世界一賢い女性をみんなが「矯正」した時代

マリリン・ボス・サヴァンは誰が見ても天才児であったと言えるでしょう。

1946年にミズーリ州セントルイスで生まれた若きサヴァンは、すぐに数学と科学への適性を身につけました。 10歳のとき、彼女はスタンフォード・ビネットとメガ・テストの2つの知能テストを受け、いずれも彼女の精神力は23歳のものであると判定された。 その後、「世界最高のIQ」としてギネスブックに登録され、世界的に有名になった。

「世界一賢い女性」としての地位にもかかわらず、ボス・サヴァンは知能を測る試みは「役に立たない」と主張し、IQテストを信頼できないものとして否定した。 1980年代半ば、進路を自由に選べるようになった彼女は、荷物をまとめてニューヨークへ渡り、作家になることを決意しました。 その後まもなく、彼女は「マリリンに聞け」という、今では有名な週刊コラムを立ち上げ、さまざまな学術的な質問や論理パズルに答えている（そして今日まで、その回答は続いている）。 当時はまだ比較的知られていなかった確率パズルであるモンティ・ホール問題について、読者からの問い合わせに丁寧に回答したところ、彼女の回答は正しかったにもかかわらず、1 万通以上の手紙が届き、その多くは著名な学者や博士からでした。

The Monty Hall Problem: A Brief History

テレビのゲームショーで、司会者が3つのドアを提示したとする。 そのうちの1つのドアの向こうには、ピカピカの新品のリンカーン・コンチネンタルが、他の2つのドアの向こうには、臭いのきつい古いヤギが座っています。 司会者はあなたにドアを選ぶよう促し、あなたは1番のドアを選びます。 そして、舞台裏で起こっていることをよく知っているホストは、3 番目のドアを開け、ヤギの 1 人を現します。

「さて、彼はあなたの方を向いて言います、「1 番目のドアを維持したいですか、それとも 2 番目のドアに切り替えたいですか」

統計的に、元のドアを維持するか、切り替えるかのどちらの選択があなたに車を与えるでしょうか。 もちろん、新しい車と同じくらいヤギが好きで、その場合は 100% 勝つでしょう。

有名なテレビゲーム番組「Let’s Make a Deal」に緩く基づいて、上に示したシナリオは、「モンティ・ホール問題」としてよく知られており、かなり有名な確率問題となっています。 その単純さにもかかわらず、MIT教授、著名な数学者、マッカーサー天才研究員など、世界の聡明な人々の中には、この問題の答えを理解するのに苦労している人がいます。

歴史的には、モンティ・ホール問題の前に、いくつかの非常によく似たパズルがあった。

ジョセフ・ベルトランの箱のパラドックス（1889）では、3つの箱が提示される。 参加者が箱から金貨を1枚引いたとして、その箱の中のもう1枚のコインが金貨である確率はどのくらいかを問う問題です。 71>

このパラドックスの第二版である「三人の囚人問題」（1959）は、統計的に同じシナリオを提示し、同じ結果になる。 この問題の考案者であるサイエンティフィック・アメリカンのコラムニスト、マーティン・ガードナーは、後に「素晴らしく紛らわしい小さな問題だ」と自画自賛している。 「数学の他の分野では、専門家が確率論ほど簡単に失敗することはない」

1975 年に The American Statistician の編集者への手紙で初めて発表されたモンティ・ホール問題も直感に反するものだった。 この手紙の中で、カリフォルニア大学バークレー校のスティーブ・セルヴィン教授は、この記事のイントロにある状況をスプレイアウトし、ドアを切り替えると⅔の確率で車に当たるが、元のドアを維持すると⅓の確率でしか当たらないことを主張したのである。

その後10年ほどの間に、モンティ・ホール問題は何度か登場し、最初はバリー・ナレバフの「経済学展望」誌に、その後フィリップ・マーティンの「ブリッジ・トゥデイ」誌（1989年発行）に掲載された。

