Geometrie hamiltonovských systémůEdit

Hamiltonián může indukovat symplektickou strukturu na hladkém sudém mnohoúhelníku M2n několika různými, ale ekvivalentními způsoby, z nichž nejznámější jsou následující:

Jako uzavřená nedegenerovaná symplektická 2-forma ω. Podle Darbouxovy věty platí, že v malém okolí libovolného bodu na M ve vhodných lokálních souřadnicích p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}.

existuje symplektický tvar ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}.

Lokální souřadnice p, q se pak nazývají kanonické nebo symplektické.

Tvar ω {\displaystyle \omega }

umožňuje zkonstruovat přirozený izomorfismus T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}.

tečného prostoru T x M {\displaystyle T_{x}M}

a kotangentního prostoru T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M.}.

To se provádí mapováním vektoru ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \in T_{x}M}.

na 1-formu ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

kde ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

pro libovolné η ∈ T x M . {\displayystyle \eta \v T_{x}M.}

Vzhledem k bilinearitě a nedegenerovanosti ω , {\displaystyle \omega,}

a skutečnosti, že d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}}. T_{x}M=\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}

mapování ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}

je skutečně lineární izomorfismus. Tento izomorfismus je přirozený v tom, že se nemění se změnou souřadnic na M . {\displayyle M.}

Opakováním pro každé x ∈ M , {\displaystyle x\v M,}

dostaneme izomorfismus J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}.

mezi nekonečně rozměrným prostorem hladkých vektorových polí a prostorem hladkých 1forem. Pro každé f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displayystyle f,g\v C^{\infty }(M,\mathbb {R} )} }.

a ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(V algebraickém vyjádření bychom řekli, že C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-moduly Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

a Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

jsou izomorfní). Jestliže H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

pak pro každé pevné t ∈ R t , {\displaystyle t\v \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\v \Omega ^{1}(M),}

a J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

je známé jako Hamiltonovo vektorové pole. Příslušná diferenciální rovnice na M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

se nazývá Hamiltonova rovnice. Zde x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}.

a J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\v T_{x}M}.

je (časově závislá) hodnota vektorového pole J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

při x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}

Hamiltonův systém lze chápat jako svazek vláken E nad časem R, přičemž vlákna Et, t ∈ R, jsou polohovým prostorem. Lagrangián je tedy funkce na tryskovém svazku J nad E; vezmeme-li vláknovou Legendrovu transformaci Lagrangiánu, dostaneme funkci na duálním svazku nad časem, jehož vláknem v bodě t je kotangentní prostor T∗Et, který je vybaven přirozenou symplektickou formou, a tato druhá funkce je Hamiltonián. Korespondence mezi Lagrangeovou a Hamiltonovou mechanikou je dosažena pomocí tautologické jednoformy.

K definici hamiltonovského systému lze použít jakoukoliv hladkou reálně ohodnocenou funkci H na symplektické množině. Funkce H je známá jako „hamiltonián“ nebo „energetická funkce“. Symplektický mnohoúhelník se pak nazývá fázový prostor. Hamiltonián indukuje na symplektickém mnohoúhelníku speciální vektorové pole, známé jako Hamiltonovo vektorové pole.

Hamiltonovo vektorové pole indukuje na mnohoúhelníku Hamiltonův tok. Jedná se o jednoparametrovou rodinu transformací kolektoru (parametr křivek se běžně nazývá „čas“); jinými slovy o izotopii symplektomorfismů, počínaje identitou. Podle Liouvillovy věty každý symplektomorfismus zachovává objemovou formu na fázovém prostoru. Soubor symplektomorfismů indukovaných hamiltonovským tokem se běžně nazývá „hamiltonovská mechanika“ hamiltonovského systému.

Symplektická struktura indukuje Poissonovu závorku. Poissonova závorka dává prostoru funkcí na množině strukturu Lieovy algebry.

Jsou-li F a G hladké funkce na M, pak je hladká funkce ω2(IdG, IdF) správně definována; nazývá se Poissonova závorka funkcí F a G a značí se {F, G}. Poissonova závorka má následující vlastnosti:

1. bilinearita
2. antisymetrie
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Leibnizovo pravidlo)

4. { { H , F } , G } + { { F , G } , H } + { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (Jacobiho identita)

5. nedegenerace: jestliže bod x na M není kritický pro F, pak existuje hladká funkce G taková, že { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Je dána funkce f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } { f , H , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}

pokud existuje rozdělení pravděpodobnosti, ρ, pak (protože rychlost ve fázovém prostoru ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}

má nulovou divergenci a pravděpodobnost se zachovává) lze ukázat, že její konvektivní derivace je nulová, a tak ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}}\right\}}}.

Toto se nazývá Liouvillova věta. Každá hladká funkce G nad symplektickým mnohoúhelníkem generuje jednoparametrovou rodinu symplektomorfismů a jestliže {G, H} = 0, pak G je zachována a symplektomorfismy jsou symetrické transformace.

