For et par måneder siden deltog jeg i et kreativt origami-frokostmøde arrangeret af nogle dejlige mennesker på $WORK. Jeg havde lavet origami en smule, da jeg var yngre, men mest bare frøer og traner, som siden har hjulpet mig med at fordrive timerne, når jeg har været til eksamensopgaver. På dette frokostmøde blev jeg imidlertid vist, hvordan man laver modulopbygget origami. Det indebærer, at man laver masser af (generelt ret enkle) origamidele og derefter sætter dem sammen til større strukturer.

Jeg gik hjem med en enkel Sonobe-bold med 12 enheder den eftermiddag og var meget tilfreds med mig selv.

Det hele er eskaleret derfra.

Mellem at køre nogle af disse frokostsessioner selv nu og at blive spurgt ved flere lejligheder på Twitter om, hvordan jeg laver de smukke ting, jeg bliver ved med at tweete, tænkte jeg, at det ville være nyttigt at sammensætte en hurtig guide (eller en link-farm, i det mindste).

Sonobe-enheder er meget nemme at folde, de er ret tilgivende og kan bruges til at lave en terning (6 enheder), et akkumuleret oktaeder (12 enheder), et akkumuleret isosaeder (30) og en slags afkortet isosaeder (90, i princippet en fodbold med spidser). De er en ret god introduktion til de generelle principper:

Den med 30 enheder har symmetrierne fra et icosaeder (eller dodekaeder). Når man først har lært at konstruere dette objekt i Sonobe-moduler, har man i princippet lært at konstruere en hvilken som helst modulopbygget origamikugle med 30 enheder: det drejer sig for det meste om at sætte 30 kant-enheder i grupper af tre for at danne de 12 femkantede flader i et dodekaeder (eller tilsvarende/alternativt at sætte dem i grupper af fem for at danne de 20 trekantede flader i et icosaeder – forskellen er for det meste et spørgsmål om perspektiv).

Der er masser af variationer af Sonobe-enheden, som du kan (gen)opfinde ved at tilføje rygfoldninger, der blotlægger den anden side af papiret, eller ved at gøre fanerne smallere end lommerne, hvilket giver et mere indviklet udseende.

Men selv om strukturen med 90 enheder er ret stabil, har den næste (270 enheder) tendens til at synke under sin egen vægt med tiden, men på det tidspunkt føltes det som en ret til at lave en sådan.

Sonobe-enhederne kan også samles med vrangen udad for at lave indadgående kumulative polyedre…

…og de kan også samles parvis og derefter samles til et pentakis dodekaeder med spidser…

…og andre strukturer.

Den næste enhed, jeg prøvede, var Penultimate edge unit (tilskrevet Robert Neal), som kan bruges til at lave et wireframe dodekaeder, som demonstreret af Matt Parker, stand-up-matematikeren. Andre variationer af denne underenhed kan bruges til at lave stort set alle andre wireframe-polyedre.

Thomas Hulls PhiZZ-kantenhed laver lignende wireframe-strukturer, men modulerne passer mere tæt sammen, og de resulterende strukturer er meget mere robuste end dem, man får med de næstsidste moduler.

Du kan også lave varianter med farveskift ved hjælp af den teknik, der er vist i Lewis Simons dekorationskasser.

For strukturer baseret på dodekaeder/icosaeder og lavet af kant-enheder kan man altid slippe af sted med kun at bruge tre farver og aldrig have to stykker af samme farve, der rører hinanden. Det skyldes, at man kan tegne et Hamilton-kredsløb på et dodekaeder: det vil sige en sti fra toppunkt til toppunkt, som kun besøger hvert toppunkt én gang, og som kommer tilbage til det sted, hvor den startede. Du kan repræsentere dette i 2D på et Schlegel-diagram.

Hvis man farver skiftevis kanterne i Hamilton-kredsløbet i to af de valgte farver og resten af kanterne i den tredje farve, så undgår man at få farvekonflikter. Jeg har først lært dette, efter at jeg er begyndt at lave disse strukturer, så det er ikke alle strukturer, der har denne optimale farvelægning! Den samme 3-farveregel gælder for de andre platoniske legemer og også for det afkortede isosaeder.

Francesco Mancinis kusudama med stjernehuller bruger et lignende modul som PHiZZ, men med en lille bagudbøjning, der giver en flot 3D-stjerneeffekt. Denne er dodekaeder-formet (30 enheder), men en 90-enheders afkortet icosaeder skulle også være mulig.

UPDATE: ja, det er muligt 🙂

Lewis Simon og Bennett Arnsteins trekantsenhed kan bruges til at lave meget flotte patchtwork-tetraedre, oktaedre og icosaedre.

De er lidt besværlige at sætte sammen, men er meget robuste, når de først er konstrueret. En lignende patchwork-effekt for dodekaederet kan opnås med M. Mukhopadhyays paraplymodul; Sonobe-enheder kan bruges til at lave analoge terninger i Battenberg-kage-stil.

Den enkle ligebenede trekant-enhed (tilskrives på forskellig vis M. Mukhopadhyay, Jeannine Mosely og Roberto Morassi) kan bruges til at fremstille små og store stjerneformede dodekaeder.

Den lille stjerneformede dodokaeder er særlig tiltalende og giver en ret robust dekoration, hvis den er lavet af papir med foliebagside.

