5！/2！＝60。

問題3：単語「SWIMMING」の文字で形成できる単語の数（意味を持つか持たないか）を求めよ

解答：

「SWIMMING」には8文字が入っている。

したがって、この単語から形成される単語の数 = 8! / (2!*2!) = 10080。

問題4：単語「SUPER」の文字で、母音が常に一緒になるような単語はいくつできるか？

解決：

単語「SUPER」は5文字で構成されています。

そこで、母音UとEが一緒になる順列の数を求めます。

この場合、一緒になるべき文字をグループ化して、そのグループを1文字とみなします。 これで単語の数は4つです。

したがって、4つの文字の並び方は4通りです！

UとEでは、UとEの並び方は2通りです！

したがって、「SUPER」の文字のうち、母音が常に一緒になるように配置できる方法の総数は4通りです！

そして、「SUPER」の文字のうち、母音が一緒になるように配置できる方法の総数は4通りです！

そして、UとEの並び方は、2通りとなります！

そして、UとEでは、Uの並び方は2通りとなり、Eでは、Eの並び方は3通りとなります * 2! = 8909>

問題5：「BUTTER」という単語の母音が常に一緒になるように、その文字で形成できる単語の数を求めよ

解答：

「BUTTER」という単語には6文字ある。

UとEは常に一緒に来るべきである。 つまり、B、T、T、R、（UE）です。

上の文字を並べることができる数＝5！/2！＝60（「T」の文字が2回繰り返されているので）

UとEを並べることができる数＝2！/2！＝60（UEが2回繰り返されているので）

上の文字を並べることができる数＝5！/2！＝60（Tが2回繰り返されているので）

したがって、可能な並べ換えの総数は = 60*2 = 120通り
問題6：単語「REMAINS」の文字のうち、母音が常に奇数の場所に出現するような並べ換えの数を求めよ。

解答：

「REMAINS」という単語は7文字ある。

子音が4つ、母音が3つある。

次のように記述すると、この種の問題を簡単に解けるようになります。

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

3つの母音が4か所に出現する方法＝4P3＝24通り。

3つの母音が3か所を占める後、4つの子音が4か所に占める方法＝4P4＝4！

4か所を占める後、3つの子音は4か所に出現する。 = 8909>

したがって，可能な順列の総数 = 24*24 = 576通り。

Combinations Definition ある項目の集合から可能な異なる選択を組み合わせと呼ぶ．

例えば：

アルファベットA, B, Cから一度に2つずつ選択できるのはAB, BC, CAである。

一度にr個取り出したある品目群nから可能な組み合わせの数を求めるには、

nCr = n!!!で表される。 /

例えば、上記の例を検証すると、アルファベットのA、B、Cから一度に2つずつ選択できるのは、

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3つの選択が可能である。 AB, BC, CA）

重要な組み合わせの公式

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

A, B, C, すべて一度にとって、選択できる数3C3 = 1（つまり、. ABC）

組合せの解答例

組合せの働きを理解するために、いくつかの例を見てみましょう。

解答：

男性3人のグループから男性1人を選ぶことができる方法＝3C1＝3！

男性3人のグループから男性1人を選ぶことができる方法は何通りか？ / 1!*(3-1)!

女性4人のグループから女性3人が選ばれる方法 = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4通り

問題2：黒球5個と赤球3個のセットのうち、少なくとも3個が黒球となるような5個の球の選択は何通りできるか。

解答：

5個のボールのセットのうち、少なくとも3個の黒いボールの選択は、

3 Bと2 R

4 Bと1 Rと

5 Bと0 Rボールであれば可能である。

したがって、解答式は次のようになります。
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46通り .

問題3：3、5、7、8、9、0から10で割り切れる4桁の数字で、繰り返しのない数字はいくつできるか

解答：

10で割り切れる数字なら、その単位の場所には0があるはずである。
_ _ _ 0

単位に0を入れた後、十の位は他の5桁で埋めることができます。

5桁から1桁選ぶには5C1=5通りあります。

10位を埋めたら4桁残りました。 4桁のうち1桁を選ぶには4C1＝4通り。

百の位を埋めた後、千の位を埋めるには3C1＝3通り。

したがって、可能な組み合わせは5*4*3＝60通り。

Permutations and Combinations Quiz

これらの練習問題に挑戦してください。

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