Matematik bruger opdigtede regler til at skabe modeller og relationer. Når jeg lærer, spørger jeg:

• Hvilken relation repræsenterer denne model?
• Hvilke virkelige genstande deler denne relation?
• Giver denne relation mening for mig?

Det er enkle spørgsmål, men de hjælper mig med at forstå nye emner. Hvis du kunne lide mine matematikindlæg, så dækker denne artikel min tilgang til dette ofte udskældte emne. Mange mennesker har efterladt indsigtsfulde kommentarer om deres problemer med matematik og ressourcer, der har hjulpet dem.

Matematikundervisning

Lærebøger fokuserer sjældent på forståelse; det handler mest om at løse problemer med “plug and chug”-formler. Det gør mig trist, at smukke ideer får en så rutinepræget behandling:

• Pythagoras’ sætning handler ikke kun om trekanter. Den handler om forholdet mellem lignende former, om afstanden mellem et hvilket som helst sæt tal og meget mere.
• e er ikke bare et tal. Det handler om de grundlæggende sammenhænge mellem alle vækstrater.
• Den naturlige logaritme er ikke bare en omvendt funktion. Den handler om den tid, ting skal bruge for at vokse.

Elegant, “a ha!”-indsigt burde være vores fokus, men det overlader vi til eleverne, så de tilfældigt selv kan snuble over det. Jeg fik et “a ha!”-øjeblik efter en helvedes bramsession i college; siden da har jeg ønsket at finde og dele disse åbenbaringer for at spare andre for den samme smerte.

Men det virker begge veje – jeg vil også gerne have, at du deler dine indsigter med mig. Der er mere forståelse, mindre smerte, og alle vinder.

Matematik udvikler sig over tid

Jeg betragter matematik som en måde at tænke på, og det er vigtigt at se, hvordan denne tænkning har udviklet sig, i stedet for kun at vise resultatet. Lad os prøve et eksempel.

Forestil dig, at du er en hulemand, der laver matematik. Et af de første problemer vil være, hvordan man tæller ting. Flere systemer har udviklet sig gennem tiden:

Ingen systemer er rigtige, og de har hver især fordele:

• Unært system: Tegn linjer i sandet — så enkelt som det kan blive. Godt til at holde point i spil; du kan tilføje til et tal uden at slette og omskrive.
• Romerske tal: Mere avanceret unært system, med genveje til store tal.
• Decimaltal: Kæmpe erkendelse af, at tal kan bruge et “positionelt” system med sted og nul.
• Binært system: Det enkleste positionssystem (to cifre, on vs. off), så det er godt til mekanisk udstyr.
• Videnskabelig notation: Ekstremt kompakt, kan nemt måle et tals størrelse og præcision (1E3 vs. 1.000E3).

Tænker du, at vi er færdige? Nej, slet ikke. Om 1000 år vil vi have et system, der får decimaltallene til at se lige så maleriske ud som romertal (“Ved gud, hvordan klarede de sig med så klodsede redskaber?”).

Negative tal er ikke så virkelige

Lad os tænke lidt mere over tal. Eksemplet ovenfor viser, at vores talsystem er en af mange måder at løse “tælle”-problemet på.

Romanerne ville betragte nul og brøker som mærkelige, men det betyder ikke, at “intethed” og “del til helhed” ikke er nyttige begreber. Men se, hvordan hvert system indarbejdede nye idéer.

Brudtal (1/3), decimaltal (.234) og komplekse tal (3 + 4i) er måder at udtrykke nye relationer på. De giver måske ikke mening lige nu, ligesom nul ikke “gav mening” for romerne. Vi har brug for nye relationer i den virkelige verden (som f.eks. gæld), for at de kan klikke.

Selv da eksisterer negative tal måske ikke på den måde, som vi tror, som du overbeviser mig om her:

Du: Negative tal er en god idé, men eksisterer ikke i sig selv. Det er en etiket, som vi anvender på et begreb.

Mig: Selvfølgelig gør de det.

Du: Okay, vis mig -3 køer.

Mig: Tja, øh… antag, at du er landmand, og at du har mistet 3 køer.

Du: Okay, du har nul køer.

Mig: Nej, jeg mener, at du gav 3 køer til en ven.

Du: Okay, han har 3 køer, og du har nul.

Mig: Nej, jeg mener, han vil give dem tilbage en dag. Han står i gæld til dig.

Du: Du: Ah. Så det faktiske antal, jeg har (-3 eller 0), afhænger af, om jeg tror, at han betaler mig tilbage. Jeg var ikke klar over, at min mening ændrede, hvordan tælling fungerede. I min verden havde jeg nul hele tiden.

Mig: Suk. Sådan er det ikke. Når han giver dig køerne tilbage, går du fra -3 til 3.

Du: Okay, så han giver 3 køer tilbage, og vi hopper 6, fra -3 til 3? Er der andre nye regnestykker, som jeg skal være opmærksom på? Hvordan ser sqrt(-17) køer ud?

Mig: Ud med dig.