Den store stjerneformede dodekaeder kan laves af samme underenhed, men er vanskeligere at konstruere, fordi en fane skal krølles rundt i en lomme, der ligger delvist inde i den næste fanerunde. Jeg brugte en nåletang til at konstruere den, og jeg er stadig ikke særlig tilfreds med resultatet.

Det modsatte gælder for Paolo Bascettas stjernemodul, som giver et stort stort stjerneformet dodekaeder, men en ret *eh* lille stjerne. Dette modul har brug for duopapir (dvs. papir, der er farvet på begge sider) for at opnå den bedste effekt.

Dave Mitchells Electra-modul kan bruges til at lave et icosidodekaeder: det er usædvanligt, idet hvert modul svarer til et toppunkt i strukturen: de kant-enheder, der er beskrevet indtil nu, kombineres sammen for at lave hvert toppunkt.

Jeg er ikke så tilfreds med min Void kusudama (Tadashi Mori): Jeg burde have brugt duopapir, men det var virkelig svært at sætte sammen. Måske en dag. Det er en af de få strukturer her, der er tilbage til den oprindelige oktaedriske/kubiske 12-enhedsstruktur. Jeg er ikke sikker på, at 30-enheds-versionen ville være stabil.

OPDATERING: Ja, jeg tror ikke, at 30-enhedsversionen kan lade sig gøre. Jeg tror, at enhederne er for brede til, at de rent faktisk passer ind i et icosaeder: Jeg kunne ikke engang klare det med lim, så jeg tror ikke, at det bare er et stabilitetsproblem. Jeg har dog lavet en bedre version med 12 enheder, med duopapir og en lille omvendt foldning på den yderste kant for at eksponere den anden farve ordentligt, som jeg er ret tilfreds med:

Tomoko Fusè’s små skildpadde-moduler er ekstremt fleksible: de kan bruges til at lave stort set alle polyedre, der er lavet af regulære polygoner. Men fordi klapperne kun er ét papirlag tykke, passer de ikke forfærdelig tæt sammen, så jeg har kun fundet dem robuste nok til at lave mindre strukturer uden hjælp af lim. Med lim har jeg dog lavet et rhombicosidodekaeder, som er sejt, fordi det er bygget af femkanter, trekanter og firkanter (alle de polygoner, der findes i de platoniske faste legemer) …

…og også et par snub-cubes, som er endnu mere interessante, da snub-cube’en har to ikke-superimponerbare spejlbilleder, ligesom hænder, aminosyrer og amfetaminer.

Jeg fandt Maria Sinayskaya Etna kusudama i Meenakshi Mukerji’s Exquisite Modular Origami bog. Det er en rigtig smuk model, og den er robust, når den først er samlet, men den kan være lidt fally-aparty under opbygningen: Jeg brugte meget små tøjklemmer til at holde den sammen, mens jeg lavede den.

Meenakshi Mukerji’s sammensætning af fem oktaedre (inspireret af Dennis Walker) er også en smule fally-aparty, men jeg kan godt lide den, da den – i modsætning til mange af disse modeller – virkelig er polyederet med det navn, snarere end noget, hvor man er nødt til at skele til hullerne i trådrammen og forestille sig ansigter der.

De fem krydsende tetraedre er faktisk meget nemmere at lave, end de ser ud. Selve Francis Ows 6 graders moduler er nemme at folde, og toppene er meget mere robuste, end de ser ud til at være. Det sværeste er at få modulerne sammenkoblet på den rigtige måde. Det er lykkedes mig to gange, men kun mens jeg stirrede på YouTube-videoen og udførte diverse “lilla = grøn”-gymnastik i mit hoved.

Michał Kosmulskis side har masser af dejlige illustrationer, instruktioner og inspirationer. Jeg fandt Tung Ken Lam’s blintz icosadodecahedron (også krediteret som Francesco Mancini’s UVWXYZ intersecting planes model) der. Den har samme symmetri som Electra icosadodekaederet ovenfor, men man kan se de seks skærende femkanter tydeligere. Begge har den samme underliggende struktur som Hoberman-kuglen – den ekspanderende/kontraherende plastikpinde-model, som er elsket på videnskabelige messer.

Dette sidste er lidt snyd, da ovenstående strukturer (i teorien, og for det meste også i praksis) ikke holdes sammen af andet end friktion. Valentina Gonchars afslørede blomsterstjerne-kusudama skal limes, hvilket er en slags snyd, men jeg kunne ikke lade være, da det er to strukturer i én:

Det, jeg stadig gerne vil lave:

• Byg en meget større PhiZZ-kugle (270 enheder): den ville være nyttig til at demonstrere strukturen af viruskapsider. UPDATE: Færdig!

• Jeg har endnu ikke fundet en god stor dodekaedermodel: de findes på Pintrest, men jeg har endnu ikke fundet nogen vejledning til en sådan. UPDATE: Færdig! (Kunne for mit liv ikke finde ud af, hvordan man laver 3-farvning, men modulet er fra Saku B, anbefalet af Nick i kommentarerne nedenfor)

• Jeg har mistet, hvor det var, jeg fandt vejledningen til dette indvendigt kumulerede rhombiske triacontaeder: Jeg vil meget gerne genfinde dem, så jeg kan kreditere opfinderen! UPDATE: det var ikke her, jeg oprindeligt så det, men AresMares by Gewre har en videovejledning, og en venlig kommentator har ladet mig vide, at designeren er Silvana Betti Mamino – tak!

• Inventér mit eget modul 🙂