そして，15年ぶりに Marilyn vos Savant によって Monty Hall Problem が復活し，大混乱となった．

Marilyn vos Savant’s Debacle

1990年9月、Marilyn vos Savant はコラムの1つを読者からの質問に充て、モンティ・ホール問題のバリエーションを提示しました：

「ゲームショーで3つのドアから選択するとします。 1つのドアの向こうには車があり、他のドアの向こうにはヤギがいます。 あなたは1番のドアを選び、ドアの向こうに何があるかを知っている司会者は、ヤギのいる3番のドアを開ける。 司会者はあなたに「2番のドアを選びますか」と言います。 ドアの選択を入れ替えた方が有利ですか？”

“はい。 「最初のドアが勝つ確率は 1/3、2 番目のドアは 2/3 です」

彼女の答えは正しかったのですが、学者の大部分は怒りで反応しました。 その中には国防情報センターの副所長や、国立衛生研究所の研究用数理統計学者からのものも含まれており、そのすべてが、彼女はまったく無能であると主張しています

You blew it, and you blew it big! ここで働いている基本的な原理を理解するのが難しいようなので、説明します。 司会者がヤギを公開した後、あなたは2分の1の確率で正解するようになりました。 あなたが選択を変えようが変えまいが、確率は同じです。 この国には十分な数学的文盲があり、世界最高のIQがこれ以上伝播する必要はないのです。 この種の問題に再び答えようとする前に、確率に関する標準的な教科書を入手し、参照することをお勧めします。 今後のコラムの参考のために、いくつかのアドレスを保管しておいたほうがいいかもしれません。 Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

ゲームショーの質問について、あなたは全く間違っています。この論争が、数学教育における深刻な国家的危機に対して世間の注目を集めることを願っています。 もしあなたが自分の誤りを認めることができれば、嘆かわしい状況の解決に向けて建設的な貢献をしたことになります。 あなたが考えを改めるように仕向けるには、何人の憤慨した数学者が必要でしょうか？
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

あなたは間違いを犯しましたが、ポジティブな面を見ましょう。 もし、その博士たちがみんな間違っていたら、国は大変なことになっていただろう。
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

君はヤギだ！
Glenn Calkins
Western State College

たぶん女性は男性と違って数学問題を見るのだろうなぁ。
Don Edwards
Sunriver, Oregon

反響があまりにも大きかったため、vos Savantはその後の3つのコラムを割いて、彼女の論理が正しい理由を説明せざるを得なくなりました。 しかし、そのような状況下でも、彼女は非難を浴び続けたのです。 ある男性は、「やはり、あなたは間違っている」と書いた。 「

モンティ・ホール問題を否定する

ホストが3番のドアを開けた後、2つのドア（1つは車、もう1つはヤギ）が残っているので、車を選択する確率は半々だと考える人が多いだろう。 しかし、そうではありません。

「最初の選択で 1/3 の勝率が、ホストが負けるドアを開けたからといって 1/2 になることはない」と、vos Savant は書いています。 実際、すべての可能な結果を探る 6 つのゲームをマッピングすると、ドアを切り替えると 3 分の 2 (66.6%) の勝率になり、元のドアを維持すると 3 分の 1 (33.3%) の勝率になることが明らかになりました:

これを見る別の方法は、すべてのドア交換の可能性を分類することです。 以下に区切ったように、9つの可能性のうち6つ（3分の2）が車を獲得する結果となります。

これらの結果は、直感的な統計的衝動に反するように見えますが、なぜドアを切り替えると勝率が上がるのでしょうか。

簡単に言うと、ホストによってドア 3 の背後にヤギがいることが明らかになったからといって、ドア 1 で勝つ最初の確率 (⅓) は変わりません。代わりに、ホールの行動によって、切り替えによって勝つ確率が⅔まで上昇します。 3つのドアの代わりに、モンティ・ホールが100のドアを提示し、そのうちの99のドアの後ろにヤギがいて、そのうちの1つのドアの後ろに車がいると想像してください。 あなたは1番のドアを選び、車を手に入れる最初の確率は1/100になりました。 ここで、1番のドアを維持するか、100番のドアに切り替えるかの2択になります。

