V tomto článku se dozvíte o problémech permutací a kombinací:

Permutace

Definice

Permutace jsou různé způsoby uspořádání souboru předmětů.

Například:

Různé způsoby, jakými lze seskupit abecedy A, B a C, vzaté všechny najednou, jsou ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Všimněte si, že ABC a CBA nejsou stejné, protože pořadí uspořádání je různé. Stejné pravidlo platí i při řešení libovolné úlohy v permutacích.

Počet způsobů, kterými lze uspořádat n věcí, vzato všech najednou, nPn = n!, se nazývá „faktoriál n“.

Faktoriální vzorec

Faktoriál čísla n je definován jako součin všech čísel od n do 1.

Například faktoriál čísla 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Faktoriál čísla 5, 5!

Počet způsobů, kterými lze uspořádat 3 písmena, vzatá všechna najednou, je tedy 3! = 3*2*1 = 6 způsobů.

Počet permutací n věcí, vzatých r najednou, označujeme:

nPr = n! / (n-r)!

Například:

Různých způsobů, jak lze uspořádat 3 písmena, vzatá po 2, je 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 způsobů.

Důležité permutační vzorce

1! = 1

0! = 1
Podívejme se na několik příkladů:

Problém 1: Najděte počet slov s významem i bez významu, která lze vytvořit z písmen slova „KŘESLO“.

Řešení:

„KŘESLO“ obsahuje 5 písmen.

Počet slov, která lze z těchto 5 písmen vytvořit = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problém 2: Najděte počet slov s významem nebo bez významu, která lze vytvořit z písmen slova „INDIE“.

Řešení:

Slovo ‚INDIE‘ obsahuje 5 písmen a písmeno ‚I‘ se v něm vyskytuje dvakrát.

Když se písmeno ve slově vyskytuje více než jednou, vydělíme faktoriál počtu všech písmen ve slově počtem výskytů jednotlivých písmen.

Počet slov tvořených slovem „INDIE“ = 5!/2! = 60.

Problém 3: Najděte počet slov s významem i bez významu, která lze vytvořit z písmen slova „PLAVÁNÍ?“

Řešení:

Slovo „PLAVÁNÍ“ obsahuje 8 písmen. Z toho se dvakrát vyskytuje I a dvakrát M.

Počet slov, která lze z tohoto slova vytvořit, je tedy = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problém 4: Kolik různých slov lze vytvořit z písmen slova ‚SUPER‘ tak, aby samohlásky byly vždy pohromadě?

Řešení:

Slovo ‚SUPER‘ obsahuje 5 písmen.

Abychom zjistili počet permutací, které mohou vzniknout, když se sejdou dvě samohlásky U a E.

V těchto případech seskupíme písmena, která se mají sejít, a tuto skupinu budeme považovat za jedno písmeno.

Jsou to tedy písmena S,P,R, (UE). Nyní je počet slov 4.

Počet způsobů, jak lze uspořádat 4 písmena, je tedy 4!

U a E, počet způsobů, jak lze uspořádat U a E, je 2!

Tedy celkový počet způsobů, jak lze uspořádat písmena „SUPER“ tak, aby samohlásky byly vždy spolu, jsou 4! * 2! = 48 způsobů.

Problém 5: Najděte počet různých slov, která lze vytvořit z písmen slova ‚MÁSLO‘ tak, aby samohlásky byly vždy pohromadě.

Řešení:

Slovo ‚MÁSLO‘ obsahuje 6 písmen.

Písmena U a E by měla být vždy pohromadě. Písmena jsou tedy B, T, T, R, (UE).

Počet způsobů, jak mohou být výše uvedená písmena uspořádána = 5!/2! = 60 (protože písmeno ‚T‘ se opakuje dvakrát).

Počet způsobů, jak mohou být U a E uspořádány = 2! = 2 způsoby

Celkový počet možných permutací = 60*2 = 120 způsobů.
Problém 6: Najděte počet permutací písmen slova „OSTATEK“ tak, aby se samohlásky vyskytovaly vždy na lichých místech.

Řešení:

Slovo ‚REMAINS‘ má 7 písmen.

Jsou v něm 4 souhlásky a 3 samohlásky.

Řešení tohoto typu otázek usnadňuje zápis následujícím způsobem.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Na 4 různých místech se mohou vyskytovat 3 samohlásky = 4P3 = 24 způsobů.

Pokud 3 samohlásky zaujímají 3 místa, no. of ways 4 consonants can take 4 places = 4P4 = 4! = 24 způsobů.

Tedy celkový počet možných permutací = 24*24 = 576 způsobů.

Definice kombinací Různé možné výběry ze souboru položek se nazývají kombinace.

Například:

Různé možné výběry z abeced A, B, C, vzaté po dvou, jsou AB, BC a CA.

Nezáleží na tom, zda vybíráme A po B nebo B po A.

Je jedno, zda vybíráme A po B nebo B po A. Pořadí výběru není při kombinacích důležité.

Pro zjištění počtu možných kombinací z dané skupiny položek n, vzatých po r, platí vzorec, označený nCr

nCr = n! /

Příklad při ověřování výše uvedeného příkladu jsou různé možné výběry z abeced A, B, C, vzaté po dvou, následující

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 možné výběry (tj, AB, BC, CA)

Důležité kombinační vzorce

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Počet možných výběrů s A, B, C, vzatých naráz, je 3C3 = 1 (tj. ABC)

Řešené příklady kombinací

Podívejme se na několik příkladů, abychom pochopili, jak fungují kombinace:

Problém 1: Kolika způsoby lze ze skupiny 3 mužů a 4 žen vytvořit výbor 1 muže a 3 žen?

Řešení:

Na kolik způsobů lze ze skupiny 3 mužů vybrat 1 muže = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 způsoby.

Na kolik způsobů lze vybrat 3 ženy ze skupiny 4 žen = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 způsoby.

Problém 2: Kolik výběrů z 5 černých a 3 červených koulí lze provést ze souboru 5 koulí tak, aby alespoň 3 z nich byly černé.

Řešení:

Z množiny 5 černých koulí lze v celkovém výběru 5 koulí vybrat alespoň 3 černé koule

3 B a 2 R

4 B a 1 R a

5 B a 0 R koulí.

Náš výraz pro řešení tedy vypadá takto:
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 způsobů .

Problém 3: Kolik čtyřmístných čísel dělitelných deseti lze vytvořit z čísel 3, 5, 7, 8, 9, 0 tak, aby se žádné číslo neopakovalo?

Řešení:

Je-li číslo dělitelné deseti, mělo by jeho jednotkové místo obsahovat nulu.
_ _ _ 0

Po umístění 0 na jednotkové místo lze desítkové místo vyplnit libovolnou z dalších 5 číslic.

Výběr jedné číslice z 5 číslic lze provést 5C1 = 5 způsoby.

Po vyplnění desítkového místa nám zbývají 4 číslice. Výběr 1 číslice ze 4 číslic lze provést 4C1 = 4 způsoby.

Po vyplnění místa stovek lze místo tisíců vyplnit 3C1 = 3 způsoby.

Celkový počet možných kombinací tedy = 5*4*3 = 60.

Kvíz o permutacích a kombinacích

Vyzkoušejte si tyto cvičné úlohy.

.