Vi har allerede et sted, der venter på, at vi kan lave grafer over det hele, så lad os udnytte det. Vi starter med at lave en graf over det ordnede par (2, 3). For at gøre det starter vi ved oprindelsen, går 2 til højre, 3 opad og tegner derefter et punkt, hvor vi landede. Det er næsten som om vi følger et skattekort. Først rejser vi til venstre eller højre langs x-aksen for at finde det sted, hvor “x” markerer stedet, derefter rejser vi op eller ned langs y-aksen, når vi vil vide “hvorfor” skatten ikke var i kisten, hvor den skulle være. Derefter opsporer vi den kloge fyr, der gav os dette falske kort i første omgang.

Det første tal i et ordnet par fortæller os, hvor langt vi skal gå til venstre eller højre på x-aksen (horisontal tallinje), og det andet tal i det ordnede par fortæller os, hvor langt vi skal gå op eller ned på y-aksen (vertikal tallinje). Da x kommer før y i alfabetet, hører x til det første tal og y til det andet tal.

Disse tal kaldes koordinater. De “koordinerer” sig med hinanden for at nå frem til et bestemt sted på grafen. Det første tal i et ordnet par er x-koordinaten, og det andet tal er y-koordinaten. Det punkt, som vi tegner for at repræsentere det ordnede par, kaldes et punkt. Du kan kigge på et punkt, men du må ikke pege på det. Det er uhøfligt.

Når vi tegner et punkt grafisk ved at bevæge os langs x-aksen og derefter y-aksen, er det næsten som om vi bevæger os langs to sider af et imaginært rektangel. Det bør derfor ikke komme som nogen overraskelse, at vi bruger noget, der hedder det rektangulære koordinatsystem, også kendt som det kartesiske koordinatsystem. Du ser det måske oftere omtalt som “kartesisk koordinatsystem”, hvilket er uheldigt, da der ikke findes nogen form, der hedder en kartesle. Vi kan dog bare lade som om, at der findes en, og at den ligner nøjagtigt et rektangel.

Eksempelopgave

Graferer det ordnede par (5, -2).

X-koordinaten er 5 og y-koordinaten er -2, hvilket betyder, at vi starter ved oprindelsen, tæller 5 til højre på x-aksen og tæller derefter 2 ned på y-aksen. Vi har en negativ y-koordinat denne gang, så vores yo-yo vil være på vej nedad.

Teknisk set er et punkt det, vi får, når vi tegner en graf over et ordnet par. I praksis bruges udtrykket “ordnet par” og ordet “punkt” i flæng. Du kan prøve at arbejde dette ind i den daglige samtale. “Hm… du har et godt ordnet par der”, eller “Kunne du ordne par mig i retning af posthuset?”

Okay, så måske fungerer det ikke så godt på engelsk.

Vi kan tale om “punktet” (3, 4), som har koordinaterne 3 og 4. Vi kan blive bedt om at tegne en graf over et punkt, i stedet for et ordnet par. Du kan ikke gå galt, så længe du husker, at de er en og samme ting.

Ud over at bruge koordinater til at tegne en graf af et punkt kan vi også gå baglæns; det vil sige, at vi kan se på et punkt på en graf og regne dets koordinater ud. Det er som at starte med en skat og derefter lede efter skattekortet. Vi er ikke sikre på, hvem der ved sine fulde fem ville gøre tingene i den rækkefølge, men sådan er det. For at berolige os, går vi indtil videre ud fra, at denne fremgangsmåde har større værdi, når vi har med funktioner at gøre, end når vi har med gulddubloner at gøre.

Eksempelopgave

Hvad er koordinaterne for punktet i nedenstående graf?

For at komme til dette punkt fra oprindelsen skal vi gå 1 til højre (langs x-aksen) og 2 op (langs y-aksen). Derfor er koordinaterne for punktet (1, 2). I det mindste er det ikke en lang rejse fra oprindelsen, og der er ingen mellemlandinger. Det ville være en plage, hvis vi skulle stoppe ved (1, 1) i et par timer, mens vi ventede på et forbindelseskoordinat.

Så vidt jeg ved, har alle de punkter, vi har graferet, haft heltals-koordinater. Disse punkter er nemme at grafisere, men i mere avancerede problemer vil vi også få brug for at grafisere punkter med ikke-heltals-koordinater. På den anden side vil tingene blive lidt vanskeligere. På den positive side vil vi, nu hvor vi ikke behøver at holde os til et gitter, kunne tegne nogle mere interessante billeder.

Som med tallinjen kan vi tegne punkter med ikke-integrale koordinater på nogenlunde det rigtige sted, og derefter mærke punkterne, så andre ved præcis, hvor de er. Forhåbentlig er der ikke nogen, der vil finde en lineal frem, bare for at bevise, at dit punkt er en halv millimeter forkert. Hvis de gør det, har de alt for meget tid på deres hænder.