Matematika je hra s čísly a čísla jsou všude. A pravidlem hry jsou vlastnosti a pravidla spojená s čísly. Vlastnosti pomáhají rychle a snadno vypočítat odpovědi v hlavě. Vlastnosti nejsou nic jiného než zvláštní pravidla, kterými se čísla řídí. Existují tři základní vlastnosti čísel, kterými se řídí každý matematický systém: Komutativní, asociativní a distributivní vlastnosti. Tyto vlastnosti jsou vlastnosti čtyř operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení), které platí vždy bez ohledu na to, s jakým číslem pracujete. V následujícím článku se však budeme zabývat pouze komutativními a asociativními vlastnostmi.

Komutativní i asociativní vlastnosti jsou pravidla, která platí pro operace sčítání a násobení. Tyto vlastnosti jsou zákony používané v algebře, které pomáhají řešit problémy. Komutativní vlastnost pochází z výrazu „komutovat“, což znamená pohybovat se, a týká se možnosti prohodit čísla, která sčítáme nebo násobíme. Asociativní vlastnost pochází ze slova „asociovat“ nebo „seskupovat“ a týká se seskupování tří nebo více čísel pomocí závorek bez ohledu na to, jak je seskupujete. Výsledek zůstává stejný bez ohledu na to, jak čísla přeskupíte. Podívejme se na tyto dvě vlastnosti, abychom lépe pochopili, jak fungují.

Co je to komutativnost?“

Příklad; víme, že sečtením 2 a 5 dostaneme stejnou odpověď jako sečtením 5 a 2. To znamená, že sečteme 2 a 5 a dostaneme stejnou odpověď. Pořadí čísel v úloze o sčítání lze změnit, aniž by se změnil výsledek. Tato věc týkající se čísel a sčítání se nazývá komutativní vlastnost sčítání. Můžeme tedy říci, že sčítání je komutativní operace. Podobně i násobení je komutativní operace.

Komutativní vlastnost sčítání:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 je stejné jako 4 + 3 = 7

Výsledek bude stejný bez ohledu na pořadí čísel.

Komutativní vlastnost násobení:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 je totéž jako 7 × 3 = 21

Podobně bude výsledek stejný bez ohledu na pořadí čísel.

Co je to asociativita

Asociativita je další vlastnost, kterou používáme, má souvislost s přeskupováním. Například při sčítání 2 + 3 + 5 můžeme buď nejprve sečíst 2 a 3 a pak přidat 5, nebo můžeme nejprve sečíst 3 a 5 a pak 2. Matematicky to vypadá takto: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operace, které se chovají tímto způsobem, se nazývají asociativní operace. Výsledek zůstává stejný, i když změníme seskupení čísel.

Asociativní vlastnost sčítání:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Výsledek zůstává stejný, ať čísla seskupíme jakkoli.

Asociativní vlastnost násobení:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Zeskupení u čísel tedy výsledek nemění.

Rozdíl mezi komutativní a asociativní vlastností

Význam

– Komutativní vlastnost pochází z termínu „komutovat“, což znamená „pohybovat se“, a týká se možnosti prohodit čísla, která sčítáme nebo násobíme, bez ohledu na pořadí čísel. Naproti tomu asociativní vlastnost pochází ze slova „sdružovat“ nebo „seskupovat“ a odkazuje na seskupování tří nebo více čísel pomocí závorek bez ohledu na to, jak je seskupujete. Výsledek bude stejný bez ohledu na to, jak čísla nebo proměnné přeskupíte.

Pravidlo

– Komutativní pravidlo sčítání říká: a + b = b + a, což znamená, že sečtení a a b dává stejný výsledek jako sečtení b a. Pořadí lze měnit, aniž by se změnil výsledek. Toto pravidlo sčítání se nazývá komutativní vlastnost sčítání. Podobně i násobení je komutativní operace, což znamená, že a × b dá stejný výsledek jako b × a. Asociativní vlastnost je naopak pravidlo, které se týká seskupování čísel. Asociativní pravidlo sčítání říká, že a + (b + c) je totéž jako (a + b) + c. Podobně asociativní pravidlo násobení říká, že a × (b × c) je totéž jako (a × b) × c.

Příklad

– Komutativní vlastnost sčítání: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Komutativní vlastnost násobení: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Asociativní vlastnost sčítání: (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Asociativní vlastnost násobení: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Komutativní vs. asociativní:

Shrnutí

Komutativní vlastnost nelze zaměňovat s asociativní vlastností. Komutativní vlastnost říká, že je v pořádku měnit pořadí čísel při operacích sčítání a násobení, protože výsledek bude stejný bez ohledu na pořadí. Asociativní vlastnost naopak říká, že výsledek bude stejný bez ohledu na to, jak čísla nebo proměnné při operacích sčítání/násobení seskupíte.