Matematik er et spil med tal, og tal findes overalt. Og reglen for spillet er de egenskaber og regler, der er forbundet med tal. Egenskaber hjælper dig med at beregne svar i dit hoved hurtigt og nemt. Egenskaber er ikke andet end særlige regler, som tal følger. Der er tre grundlæggende egenskaber ved tal, som alle matematiske systemer adlyder: Kommutative, associative og distributive egenskaber. Disse egenskaber er træk ved de fire operationer (addere, trække fra, gange og dividere), som altid gælder, uanset hvilket tal du arbejder med. Men vi vil kun diskutere kommutative og associative egenskaber i den følgende artikel.

Både kommutative og associative egenskaber er regler, der gælder for addition og multiplikation. Disse egenskaber er love, der bruges i algebra til at hjælpe med at løse problemer. Den kommutative egenskab kommer fra udtrykket “commute”, som betyder “pendle”, og det henviser til at kunne bytte rundt på de tal, man adderer eller multiplicerer. Den associative egenskab kommer fra ordet “associate” eller “group” og henviser til gruppering af tre eller flere tal ved hjælp af parenteser, uanset hvordan man grupperer dem. Resultatet forbliver det samme, uanset hvordan du omgrupperer tallene. Lad os tage et kig på de to egenskaber for bedre at forstå, hvordan de fungerer.

Hvad er kommutativt?

For eksempel; vi ved, at addition af 2 og 5 giver det samme svar som addition af 5 og 2. Rækkefølgen af tallene i en additionsopgave kan ændres, uden at resultatet ændres. Denne ting om tal og addition kaldes den kommutative egenskab ved addition. Så vi kan sige, at addition er en kommutativ operation. På samme måde er multiplikation en kommutativ operation.

Kommutativ egenskab ved addition:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 er det samme som 4 + 3 = 7

Resultatet vil være det samme, uanset rækkefølgen af tallene.

Kommutativ egenskab ved multiplikation:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 er det samme som 7 × 3 = 21

Sådan vil resultatet også være det samme uanset rækkefølgen af tallene.

Hvad er associativ?

Associativ er endnu en egenskab, som vi bruger, har at gøre med omgruppering. Når vi f.eks. lægger 2 + 3 + 5 sammen, kan vi enten lægge 2 og 3 sammen først og derefter 5, eller vi kan lægge 3 og 5 sammen først og derefter 2. Matematisk ser det således ud: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operationer, der opfører sig på denne måde, kaldes associative operationer. Resultatet forbliver det samme, selv om vi ændrer grupperingen af tallene.

Associerende egenskab ved addition:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Resultatet forbliver det samme, uanset hvordan man grupperer tallene.

Associerende egenskab ved multiplikation:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Sådan ændrer grupperingen i tallene ikke resultatet.

Forskellen mellem kommutativ og associativ

Betydning

– Den kommutative egenskab kommer af udtrykket “commutative”, som betyder “flytte rundt”, og den henviser til, at man kan bytte om på de tal, man adderer eller multiplicerer, uanset rækkefølgen af tallene. Den associative egenskab kommer derimod fra ordet “associere” eller “gruppere”, og den henviser til gruppering af tre eller flere tal ved hjælp af parenteser, uanset hvordan man grupperer dem. Resultatet bliver det samme, uanset hvordan du omgrupperer tallene eller variablerne.

Regel

– Den kommutative reglen for addition siger, a + b = b + a, hvilket betyder, at addition af a og b giver det samme resultat som addition af b og a. Ordningerne kan ændres, uden at resultatet ændres. Denne reglen for addition kaldes den kommutative egenskab ved addition. På samme måde er multiplikation en kommutativ operation, hvilket betyder, at a × b vil give det samme resultat som b × a. Den associative egenskab er derimod den regel, der henviser til gruppering af tal. Den associative regel for addition siger, at a + (b + c) er det samme som (a + b) + c. På samme måde siger den associative regel for multiplikation, at a × (b × c) er det samme som (a × b) × c.

Eksempel

– Den kommutative egenskab for addition: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Den kommutative egenskab ved multiplikation: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Den associative egenskab ved addition: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Den associative egenskab ved multiplikation: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Kommutativ vs. associativ: Sammenligningsdiagram

Summarum

I en nøddeskal er den kommutative egenskab ikke til at forveksle med den associative egenskab. Den kommutative egenskab siger, at det er i orden at ændre rækkefølgen af tallene i addition og multiplikation, fordi resultatet vil være det samme, uanset rækkefølgen. Den associative egenskab fastslår derimod, at resultatet vil være det samme, uanset hvordan du grupperer tallet eller variablerne i addition/multiplikationsoperationer.