Radioaktiv henfaldslov
Når en individuel kerne omdannes til en anden under udsendelse af stråling, siger man, at kernen henfalder. Radioaktivt henfald forekommer for alle kerner med \(Z > 82\), og også for nogle ustabile isotoper med \(Z < 83\). Henfaldshastigheden er proportional med antallet af oprindelige (ikke henfaldne) kerner N i et stof. Antallet af kerner, der går tabt ved henfald, \(-dN\) i tidsintervallet dt, skrives
\
hvor \(\lambda\) kaldes henfaldskonstanten. (Minustegnet angiver, at antallet af oprindelige kerner falder med tiden.) Med andre ord, jo flere kerner der er til rådighed til henfald, jo flere henfalder (i tiden dt). Ligning \ref{eq2} kan omskrives som
\
Integrerer man begge sider af ligningen og definerer \(N_0\) som antallet af kerner ved \(t = 0\), får vi
\
Dette giver os
Tager vi venstre og højre side af ligning \ref{eq4} som en potens af \(e\), har vi den radioaktive henfaldslov.
Radioaktiv henfaldslov
Det samlede antal \(N\) af radioaktive kerner, der er tilbage efter tiden \(t\), er
hvor \(\lambda\) er henfaldskonstanten for den pågældende kerne.
Det samlede antal kerner falder først meget hurtigt og derefter mere langsomt (Figur \(\PageIndex{2}\)).
Halveringstiden \((T_{1/2})\) for et radioaktivt stof er defineret som den tid, det tager for halvdelen af de oprindelige kerner at henfalde (eller det tidspunkt, hvor halvdelen af de oprindelige kerner er tilbage). Halveringstiden for ustabile isotoper er vist i skemaet over nuklider. Antallet af radioaktive kerner, der er tilbage efter et helt (n) antal halveringstider, er derfor
Hvis henfaldskonstanten \((\lambda)\) er stor, er halveringstiden lille, og omvendt. For at bestemme forholdet mellem disse størrelser skal man bemærke, at når \(t = T_{1/2}\), så er \(N = N_0/2\).
Sådan kan ligning \ref{eq5} omskrives som
Divideres begge sider med \(N_0\) og tages den naturlige logaritme giver
som reduceres til
Dermed, hvis vi kender halveringstiden T1/2 for et radioaktivt stof, kan vi finde dets henfaldskonstant. Et radioaktivt stofs levetid \(\overline{T}\) er defineret som den gennemsnitlige tid, som en kerne eksisterer, før den henfalder. Et stofs levetid er blot reciprokken af henfaldskonstanten, skrevet som
\
Aktiviteten A er defineret som størrelsen af henfaldshastigheden, eller
\
Den infinitesimale ændring dN i tidsintervallet dt er negativ, fordi antallet af moderpartikler (ikke henfaldne) er faldende, så aktiviteten (A) er positiv. Hvis vi definerer den oprindelige aktivitet som \(A_0 = \lambda N_0\), har vi
Sådan falder aktiviteten A af et radioaktivt stof eksponentielt med tiden (figur \(\PageIndex{3}\)).
Eksempel \(\PageIndex{1}\): Henfaldskonstant og aktivitet af Strontium-90
Halveringstiden for strontium-90, \(\ce{_{_{38}^{90}Sr}\), er 28,8 y. Find (a) dets henfaldskonstant og (b) den oprindelige aktivitet af 1,00 g af materialet.
Strategi
Vi kan finde henfaldskonstanten direkte ud fra ligning \ref{eq8}. For at bestemme aktiviteten skal vi først finde antallet af tilstedeværende kerner.
Løsning
a. Henfaldskonstanten findes til at være
\
b. Atommassen af \(_{38}^{90}Sr\) er 89,91 g. Ved hjælp af Avogadros tal \(N_A = 6,022 \ gange 10^{23}\) atomer/mol finder vi det oprindelige antal kerner i 1,00 g af materialet:
Derved finder vi, at aktiviteten \(A_0\) ved \(t = 0\) for 1.00 g strontium-90 er
\
Udtrykker vi \(\lambda\) i form af stoffets halveringstid, får vi
Dermed halveres aktiviteten efter en halveringstid. Vi kan bestemme henfaldskonstanten \(\lambda\) ved at måle aktiviteten som en funktion af tiden. Ved at tage den naturlige logaritme af venstre og højre side af ligning \ref{eq11} får vi
\
Denne ligning følger den lineære form \(y = mx + b\). Hvis vi plotter \ln A mod t, forventer vi en ret linje med hældning \(-\lambda\) og y-intercept \(\ln \, A_0\) (Figur \(\(\PageIndex{3b}\))). Aktivitet A udtrykkes i becquerel (Bq), hvor en \(1 \, Bq = 1 \, henfald \, per \, sekund\). Denne mængde kan også udtrykkes i henfald pr. minut eller henfald pr. år. En af de mest almindelige enheder for aktivitet er curie (Ci), som er defineret som aktiviteten af 1 g \(^{226}Ra\). Forholdet mellem Bq og Ci er
\
Eksempel \(\PageIndex{2}\): Hvad er\(^{14}C\) aktiviteten i levende væv?
Omkring \(20\%\) af menneskekroppens masse består af kulstof. Beregn aktiviteten som følge af \(^{14}C\) i 1,00 kg kulstof, der findes i en levende organisme. Udtryk aktiviteten i enhederne Bq og Ci.
Strategi
Aktiviteten af \(^{14}C\) bestemmes ved hjælp af ligningen \(A_0 = \lambda N_0\), hvor λ er henfaldskonstanten og \(N_0\) er antallet af radioaktive kerner. Antallet af \(^{14}C\)-kerner i en prøve på 1,00 kg bestemmes i to trin. Først bestemmes antallet af \(^{12}C\)-kerner ved hjælp af begrebet mol. For det andet multipliceres denne værdi med \(1,3 \ gange 10^{-12}\) (den kendte hyppighed af \(^{14}C\) i en kulstofprøve fra en levende organisme) for at bestemme antallet af \(^{14}C\)-kerner i en levende organisme. Henfaldskonstanten bestemmes ud fra den kendte halveringstid for \(^{14}C\) (fås fra ).
Løsning
Et mol kulstof har en masse på 12,0 g, da det er næsten rent \(^{12}C\). Antallet af kulstofkerner i et kilo er således
Antallet af \(^{14}C\) kerner i 1 kg kulstof er derfor
Nu kan vi finde aktiviteten \(A\) ved at bruge ligning \ref{eq11}. Ved at indtaste kendte værdier får vi
\
eller \(7,89 \ gange 10^9\) henfald pr. år. For at omregne dette til enheden Bq skal vi blot omregne år til sekunder. Således
\
eller 250 henfald pr. sekund. For at udtrykke A i curier bruger vi definitionen af en curie,
\
Sådan,
Signifikans
Omkring \(20\%\) af menneskekroppens vægt består af kulstof. Der sker hundredevis af \(^{14}C\) henfald i menneskekroppen hvert sekund. Kulstof-14 og andre naturligt forekommende radioaktive stoffer i kroppen udgør en persons baggrundseksponering for atomstråling. Som vi vil se senere i dette kapitel, ligger dette aktivitetsniveau et godt stykke under de maksimale anbefalede doser.