Geometri af Hamilton-systemerRediger

Hamiltonianeren kan inducere en symplektisk struktur på en glat lige-dimensionel manifold M2n på flere forskellige, men ækvivalente, måder, hvoraf de bedst kendte er følgende:

Som en lukket ikke-degenereret symplektisk 2-form ω. Ifølge Darbouxs sætning kan man i et lille kvarter omkring et hvilket som helst punkt på M i passende lokale koordinater p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}

eksisterer den symplektiske form ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}

De lokale koordinater p, q kaldes derefter kanoniske eller symplektiske.

Formen ω {\displaystyle \omega }

gør det muligt at konstruere en naturlig isomorfi T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}}M}

af tangentrummet T x M {\displaystyle T_{x}M}

og kotangentrummet T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}}M.}

Dette gøres ved at mappe en vektor ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \xi \in T_{x}M}

til 1-formen ω ξ ∈ T x ∗ M , {{\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}}M,}

hvor ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

for en arbitrær η ∈ T x M . {\displaystyle \eta \eta \in T_{x}M.}

På grund af bilineariteten og ikke-degenerationen af ω , { {\displaystyle \omega ,}

og det faktum, at d i m T x M = d i m T x x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}}} T_{x}^{*}}M,}

afbildningen ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \xi \to \omega _{\xi }}

er faktisk en lineær isomorfi. Denne isomorfi er naturlig, idet den ikke ændrer sig ved ændring af koordinater på M . {\\displaystyle M.}

Ved at gentage for hvert x ∈ M , {\displaystyle x\i M,}

ender vi med en isomorfi J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}}(M)\til \Omega ^{1}(M)}

mellem det uendeligt-dimensionelle rum af glatte vektorfelter og det af glatte 1-former. For enhver f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

og ξ , η ∈ Vect ( M ) , { {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(I algebraiske termer vil man sige, at C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-moduler Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

og Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

er isomorfe). Hvis H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , { {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

, så er der for ethvert fast t ∈ R t , {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}

og J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

er kendt som et Hamiltonsk vektorfelt. Den respektive differentialligning på M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

kaldes Hamiltons ligning. Her er x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

og J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}

er den (tidsafhængige) værdi af vektorfeltet J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

ved x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}

Et Hamilton-system kan forstås som et fiberbundt E over tiden R, hvor fibrene Et, t ∈ R, er positionsrummet. Lagrangianen er således en funktion på jetbundtet J over E; tager man den fibervise Legendre-transformation af lagrangianen, fås en funktion på det dobbelte bundt over tid, hvis fiber ved t er kotangentrummet T∗Et, som kommer udstyret med en naturlig symplektisk form, og denne sidstnævnte funktion er Hamiltonianen. Korrespondancen mellem lagrangian og Hamiltonian mekanik opnås med den tautologiske enform.

Alle glatte realværdifunktioner H på en symplektisk mangfoldighed kan bruges til at definere et Hamiltonian system. Funktionen H er kendt som “Hamiltonianen” eller “energifunktionen”. Den symplektiske mangfoldighed kaldes så for faseloftet. Hamiltonianen inducerer et særligt vektorfelt på den symplektiske mangfoldighed, kaldet det Hamiltonske vektorfelt.

Det Hamiltonske vektorfelt inducerer et Hamiltonsk flow på mangfoldigheden. Dette er en familie af transformationer af manifolden med én parameter (kurvernes parameter kaldes almindeligvis “tiden”); med andre ord, en isotopi af symplektomorfismer, der starter med identiteten. I henhold til Liouvilles sætning bevarer hver symplektomorfisme volumenformen på faserummet. Samlingen af symplektomorfismer induceret af Hamiltonstrømmen kaldes almindeligvis “Hamiltonmekanikken” for Hamilton-systemet.

Den symplektiske struktur inducerer en Poisson-bøjle. Poisson-bøjlen giver rummet af funktioner på manifolden strukturen af en Lie-algebra.

Hvis F og G er glatte funktioner på M, så er den glatte funktion ω2(IdG, IdF) korrekt defineret; den kaldes en Poisson-bøjle af funktioner F og G og betegnes {F, G}. Poisson-bøjlen har følgende egenskaber:

1. bilinearitet
2. antisymmetri
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Leibniz-regel)

4. { { { H , F } , G } + { { { { F , G } , H } + { { { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (Jacobi-identitet)

5. non-degeneration: hvis punktet x på M ikke er kritisk for F, så findes der en glat funktion G, således at { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Givet en funktion f

d d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , { {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d}} t}}}f={\frac {\partial }{\partial t}}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}

hvis der er en sandsynlighedsfordeling, ρ, så (da faserumshastigheden ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}}_{i},{\dot {q}}_{i}})}

har en divergens på nul, og sandsynligheden er bevaret) kan dens konvektive afledning påvises at være nul, og dermed er ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}}\right\}}

Dette kaldes Liouville’s sætning. Enhver glat funktion G over den symplektiske manifold genererer en familie af symplektomorfismer med én parameter, og hvis {G, H} = 0, så er G bevaret, og symplektomorfismerne er symmetritransformationer.

