Podle všeho byla Marilyn vos Savant zázračné dítě.

Mladá savantka, která se narodila v roce 1946 v St. louis ve státě Missouri, si rychle osvojila nadání pro matematiku a přírodní vědy. V deseti letech jí byly provedeny dva testy inteligence – Stanford-Binetův test a Mega test – podle obou byla její mentální kapacita na úrovni třiadvacetiletého člověka. Poté byla zapsána do Guinnessovy knihy rekordů jako osoba s „nejvyšším IQ na světě“ a díky tomu získala mezinárodní věhlas.

Vos Savantová navzdory svému postavení „nejchytřejší ženy na světě“ tvrdila, že pokusy o měření inteligence jsou „k ničemu“, a testy IQ odmítala jako nespolehlivé. V polovině osmdesátých let, kdy měla volnou ruku při výběru profesní dráhy, si sbalila kufry a přestěhovala se do New Yorku, aby se stala spisovatelkou.

Tady ji zastihl zlom: když o ní časopis Parade napsal profil, čtenáři reagovali takovým množstvím dopisů, že jí publikace nabídla práci na plný úvazek. Krátce nato založila „Ask Marilyn“, dnes již proslulou týdenní rubriku, v níž odpovídala (a dodnes odpovídá) na nejrůznější akademické otázky a logické hádanky. Právě v obsahu jednoho z těchto sloupků vos Savantová rozpoutala jednu z nejostřejších statistických bitev 21. století.

Když vos Savantová zdvořile odpověděla na dotaz čtenáře týkající se Monty Hallova problému, tehdy relativně neznámé pravděpodobnostní hádanky, nikdy si nedokázala představit, co se bude dít: přestože její odpověď byla správná, dostala více než 10 000 dopisů, mnoho z nich od uznávaných vědců a doktorů věd.D., v nichž ji informovali, že je idiot se zaječím mozkem.

To, co následovalo, byla pro vos Savant noční můra plná nadávek, genderových domněnek a akademického pronásledování.

Problém Monty Hall: stručná historie

Představte si, že jste v televizní hře a moderátor vám předloží troje zavřené dveře. Za jedněmi z nich sedí nablýskaný, zbrusu nový Lincoln Continental, za dalšími dvěma jsou staré páchnoucí kozy. Moderátor vás prosí, abyste si vybrali jedny dveře, a vy si vyberete dveře číslo 1. Pak hostitel, který dobře ví, co se děje v zákulisí, otevře dveře č. 3 a odhalí jednu z koz.

„A teď,“ řekne a otočí se k vám, „chcete si nechat dveře č. 1, nebo chcete přejít ke dveřím č. 2?“

Statisticky vzato, která volba vám zajistí auto: ponechání si původních dveří, nebo změna? Pokud se stejně jako většina lidí domníváte, že vaše šance jsou 50 na 50, mýlíte se – pokud ovšem nemáte rádi kozy stejně jako nová auta, v takovém případě vyhrajete ve 100 % případů.

Výše uvedený scénář, známý spíše jako „Monty Hallův problém“, je poměrně známou pravděpodobnostní otázkou, která volně vychází ze slavného televizního pořadu Let’s Make a Deal. Navzdory její klamné jednoduchosti měli někteří z nejbystřejších mozků světa – profesoři MIT, renomovaní matematici a MacArthurovi „geniální“ stipendisté – problémy s pochopením její odpovědi. Po desetiletí vyvolávala intenzivní debaty ve třídách a přednáškových sálech.

Historicky Monty Hallovu problému předcházelo několik velmi podobných hádanek.

V krabicovém paradoxu Josepha Bertranda (1889) jsou předloženy tři krabice – jedna obsahuje dvě zlaté mince, druhá dvě stříbrné mince a poslední obsahuje od každé jednu. Za předpokladu, že účastník vytáhne z krabice jednu zlatou minci, se pak úloha ptá, jaká je pravděpodobnost, že druhá mince v této krabici je zlatá. Bertrand, který dospěl k závěru, že pravděpodobnost je ⅔, byl chválen za svou schopnost nahlédnout za hranice zřejmého.

