Matematika používá vymyšlená pravidla k vytváření modelů a vztahů. Při učení se ptám:
- Jaký vztah představuje tento model?
- Jaké předměty reálného světa sdílejí tento vztah?
- Dává mi tento vztah smysl?
Jsou to jednoduché otázky, ale pomáhají mi pochopit nová témata. Pokud se vám líbily mé příspěvky o matematice, tento článek se zabývá mým přístupem k tomuto často skloňovanému tématu. Mnoho lidí zde zanechalo zasvěcené komentáře o svých potížích s matematikou a o zdrojích, které jim pomohly.
Matematické vzdělávání
Učebnice se málokdy zaměřují na porozumění; většinou jde o řešení úloh pomocí vzorců typu „zapoj a chytni“. Mrzí mě, že se krásným myšlenkám dostává takového rutinního zpracování:
- Pythagorova věta není jen o trojúhelnících. Je o vztahu mezi podobnými útvary, o vzdálenosti mezi libovolnou množinou čísel a o mnohém dalším.
- e není jen číslo. Je o základních vztazích mezi všemi mírami růstu.
- Přirozený logaritmus není jen inverzní funkce. Je o době, kterou věci potřebují k růstu.
Elegantní, „aha!“ postřehy by měly být naším cílem, ale to necháváme na studentech, aby na ně náhodně narazili sami. Já jsem na okamžik „a ha“ narazil po pekelné křečovitosti na vysoké škole; od té doby chci tato prozření nacházet a sdílet, abych ušetřil ostatní stejné bolesti.
Ale funguje to oboustranně – chci, abyste i vy se mnou sdíleli vhledy. Bude více porozumění, méně bolesti a všichni vyhrají.“
Matematika se vyvíjí v čase
Považuji matematiku za způsob myšlení a je důležité vidět, jak se toto myšlení vyvíjelo, a ne jen ukazovat výsledek. Zkusme si uvést příklad:
Představte si, že jste jeskynní člověk, který se zabývá matematikou. Jedním z prvních problémů bude, jak počítat věci. V průběhu času se vyvinulo několik systémů:
Žádný systém není správný a každý má své výhody:
- Unární systém: Nakreslete čáry v písku – je to tak jednoduché, jak to jen jde. Skvěle se hodí k zaznamenávání skóre ve hrách; k číslu můžete přidávat, aniž byste ho museli mazat a přepisovat.
- Římské číslice:
- Desetinná čísla: Obrovské uvědomění si, že čísla mohou používat „poziční“ systém s místem a nulou.
- Binární:
- Vědecký zápis: Nejjednodušší poziční systém (dvě číslice, zapnuto vs. vypnuto), takže je skvělý pro mechanická zařízení:
Myslíte, že jsme skončili? V žádném případě. Za 1000 let budeme mít systém, vedle kterého budou desetinná čísla vypadat stejně kuriózně jako římské číslice („U Jiřího, jak to dokázali s tak neohrabanými nástroji?“).
Záporná čísla nejsou tak skutečná
Přemýšlejme o číslech trochu víc. Výše uvedený příklad ukazuje, že naše číselná soustava je jedním z mnoha způsobů řešení problému „počítání“.
Římané by považovali nulu a zlomky za podivné, ale to neznamená, že „nicota“ a „část k celku“ nejsou užitečné pojmy. Podívej se však, jak každý systém začlenil nové myšlenky.
Zlomky (1/3), desetinná čísla (.234) a komplexní čísla (3 + 4i) jsou způsoby, jak vyjádřit nové vztahy. Možná právě teď nedávají smysl, stejně jako Římanům „nedávala smysl“ nula. Potřebujeme nové vztahy v reálném světě (jako je dluh), aby zapadly.
Až potom záporná čísla nemusí existovat tak, jak si myslíme, jak mě zde přesvědčujete:
Vy: Záporná čísla jsou skvělý nápad, ale ve své podstatě neexistují. Je to nálepka, kterou aplikujeme na nějaký pojem.
Já: Jistěže existují.
Ty:
Já: No, um… předpokládejme, že jsi farmář a přišel jsi o 3 krávy.
Ty:
Já: Ne, myslím tím, že jsi dal 3 krávy kamarádovi.
Ty:
Já: Ne, chci říct, že on je jednou vrátí. Dluží ti to.
Ty: Aha. Takže skutečné číslo, které mám (-3 nebo 0), závisí na tom, zda si myslím, že mi je vrátí. Neuvědomil jsem si, že můj názor mění způsob počítání. V mém světě jsem měl celou dobu nulu.
Já: Povzdech. Takhle to není. Když ti vrátí krávy, změníš se z -3 na 3.
Ty: Takže on vrátí 3 krávy a my poskočíme o 6, z -3 na 3? Nějaká další nová aritmetika, o které bych měl vědět? Jak vypadá sqrt(-17) krav?
Já: Vypadni.