Hamiltonián může mít více zachovaných veličin Gi. Má-li symplektický mnohoúhelník dimenzi 2n a existuje n funkčně nezávislých zachovávaných veličin Gi, které jsou v involuci (tj. {Gi, Gj} = 0), pak je Hamiltonián Liouvillově integrovatelný. Liouvilleova-Arnoldova věta říká, že lokálně lze každý Liouvilleův integrovatelný hamiltonián transformovat prostřednictvím symplektomorfismu na nový hamiltonián se zachovávanými veličinami Gi jako souřadnicemi; nové souřadnice se nazývají akční úhlové souřadnice. Transformovaný hamiltonián závisí pouze na Gi, a proto mají pohybové rovnice jednoduchý tvar

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

pro nějakou funkci F. Existuje celý obor zaměřený na malé odchylky od integrabilních systémů, které se řídí větou KAM.

Integrabilita hamiltonovských vektorových polí je otevřenou otázkou. Hamiltonovské systémy jsou obecně chaotické; pojmy míry, úplnosti, integrovatelnosti a stability jsou špatně definovány.

Riemannovy mnohoúhelníkyUpravit

Důležitý speciální případ tvoří ty hamiltoniány, které jsou kvadratickými formami, tj, Hamiltoniány, které lze zapsat jako

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\angle p,p\rangle _{q}}.

kde ⟨ , ⟩q je hladce se měnící vnitřní součin na vláknech T∗
qQ, kotangentním prostoru k bodu q v konfiguračním prostoru, někdy nazývaném kometrika. Tento hamiltonián se skládá výhradně z kinetického členu.

Pokud uvažujeme Riemannův mnohostěn nebo pseudoriemannův mnohostěn, Riemannova metrika indukuje lineární izomorfismus mezi tečným a kotangentním svazkem. (Viz Hudební izomorfismus). Pomocí tohoto izomorfismu lze definovat kometriku. (V souřadnicích je matice definující kometriku inverzní k matici definující metriku.) Řešení Hamiltonových-Jacobiho rovnic pro tento hamiltonián jsou pak totožná s geodetikami na množině. Zejména Hamiltonův tok je v tomto případě totéž co geodetický tok. Existencí takových řešení a úplností množiny řešení se podrobně zabýváme v článku o geodetikách. Viz také Geodézie jako hamiltonovské toky.

Sub-Riemannovy mnohoúhelníkyUpravit

Když je kometra degenerovaná, pak není inverzní. V takovém případě nemáme Riemannův mnohostěn, protože nemáme metriku. Hamiltonián však stále existuje. V případě, kdy je kometrika degenerovaná v každém bodě q konfiguračního prostorového mnohoúhelníku Q, takže hodnost kometriky je menší než dimenze mnohoúhelníku Q, máme subriemannovský mnohoúhelník.

Hamiltonián se v tomto případě nazývá subriemannovský Hamiltonián. Každý takový Hamiltonián jednoznačně určuje kometrický a naopak. Z toho vyplývá, že každý sub-riemannský mnohostěn je jednoznačně určen svým sub-riemannským hamiltoniánem a že platí i opak: každý sub-riemannský mnohostěn má jedinečný sub-riemannský hamiltonián. Existence subriemannovských geodetik je dána Chow-Rashevského větou.

Spojitá Heisenbergova grupa reálných hodnot poskytuje jednoduchý příklad subriemannovské mnohostrany. Pro Heisenbergovu grupu je Hamiltonián dán vztahem

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz se Hamiltoniánu neúčastní.

Poissonovy algebryUpravit

Hamiltonovy systémy lze různě zobecnit. Namísto prostého pohledu na algebru hladkých funkcí nad symplektickým mnohoúhelníkem lze hamiltonovskou mechaniku formulovat na obecných komutativních unitálních reálných Poissonových algebrách. Stav je spojitý lineární funkcionál na Poissonově algebře (vybavené nějakou vhodnou topologií) takový, že pro libovolný prvek A algebry mapuje A2 na nezáporné reálné číslo.

Další zobecnění přináší Nambuova dynamika.

Zobecnění na kvantovou mechaniku pomocí Poissonovy závorkyUpravit

Výše uvedené Hamiltonovy rovnice dobře fungují pro klasickou mechaniku, ale ne pro kvantovou mechaniku, protože diskutované diferenciální rovnice předpokládají, že lze určit přesnou polohu a hybnost částice současně v každém časovém okamžiku. Rovnice však lze dále zobecnit, aby je pak bylo možné rozšířit tak, aby platily pro kvantovou mechaniku stejně jako pro mechaniku klasickou, a to prostřednictvím deformace Poissonovy algebry nad p a q na algebru Moyalových závorek.

Konkrétně obecnější tvar Hamiltonovy rovnice zní

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}.

kde f je nějaká funkce p a q a H je Hamiltonián. Chcete-li zjistit pravidla pro vyhodnocení Poissonovy závorky, aniž byste se museli uchýlit k diferenciálním rovnicím, viz Lieova algebra; Poissonova závorka je název pro Lieovu závorku v Poissonově algebře. Tyto Poissonovy závorky pak lze rozšířit na Moyalovy závorky komolené na neekvivalentní Lieovu algebru, jak dokázal Hilbrand J. Groenewold, a popsat tak kvantově mechanickou difúzi ve fázovém prostoru (viz formulace fázového prostoru a Wignerova-Weylova transformace). Tento algebraičtější přístup nejenže umožňuje v konečném důsledku rozšířit pravděpodobnostní rozdělení ve fázovém prostoru na Wignerova kvazipravděpodobnostní rozdělení, ale při pouhém klasickém nastavení Poissonovy závorky také poskytuje větší sílu při pomoci analyzovat příslušné zachovávané veličiny v systému.