Druhá iterace tohoto paradoxu, Problém tří vězňů (1959), představuje statisticky identický scénář se stejným výsledkem. “ Úžasně matoucí malý problém,“ napsal později samolibě jeho tvůrce, sloupkař Scientific American Martin Gardner. „V žádném jiném odvětví matematiky není pro odborníky tak snadné udělat chybu jako v teorii pravděpodobnosti.“

Poprvé byl Monty Hallův problém prezentován v dopise redaktorovi časopisu The American Statistician v roce 1975 a byl rovněž kontraintuitivní. V tomto dopise Steve Selvin, profesor Kalifornské univerzity v Berkeley, rozvedl situaci v úvodu tohoto článku a tvrdil, že výměna dveří přináší ⅔ šance na výhru, zatímco ponechání původních dveří vede k výhře pouze ve ⅓ případů.

V průběhu následujících zhruba deseti let se Monty Hallův problém několikrát objevil, nejprve v hádance Journal of Economics Perspectives od Barryho Nalebuffa a následně v roce 1989 ve vydání časopisu Bridge Today od Phillipa Martina. Logika ani jednoho z nich nebyla vyvrácena a problém vzbudil relativně malou pozornost.

Poté, po patnácti letech bez událostí, byl Monty Hallův problém vzkříšen Marilyn vos Savant – a následovala absolutní shit-storm.

Debakl Marilyn vos Savantové

V září 1990 věnovala Marilyn vos Savantová jeden ze svých sloupků čtenářské otázce, která představovala variaci Monty Hallova problému:

„Předpokládejme, že jste v herní show a máte na výběr ze tří dveří. Za jedněmi dveřmi je auto, za druhými kozy. Vyberete si dveře, řekněme č. 1, a moderátor, který ví, co je za dveřmi, otevře další dveře, řekněme č. 3, za kterými je koza. Zeptá se vás: „Chcete si vybrat dveře č. 2?“ „Ano,“ odpovíte. Je pro tebe výhodné prohodit si výběr dveří?“

„Ano, měl by sis je prohodit,“ odpověděla. „První dveře mají třetinovou šanci na výhru, ale druhé dveře mají dvoutřetinovou šanci.“

Přestože její odpověď byla správná, obrovská část akademiků reagovala s pobouřením. V následujících měsících obdržela vos Savant více než 10 000 dopisů – včetně dvojice od zástupce ředitele Centra pro obranné informace a výzkumného matematického statistika z Národního ústavu zdraví -, které všechny tvrdily, že byla zcela nekompetentní:

Podělala jste to, a to pořádně! Protože se zdá, že máte problém pochopit základní princip, který zde funguje, vysvětlím vám to. Poté, co hostitel odhalí kozu, máš nyní šanci jedna ku dvěma, že budeš mít pravdu. Ať už svůj výběr změníte, nebo ne, šance je stejná. Matematické negramotnosti je v této zemi dost a nepotřebujeme, aby nejvyšší IQ na světě šířilo další. Hanba!“
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Mohl bych vám doporučit, abyste si opatřil a prostudoval standardní učebnici pravděpodobnosti, než se znovu pokusíte odpovědět na otázku tohoto typu?“
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Jsem si jist, že na toto téma obdržíte mnoho dopisů od středoškolských a vysokoškolských studentů. Možná byste si měl ponechat několik adres, které vám pomohou při psaní budoucích sloupků.
W. Robert Smith, Ph.D.
Státní univerzita v Georgii