Záporná čísla mohou vyjadřovat vztah:
- Kladná čísla představují přebytek krav
- Nula nepředstavuje žádné krávy
- Záporná čísla představují nedostatek krav, o kterém se předpokládá, že bude splacen
Ale záporné číslo „ve skutečnosti není“ — existuje pouze vztah, který představují (přebytek/nedostatek krav). Vytvořili jsme model „záporného čísla“, který nám pomůže s účetnictvím, i když nemůžete držet v ruce -3 krávy. (Záměrně jsem použil jiný výklad toho, co „záporné číslo“ znamená: je to jiný početní systém, stejně jako římské číslice a desetinná čísla jsou jiné početní systémy)
Mimochodem, záporná čísla nebyla mnoha lidmi, včetně západních matematiků, akceptována až do roku 1700. Myšlenka záporných čísel byla považována za „absurdní“. Záporná čísla skutečně vypadají podivně, pokud nevidíte, jak představují složité vztahy v reálném světě, například dluh.“
Proč všechna ta filozofie?“
Uvědomil jsem si, že klíčem k učení je moje **myšlení. **To mi pomohlo dospět k hlubokým poznatkům, konkrétně:
- Faktické znalosti nejsou porozumění. Vědět, že „kladiva zatloukají hřebíky“, není totéž jako poznatek, že jakýkoli tvrdý předmět (kámen, klíč) může zatlouct hřebík.
- Mějte otevřenou mysl. Rozvíjejte svou intuici tím, že si dovolíte být opět začátečníkem.
Jeden univerzitní profesor šel navštívit slavného zenového mistra. Zatímco mistr v klidu podával čaj, profesor hovořil o zenu. Mistr nalil návštěvníkovi šálek až po okraj a pak naléval dál. Profesor sledoval přetékající šálek, dokud se už nedokázal ovládnout. „Je přeplněný! Víc už do něj nepůjde!“ vyhrkl profesor. „Jste jako tento pohár,“ odpověděl mistr, „jak vám mohu ukázat zen, pokud nejprve nevyprázdníte svůj pohár.“
- Buďte kreativní. Hledejte zvláštní vztahy. Používejte diagramy. Používejte humor. Používejte analogie. Používejte mnemotechniky. Použijte cokoli, co myšlenky ozvláštní. Analogie nejsou dokonalé, ale pomáhají, když se potýkáte s obecnou myšlenkou.
- Uvědomte si, že se můžete učit. Očekáváme, že se děti naučí algebru, trigonometrii a počty, které by ohromily i staré Řeky. A měli bychom: jsme schopni se toho tolik naučit, pokud je nám to správně vysvětleno. Nepřestávejte, dokud vám to nebude dávat smysl, jinak vás ta matematická mezera bude strašit. Psychická odolnost je rozhodující – často se vzdáváme příliš snadno.
Takže o co jde?“
Chci se s vámi podělit o to, co jsem zjistil, a doufám, že vám to pomůže naučit se matematiku:
- Matematika vytváří modely, které mají určité vztahy
- Snažíme se najít reálné jevy, které mají stejné vztahy
- Naše modely se stále zlepšují. Může se objevit nový model, který tento vztah lépe vysvětlí (římské číslice na desítkovou soustavu)
Jistě, některé modely se zdají být k ničemu: „K čemu jsou imaginární čísla?“, ptá se mnoho studentů. Je to oprávněná otázka s intuitivní odpovědí.
Použití imaginárních čísel je omezeno naší představivostí a chápáním – stejně jako jsou záporná čísla „k ničemu“, pokud nemáte představu o dluhu, mohou být imaginární čísla matoucí, protože skutečně nerozumíme vztahu, který představují.
Matematika poskytuje modely; pochopte jejich vztahy a aplikujte je na objekty reálného světa.
Rozvíjení intuice dělá učení zábavným – ani účetnictví není špatné, když pochopíte problémy, které řeší. Chci pokrýt komplexní čísla, počty a další neuchopitelná témata tím, že se zaměřím na vztahy, ne na důkazy a mechaniku.
Ale to je moje zkušenost — jak se nejlépe učíte vy? Několik přátel sepsalo své zkušenosti:
- Ed Latimore: Boxer vás naučí, jak se zlepšit v matematice
- Scott Young: Jak se naučit matematiku
Další příspěvky v této sérii
- Rozvoj intuice pro matematiku
- Proč se učíme matematiku
- Jak si vytvořit myšlení pro matematiku
- Učíme se matematiku? Myslete jako kreslíř
- Matematika jako jazyk:
- Vyhněte se klamným přívlastkům
- Najděte jednotu v matematických válkách
- Pravda je krásná
- Učte se obtížné pojmy pomocí metody ADEPT
- Intuice, detaily a metafora luku/šipky
- Učte se učit: Intuice není volitelná
- Učit se učit: Přijměte analogie
- Učíme se učit:
- Učte se učit:
- Návod k učení: Učte se abstrahovat
- Matematické abstrakce: Fix the Limiting Factor
- Poctivé a realistické návody k učení
- Matematika řízená empatií
- Studium kurzu (strojové učení) metodou ADEPT
- Matematika a analogie
- Kolorované matematické rovnice
- Analogie: Matematika a vaření
- Učení matematiky (Mega Man vs. Tetris)