1番のドアを選択したとき、車が他のドアの後ろにある確率は99/100です。 モンティ・ホールが98匹のヤギを公開しても、この最初の確率は変わりません。それは、99/100の確率を100番のドアに「シフト」するだけです。

それでも、数学と数字がvos Savantの主張（ドアを切り替えると当選確率が⅔に上がる）を裏付ける一方で、彼女の答えでは触れていない他の要因も考慮する必要があります。

合理化の心理学

Monty Hall, host of ‘Let’s Make a Deal’

vos Savant の答えに対する論争が起こっていた 1992 年に、ゲームショーのホストでありこの問題の名前にもなった Monty Hall は New York Times 紙とのインタビューに応じています。

Hall は、vos Savant のコラムで Parade の読者が提示したシナリオとは、少し違った形で物事が動いたことを明らかにしました。 たとえば、実際のショーでは、彼は出場者に現金で交代しないよう申し出る権限を保持していた。 このような詳細は、出場者の考え方を変える、と彼は言った：

“, 彼らは今、自分のドアの確率が2分の1に上がったと思うだろう、だから彼らは私がどんなにお金を提供しても、ドアをあきらめることを嫌った… 私が高くなったほど、車は後ろにあると思った. そこで乗り換えることに詐欺を働きたかったのです。 そういうのは、自分がゲームをコントロールしている時にできることなんです。 彼女のコラムの答えに従うと、確率が高いと思うかもしれませんが、心理的な要因を考慮しなければなりません」

ホールの言う「心理的要因」は、番組のルールから、この記事で紹介した問題のバリエーションに受け継がれています。 出題者や問題解決者にとって、モンティ・ホール問題は認知的不協和を引き起こします。心理学者は、「2 つ以上の矛盾する信念、考え、または価値を同時に保持している個人、または既存の信念、考え、または価値と矛盾する新しい情報に直面した個人が経験する精神的ストレス」を説明するために使用する言葉です。

人は「自分の信念と矛盾する」証拠に直面すると（たとえば、ドアを切り替えて勝つ確率は1/2ではなく⅔）、まずその情報に反論し、次に同じ考えを持つ反対派と結束して自分の固い意見を支持します。

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モンティ・ホール問題の意味論とボス・サヴァンの対応については、25年以上たった今でも、主にホストの行動の複雑さをめぐって議論が続いている。

「私たちの脳は確率問題をうまく処理するようにできていないので、間違いがあっても不思議ではありません」と、スタンフォード大学の統計学教授 Persi Diaconis は数年前に記者に語っています。 「しかし結局、ボス・サヴァンの数学を訂正するために書き込んだ人たちの多くは、自分たちが間違っていたことを認め、後戻りすることになりました。 そして、彼女の論理を裏付けるようなコンピュータ・モデルが作られ、彼女の知性に対する支持は徐々に回復していったのです。 新しい信者の中には、ジョージ・メイソン大学の数学教授であるロバート・サックスもいた。彼は当初、ボス・サヴァンに不快な手紙を書き、彼女が「台無しにした」と言い、「説明」を手伝うと申し出ていたのだ。 自分が実際に間違っていたことに気づいた後、彼は彼女にもう一回手紙を送りたくなりました — 今度は自分の独善性を悔い改めました。 「私は懺悔として、私を非難するために手紙をくれたすべての人々に答えることを誓いました。 それはプロとしての強烈な恥ずかしさだった」

プライスノミクスは2冊の本を書いた。 ひとつは懐疑論者向け、もうひとつは楽観論者向けである。 あなたの冒険を選んでください→Everything is Bullshit or Hipster Business Models.

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