En Hamiltonian kan have flere bevarede størrelser Gi. Hvis den symplektiske manifold har dimension 2n, og der er n funktionelt uafhængige bevarede størrelser Gi, som er i involution (dvs. {Gi, Gj} = 0), så er Hamiltonianen Liouville-integrerbar. Liouville-Arnold-sætningen siger, at enhver Liouville-integrerbar Hamiltonianer lokalt kan omdannes via en symplektomorfisme til en ny Hamiltonianer med de bevarede størrelser Gi som koordinater; de nye koordinater kaldes aktionsvinkelkoordinater. Den transformerede Hamiltonian afhænger kun af Gi, og derfor har bevægelsesligningerne den enkle form

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

for en eller anden funktion F. Der findes et helt felt, der fokuserer på små afvigelser fra integrerbare systemer, der er reguleret af KAM-sætningen.

Integrerbarheden af Hamiltonske vektorfelter er et åbent spørgsmål. Generelt er Hamilton-systemer kaotiske; begreber som mål, fuldstændighed, integrabilitet og stabilitet er dårligt defineret.

Riemannske mangfoldighederRedigér

Et vigtigt specialtilfælde består af de Hamiltonianere, der er kvadratiske former, dvs, Hamiltonians, der kan skrives som

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}}(q,p)={{\tfrac {1}{2}}}\langle p,p\rangle _{q}}

hvor ⟨ , ⟩q er et jævnt varierende indre produkt på fibrene T∗
qQ, kotangentrummet til punktet q i konfigurationsrummet, undertiden kaldet et kometrisk produkt. Denne Hamiltonian består udelukkende af den kinetiske term.

Hvis man betragter en Riemannsk mangfoldighed eller en pseudo-Riemannsk mangfoldighed, inducerer den Riemannske metrik en lineær isomorfi mellem tangent- og cotangentbundterne. (Se musikalsk isomorfi). Ved hjælp af denne isomorfi kan man definere en kometrisk. (I koordinater er den matrix, der definerer den kometriske matrix, den omvendte af den matrix, der definerer den metriske matrix). Løsningerne til Hamilton-Jacobi-ligningerne for denne Hamiltonianer er så de samme som geodætiske linjer på manifolden. Især er den Hamiltoniske strømning i dette tilfælde det samme som den geodætiske strømning. Eksistensen af sådanne løsninger og fuldstændigheden af mængden af løsninger diskuteres i detaljer i artiklen om geodæter. Se også Geodætiske som Hamiltonstrømme.

Sub-Riemannske mangfoldighederRediger

Når kometrien er degenereret, så er den ikke invertibel. I dette tilfælde har man ikke en riemannisk mangfoldighed, da man ikke har en metrik. Hamiltonianen eksisterer dog stadig. I det tilfælde, hvor kometrien er degenereret i hvert punkt q i konfigurationsrummets manifold Q, således at kometriens rang er mindre end dimensionen af manifolden Q, har man en sub-Riemannsk manifold.

Hamiltonianen i dette tilfælde er kendt som en sub-Riemannsk Hamiltonian. Enhver sådan Hamiltonian bestemmer entydigt den kometriske og omvendt. Dette indebærer, at enhver sub-Riemannsk mangfoldighed er entydigt bestemt af sin sub-Riemannske Hamiltonian, og at det omvendte er sandt: enhver sub-Riemannsk mangfoldighed har en entydig sub-Riemannsk Hamiltonian. Eksistensen af sub-Riemannske geodæser er givet ved Chow-Rashevskii-sætningen.

Den kontinuerte, reelt værdisatte Heisenberg-gruppe er et simpelt eksempel på en sub-Riemannsk mangfoldighed. For Heisenberg-gruppen er Hamiltonianen givet ved

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz er ikke involveret i Hamiltonianen.

Poisson algebraerRediger

Hamiltonian systemer kan generaliseres på forskellige måder. I stedet for blot at se på algebraen af glatte funktioner over en symplektisk mangfoldighed kan Hamilton-mekanikken formuleres på generelle kommutative unitale reelle Poisson-algebraer. En tilstand er en kontinuerlig lineær funktionel på Poisson-algebraen (udstyret med en passende topologi), således at A2 for ethvert element A i algebraen kortlægges til et ikke-negativt reelt tal.

En yderligere generalisering er givet ved Nambu-dynamikken.

Generalisering til kvantemekanik gennem Poisson-bøjleRediger

Hamiltons ligninger ovenfor fungerer godt for den klassiske mekanik, men ikke for kvantemekanikken, da de diskuterede differentialligninger forudsætter, at man kan angive partiklens nøjagtige position og impuls samtidig på ethvert tidspunkt. Ligningerne kan imidlertid generaliseres yderligere, så de derefter kan udvides til at gælde for kvantemekanikken såvel som for den klassiske mekanik, gennem deformation af Poisson-algebraen over p og q til algebraen af Moyal-bøjler.

Specifikt lyder den mere generelle form af Hamiltons ligning

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}=\left\{f,{\mathcal {H}}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}

hvor f er en funktion af p og q, og H er Hamiltonianen. For at finde ud af reglerne for evaluering af en Poisson-bøjle uden at ty til differentialligninger, se Lie-algebra; en Poisson-bøjle er navnet for Lie-bøjlen i en Poisson-algebra. Disse Poisson-bøjler kan derefter udvides til Moyal-bøjler, der svarer til en uækvivalent Lie-algebra, som påvist af Hilbrand J. Groenewold, og derved beskrive kvantemekanisk diffusion i faserummet (se faserumsformuleringen og Wigner-Weyl-transformationen). Denne mere algebraiske tilgang gør det ikke kun muligt i sidste ende at udvide sandsynlighedsfordelinger i faserummet til Wigner-lignende sandsynlighedsfordelinger, men giver ved den rene Poisson-bøjle-klassiske indstilling også mere kraft til at hjælpe med at analysere de relevante bevarede størrelser i et system.