V otázce týkající se herní show se naprosto mýlíte a doufám, že tato polemika přitáhne pozornost veřejnosti k vážné národní krizi matematického vzdělávání. Pokud dokážete uznat svůj omyl, přispějete konstruktivně k řešení žalostné situace. Kolik rozzuřených matematiků je třeba, abyste změnil názor?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Udělal jste chybu, ale podívejte se na to z té pozitivní stránky. Kdyby se všichni ti doktorandi mýlili, měla by země vážné problémy.
Everett Harman, Ph.D.
Výzkumný ústav armády USA

Jste kozel!“
Glenn Calkins
Western State College

Možná se ženy dívají na matematické problémy jinak než muži.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Poprask byl tak obrovský, že vos Savantová byla nucena věnovat tři následující sloupky vysvětlení, proč je její logika správná. Dokonce i v návaznosti na její dobře formulované a jasné odpovědi byla nadále pranýřována. „Stále si myslím, že se mýlíte,“ napsal jeden muž téměř o rok později. „Existuje něco jako ženská logika.“

Však čísla, která stojí za závěrem vos Savantové, nelžou.

Vyvrácení Monty Hallova problému

Jelikož po otevření dveří č. 3 hostitelem zůstanou dvoje dveře (v jedněch je auto a ve druhých koza), většina by předpokládala, že pravděpodobnost výběru auta je ½. To by znamenalo, že si hostitel vybere auto. Není tomu tak.

„Pravděpodobnost výhry 1/3 na první volbu se nemůže zvýšit na 1/2 jen proto, že hostitel otevře prohrávající dveře,“ píše vos Savant. Pokud totiž zmapujete šest her zkoumajících všechny možné výsledky, je zřejmé, že výměna dveří vede k výhře ve dvou třetinách případů (66,6 %) a ponechání si původních dveří vede k výhře pouze v jedné třetině případů (33,3 %):

Jiný způsob, jak se na to podívat, je rozebrat každou možnost výměny dveří. Jak jsme vymezili níže, 6 z 9 možných scénářů (dvě třetiny) vede k výhře vozu:

Tyto výsledky se zdají být v rozporu s našimi intuitivními statistickými impulsy – proč tedy prohození dveří zvyšuje naše šance na výhru?

Krátká odpověď zní, že vaše původní šance na výhru s dveřmi č. 1 (⅓) se nezmění jen proto, že hostitel odhalí kozu za dveřmi č. 3; místo toho Hallova akce zvýší šance na ⅔, že výměnou vyhrajete.

Tady je další způsob, jak si to představit. Představte si, že místo tří dveří vám Monty Hall předloží 100 dveří; za 99 z nich jsou kozy a za jedněmi z nich je auto. Vyberete si dveře č. 1 a vaše počáteční šance na výhru auta je nyní 1/100:

Předpokládejme, že Monty Hall otevře 98 dalších dveří a za každými z nich odhalí kozu. Nyní máte dvě možnosti: ponechat si dveře č. 1, nebo přejít na dveře č. 100:

Když si vyberete dveře č. 1, je pravděpodobnost 99/100, že se vůz nachází za jedněmi z ostatních dveří. Skutečnost, že Monty Hall odhalí 98 koz, tuto počáteční pravděpodobnost nemění – pouze „přesouvá“ tuto 99/100 šanci na dveře č. 100. Můžete buď zůstat u svého původního výběru šance 1/100, nebo přejít ke dveřím č. 100, u nichž je pravděpodobnost výhry auta mnohem vyšší.

Přestože matematika a čísla podporují tvrzení vos Savant – že šance na výhru se při přehození dveří zvýší na ⅔ – je třeba vzít v úvahu další faktory, kterými se ve své odpovědi nezabývá.

Psychologie racionalizace

Monty Hall, moderátor pořadu ‚Let’s Make a Deal‘

V roce 1992, kdy se rozhořel spor o odpověď vos Savantové, Monty Hall — moderátor herního pořadu a jmenovec tohoto problému — usedl k rozhovoru pro New York Times.