Negative tal kan udtrykke et forhold:

• Positive tal repræsenterer et overskud af køer
• Nul repræsenterer ingen køer
• Negative tal repræsenterer et underskud af køer, som antages at blive betalt tilbage

Men det negative tal “er der egentlig ikke” – der er kun det forhold, de repræsenterer (et overskud/underskud af køer). Vi har skabt en model med “negative tal” for at hjælpe med bogføringen, selv om man ikke kan holde -3 køer i hånden. (Jeg har med vilje brugt en anden fortolkning af, hvad “negativ” betyder: det er et andet tællesystem, ligesom romertal og decimaltal er forskellige tællesystemer.)

I øvrigt blev negative tal ikke accepteret af mange mennesker, herunder vestlige matematikere, før 1700-tallet. Tanken om et negativt tal blev betragtet som “absurd”. Negative tal virker underlige, medmindre man kan se, hvordan de repræsenterer komplekse relationer i den virkelige verden, som f.eks. gæld.

Hvorfor al den filosofi?

Jeg indså, at mit **mindset er nøglen til læring. **Det hjalp mig til at nå frem til dybe indsigter, specielt:

• Faktuel viden er ikke forståelse. At vide, at “hammere slår søm i stykker” er ikke det samme som den indsigt, at enhver hård genstand (en sten, en skruenøgle) kan slå et søm i stykker.
• Hold et åbent sind. Udvikl din intuition ved at tillade dig selv at være en nybegynder igen.

En universitetsprofessor tog på besøg hos en berømt zenmester. Mens mesteren stille og roligt serverede te, talte professoren om zen. Mesteren hældte den besøgendes kop op til randen og blev derefter ved med at hælde op. Professoren betragtede den overflydende kop, indtil han ikke længere kunne holde sig tilbage. “Den er overfyldt! Der kan ikke komme mere i!”, udbrød professoren. “Du er som dette bæger,” svarede mesteren, “Hvordan kan jeg vise dig Zen, hvis du ikke først tømmer dit bæger.”

• Vær kreativ. Kig efter mærkelige forhold. Brug diagrammer. Brug humor. Brug analogier. Brug mnemoteknikker. Brug alt, hvad der kan gøre idéerne mere levende. Analogier er ikke perfekte, men hjælper, når man kæmper med den generelle idé.
• Indse, at du kan lære. Vi forventer, at børn skal lære algebra, trigonometri og regning, som ville forbløffe de gamle grækere. Og det bør vi også: Vi er i stand til at lære så meget, hvis vi får det forklaret korrekt. Stop ikke, før det giver mening, eller det matematiske hul vil forfølge dig. Mental robusthed er afgørende – vi giver ofte op for let.

Så hvad er pointen?

Jeg vil gerne dele det, jeg har opdaget, i håb om, at det hjælper dig med at lære matematik:

• Matematik skaber modeller, der har bestemte relationer
• Vi forsøger at finde fænomener i den virkelige verden, der har den samme relation
• Vores modeller bliver altid bedre. Der kan komme en ny model, der bedre forklarer denne relation (romertal til decimalsystem).

Sikkert, nogle modeller ser ud til ikke at have nogen nytte: “Hvad nytter imaginære tal?”, spørger mange elever. Det er et gyldigt spørgsmål med et intuitivt svar.

Brugen af imaginære tal er begrænset af vores fantasi og forståelse — ligesom negative tal er “ubrugelige”, medmindre man har en idé om gæld, kan imaginære tal være forvirrende, fordi vi ikke rigtig forstår den relation, de repræsenterer.

Matematik giver modeller; forstå deres relationer, og anvend dem på virkelige objekter.

Udvikling af intuition gør det sjovt at lære — selv regnskab er ikke dårligt, når man forstår de problemer, det løser. Jeg ønsker at dække komplekse tal, regning og andre vanskelige emner ved at fokusere på relationer, ikke på beviser og mekanik.

Men det er min erfaring — hvordan lærer du bedst? Et par venner har skrevet om deres erfaringer:

• Ed Latimore: En bokser lærer dig, hvordan du bliver bedre til matematik
• Scott Young: Sådan lærer du dig selv matematik

Andre indlæg i denne serie

1. Udvikle din intuition for matematik
2. Hvorfor lærer vi matematik?
3. Hvordan udvikler man et mindset for matematik
4. Lærer man matematik? Tænk som en tegneserietegner.
5. Matematik som sprog: Forstå lighedstegnet
6. Undgå adjektivfalsen
7. Find enhed i matematikkrigene
8. Brev er smukt
9. Lær svære begreber med ADEPT-metoden
10. Intuition, detaljer og bue/pile-metaforen
11. Lær at lære at lære:
12. Lær at lære at lære: Intuition er ikke valgfrit
13. Lær at lære at lære: Intuition er ikke valgfrit
14. Lær at lære: Omfavn analogier
15. Lær at lære at lære: Blyant, så blæk
16. Lær at lære at lære: Matematisk abstraktion
17. Læringstip: Fix den begrænsende faktor
18. Honorøse og realistiske vejledninger til læring
19. Empati-drevet matematik
20. Studie af et kursus (maskinlæring) med ADEPT-metoden
21. Matematik og analogier
22. Kolorerede matematiske ligninger
23. Analogi: Matematik og madlavning
24. Læring af matematik (Mega Man vs. Tetris)