Vzájemně se vylučující a nevylučující události
V předchozím cvičení jste se naučili, že obtížnou pravděpodobnost můžete zjistit pomocí simulace a zákona velkých čísel. Teoretické pravděpodobnosti lze vypočítat pomocí mnoha různých strategií v závislosti na situaci.
Vzájemně se vylučující události jsou události, které nemohou nastat současně. Příkladem mohou být: otočení doprava a doleva, sudá a lichá čísla na kostce, výhra a prohra ve hře nebo běh a chůze.
Vzájemně se nevylučující události jsou události, které mohou nastat současně. Příkladem mohou být: jízda autem a poslech rádia, sudá a prvočísla na kostce, prohra ve hře a skórování nebo běh a pocení.
Nevzájemně se vylučující události mohou zkomplikovat výpočet pravděpodobnosti.
Reflexe veletrhu her
Zopakujte si hru Obrácení jedné karty ve veletrhu her.
Použijeme-li definici vzájemně se vylučujících událostí, jsou různé bodové výsledky ve hře vzájemně se vylučující nebo nevylučující?
Zapište si několik myšlenek o tom, jak vypočítat pravděpodobnosti.
GamesFair
Dlouhý popis
Problém s chápáním pravděpodobnosti pouze jako vzájemně se vylučujících událostí spočívá v tom, že tyto události zjednodušujete způsobem, který nemá být zjednodušen. Je to skoro tak tragické, jako kdybychom tvrdili, že lidé nemohou dělat dobro a vydělávat peníze nebo být dobří v matematice a zároveň velmi kreativní. Následující video ukazuje, jak je důležité rozpoznat události jako vzájemně se nevylučující.
Vennův diagram
Tento Vennův diagram zobrazuje všechny karty ve standardním balíčku 52 karet. A je množina karet bez tváře.
Vennovy diagramy jsou způsobem zobrazení událostí a lze je použít k zobrazení jednoduchých situací, kdy nastane pouze jedna událost.
Mohou být také použity k zobrazení více událostí.
Jsou zvláště užitečné při zobrazení vzájemně se nevylučujících událostí.
V této aktivitě je použijete k zobrazení 2 nebo 3 událostí najednou, abyste mohli analyzovat vztah mezi událostmi.
Průnik množin
Podívejte se na Vennův diagram pro otázku 50 pacientů z Minds On.
Používáme zápis 
jako „průsečík“ dvou množin, prvek v A a B.
V tomto příkladu 
představuje překrytí příznaků neboli pacienty, kteří mají zároveň bolesti hlavy „A“ příznaky chřipky.
Překřížení poznáte jako slovo „A“.
Zaznamenejte svou práci
Měli jste za úkol zjistit, kolik lidí patří do kategorie „AND“, abyste mohli vypočítat pravděpodobnost, že pacient má oba příznaky. Buďte si jisti, že existuje pouze jeden způsob, jak to udělat.
Pomocí níže uvedené interaktivní pomůcky vytvořte Vennův diagram a zjistěte počet osob, které mají v uvedeném příkladu oba příznaky.
Na začátku chřipkové sezóny vyšetří lékař během dvou dnů 50 pacientů. U 30 z nich se objeví bolest hlavy, u 24 nachlazení a u 12 ani jedno. Někteří pacienti mají oba příznaky. Jaká je pravděpodobnost, že náhodný pacient má oba příznaky?
VennDiagram
Dlouhý popis
|
Slovy |
Ve slovech Symboly |
V Symbolech |
|---|---|---|
|
Vše červené |
n(A) = |
P(A) = |
|
Všechna čísla |
n(B) = |
P(B) = |
|
Všechny karty |
n(S) = |
P(S) = |
|
Intersekce: Číselné i červené |
|
|
|
Pouze červené (červené karty, které nejsou číselné) |
|
|
|
Pouze číselné (číselné karty, které nejsou červenými kartami) |
|
|
|
Union: Červená nebo číslo |
|
|
|
Vše ostatní |
|
|
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Princip inkluze.Vyloučení
Podívejte se na Vennův diagram. Pokud sečtete n(A) a n(B), počítáte průsečíkovou část dvakrát. Nikdy byste neměli počítat prvek dvakrát, abyste zjistili, kolik jich máte. Pokud jste jej spočítali dvakrát, existuje snadný způsob, jak to opravit: jednou jej odečtěte.
Princip inkluze-exkluze je užitečný vzorec/idea při určování pravděpodobnosti a používá se pro vzájemně se nevylučující události.
Lze ji zapsat takto:
nebo slovy: počet prvků v A „NEBO“ B se rovná počtu prvků v A plus počet prvků v B odečtení počtu prvků v A „AND“ B.
Aplikujte učení
Při řešení původní úlohy použijte vzorec, který představuje princip inkluze-exkluze:
Na začátku chřipkové sezóny vyšetří lékař během dvou dnů 50 pacientů. Třicet z nich má bolest hlavy, 24 je nachlazených a 12 nemá ani jedno. Někteří pacienti mají oba příznaky. Jaká je pravděpodobnost, že náhodný pacient má oba příznaky?
Ukažte své kroky při řešení a vysvětlete (definice:Udělejte si čas a napište vysvětlení všeho, co není zřejmé nebo co vyžadovalo určité přemýšlení, které jinak není zobrazeno) svou odpověď.
Řešení
- 8 má jen rýmu,
- 14 má jen bolest hlavy,
- 16 má obojí.
Vennův diagram pomocí 3 událostí
Vennův diagram a vzájemně se vylučující události se nepoužívají pouze u dvou různých událostí. Ve Vennově diagramu lze použít i tři události, i když je to složitější. Pokud se použije správná strategie, lze to udělat efektivním způsobem.
Příklad
Oddělení služeb studentům na Eastside Secondary chce spočítat počet studentů ve 12. třídě. Vědí, že každý student navštěvuje matematiku, angličtinu nebo přírodní vědy. Zjistili to:
- 64 studentů bere matematiku
- 56 studentů bere angličtinu
- 82 studentů bere přírodní vědy
- 20 studentů bere matematiku a angličtinu
- 25 studentů bere matematiku a přírodní vědy
- 21 studentů bere angličtinu a přírodní vědy
- 12 studentů bere všechny tři předměty.
Vytvořte Vennův diagram tří událostí podobný tomu, který je uveden níže. Vyplňte jednotlivé části Vennova diagramu a dávejte přitom pozor, aby každý student patřil pouze do jedné kategorie.
- Kolik je celkem studentů?
- Jaká je pravděpodobnost, že si náhodný student vybere matematiku a přírodní vědy?
- Jaká je pravděpodobnost, že si náhodný student vybere matematiku nebo přírodní vědy?
- Jaká je pravděpodobnost, že si student vybere přesně 2 ze 3?
Řešení
- 12 všechny tři,
- 9 v E a S, ale ne M,
- 13 v M a S, ale ne v E,
- 8 v M a E, ale ne v S,
- 48 jen v S,
- 27 jen v E,
- 31 jen v M.
Nápovědu k této otázce naleznete v následujícím podobném příkladu.