Hall upřesnil, že věci fungovaly trochu jinak, než jak je prezentoval čtenář časopisu Parade ve vos Savantově sloupku. Ve skutečném pořadu si například ponechal pravomoc nabídnout soutěžícímu hotovost za NEpřestup. Takové detaily podle něj měnily myšlení soutěžících:

„, mysleli si, že šance na jejich dveře se nyní zvýšila na 1 ku 2, takže se neradi vzdávali dveří bez ohledu na to, kolik peněz jsem nabízel… Čím výš jsem se dostal, tím víc si mysleli, že auto je za . Chtěl jsem je tam podvodem vyměnit. To je věc, kterou můžu udělat, když mám hru pod kontrolou. Možná si myslíte, že vám pravděpodobnost vychází, když sledujete odpověď v jejím sloupci, ale je tu ještě psychologický faktor, který je třeba vzít v úvahu.“

„Psychologický faktor“, který Hall zmiňuje, se přenáší z pravidel pořadu do varianty problému, kterou jsme představili v tomto článku. U soutěžících i řešitelů způsobuje Monty Hallův problém kognitivní disonanci, což je termín, kterým psychologové označují „psychický stres, který zažívá jedinec, jenž zastává dvě nebo více protichůdných přesvědčení, myšlenek nebo hodnot současně, nebo je konfrontován s novou informací, která je v rozporu se stávajícími přesvědčeními, myšlenkami nebo hodnotami“.

Když jsou lidé konfrontováni s důkazy, které jsou „v rozporu s jejich přesvědčením“ (tj. šance na výhru při výměně dveří je ⅔, místo ½), reagují nejprve vyvrácením informace, pak se spojí s podobně smýšlejícími odpůrci a prosazují svůj vlastní tvrdě stanovený názor. Přesně taková je mentalita tisíců odpůrců vos Savanta.

***

Více než 25 let poté stále přetrvávají spory o sémantiku Monty Hallova problému a reakci vos Savanta – soustředí se hlavně na složitosti hostitelova jednání.

„Naše mozky prostě nejsou na řešení pravděpodobnostních problémů příliš dobře uzpůsobeny, takže mě nepřekvapuje, že došlo k chybám,“ řekl před lety jednomu reportérovi profesor statistiky na Stanfordu Persi Diaconis. „Striktním argumentem by bylo, že na otázku nelze odpovědět bez znalosti motivace hostitele.“

Nakonec však mnozí z těch, kteří psali, aby vos Savantovu matematiku opravili, couvli a uznali, že se mýlili.

Cvičení navržené vos Savantem k lepšímu pochopení problému bylo brzy začleněno do tisíců tříd po celé zemi. Byly sestaveny počítačové modely, které potvrdily její logiku, a podpora jejího intelektu byla postupně obnovena. Zatímco dříve věřilo v pravdivost její logiky jen 8 % čtenářů, do konce roku 1992 se toto číslo zvýšilo na 56 %, píše vos Savant; mezi akademiky se původní podpora 35 % zvýšila na 71 %.

Mezi novými věřícími byl i Robert Sachs, profesor matematiky na George Mason University, který původně napsal vos Savant nepříjemný dopis, v němž jí sdělil, že to „zkazila“, a nabídl jí pomoc s „vysvětlením“. Poté, co si uvědomil, že se ve skutečnosti mýlil, cítil se nucen poslat jí další dopis – tentokrát se kál za svou samolibost.

„Poté, co jsem si vyndal nohu z úst, nyní jím pokorný koláč,“ napsal. „Slíbil jsem, že jako pokání odpovím všem lidem, kteří mi psali, aby mě očernili. Byly to silné profesní rozpaky.“

Priceonomics napsal dvě knihy. Jedna je pro skeptiky, druhá pro optimisty. Vyberte si své dobrodružství → Všechno je blbost nebo Hipsterské obchodní modely.

Chcete-li dostávat občasná upozornění, když napíšeme příspěvek na blog, přihlaste se do našeho e-mailového seznamu. Tento příspěvek byl původně zveřejněn 19. února 2015.

.