I denne artikel vil du lære om Permutationer og kombinationer: Definition, formler, løste eksempler og en quiz med øvelsesspørgsmål.

Permutationer

Definition

Permutationer er de forskellige måder, hvorpå en samling af elementer kan arrangeres.

For eksempel:

De forskellige måder, hvorpå alfabeterne A, B og C kan grupperes sammen, taget alle ad gangen, er ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Bemærk, at ABC og CBA ikke er ens, da rækkefølgen af arrangementet er forskellig. Den samme regel gælder, når man løser en opgave i Permutationer.

Det antal måder, hvorpå n ting kan arrangeres, taget alle ad gangen, nPn = n!, kaldes ‘n faktorial.’

Factorialformel

Factorial af et tal n er defineret som produktet af alle tal fra n til 1.

Factorial af 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Derfor er antallet af måder, hvorpå de 3 bogstaver kan arrangeres, taget alle ad gangen, 3! = 3*2*1 = 6 måder.

Antal af permutationer af n ting, taget r ad gangen, betegnet ved:

nPr = n! / (n-r)!

For eksempel:

De forskellige måder, hvorpå de 3 bogstaver, taget 2 ad gangen, kan arrangeres på, er 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 måder.

Vigtige permutationsformler

1! = 1

0! = 1
Lad os se på nogle eksempler:

Problem 1: Find antallet af ord, med eller uden betydning, der kan dannes med bogstaverne i ordet ‘CHAIR’.

Løsning:

‘CHAIR’ indeholder 5 bogstaver.

Der er derfor antallet af ord, der kan dannes med disse 5 bogstaver = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problem 2: Find antallet af ord, med eller uden betydning, der kan dannes med bogstaverne i ordet ‘INDIEN’.

Løsning:

Ordet ‘INDIEN’ indeholder 5 bogstaver, og ‘I’ forekommer to gange.

Når et bogstav forekommer mere end én gang i et ord, dividerer vi faktorialen af antallet af alle bogstaver i ordet med antallet af forekomster af hvert bogstav.

Derfor er antallet af ord dannet af ‘INDIEN’ = 5!/2! = 60.

Problem 3: Find antallet af ord, med eller uden betydning, der kan dannes med bogstaverne i ordet ‘SVØMME’

Løsning:

Ordet ‘SVØMME’ indeholder 8 bogstaver. Heraf forekommer I to gange og M to gange.

Der er derfor antallet af ord, der kan dannes af dette ord = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problem 4: Hvor mange forskellige ord kan der dannes med bogstaverne i ordet ‘SUPER’, således at vokalerne altid kommer sammen?

Løsning:

Ordet ‘SUPER’ indeholder 5 bogstaver.

For at finde antallet af permutationer, der kan dannes, hvor de to vokaler U og E kommer sammen.

I disse tilfælde grupperer vi de bogstaver, der skal komme sammen, og betragter denne gruppe som ét bogstav.

Så bogstaverne er S,P,R, (UE). Nu er antallet af ord 4.

Der er derfor antallet af måder, hvorpå 4 bogstaver kan arrangeres, 4!

I U og E er antallet af måder, hvorpå U og E kan arrangeres, 2!

Der er altså i alt 4 måder, hvorpå bogstaverne i ‘SUPER’ kan arrangeres, således at vokalerne altid er sammen! * 2! = 48 måder.

Problem 5: Find antallet af forskellige ord, der kan dannes med bogstaverne i ordet ‘SMØR’, således at vokalerne altid er sammen.

Løsning:

Ordet ‘SMØR’ indeholder 6 bogstaver.

Bogstaverne U og E skal altid komme sammen. Bogstaverne er altså B, T, T, T, R, (UE).

Antal måder, hvorpå ovenstående bogstaver kan arrangeres = 5!/2! = 60 (da bogstavet ‘T’ gentages to gange).

Antal måder, hvorpå U og E kan arrangeres = 2! = 2 måder

Dermed er det samlede antal mulige permutationer = 60*2 = 120 måder.
Problem 6: Find antallet af permutationer af bogstaverne i ordet ‘REMAINS’, således at vokalerne altid optræder på ulige steder.

Løsning:

Ordet ‘REMAINS’ har 7 bogstaver.

Der er 4 konsonanter og 3 vokaler i det.

Skrivning på følgende måde gør det lettere at løse denne type spørgsmål.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Antal måder hvorpå 3 vokaler kan optræde 4 forskellige steder = 4P3 = 24 måder.

Når 3 vokaler tager 3 steder, er antal måder hvorpå 4 konsonanter kan tage 4 steder = 4P4 = 4! = 24 måder.

Dermed er det samlede antal mulige permutationer = 24*24 = 576 måder.

Kombinationer Definition De forskellige valg, der er mulige ud fra en samling af elementer, kaldes kombinationer.

For eksempel:

De forskellige mulige valg af alfabeterne A, B, C, taget 2 ad gangen, er AB, BC og CA.

Det er ligegyldigt, om vi vælger A efter B eller B efter A. Udvælgelsesrækkefølgen er ikke vigtig i kombinationer.

For at finde antallet af mulige kombinationer ud fra en given gruppe af genstande n, taget r ad gangen, er formlen, betegnet med nCr,

nCr = n! /

Til kontrol af ovenstående eksempel er de forskellige valgmuligheder af alfabeterne A, B, C, taget to ad gangen

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 mulige valg (dvs, AB, BC, CA)

Væsentlige kombinationsformler

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Antal mulige valg med A, B, C, taget alle ad gangen, er 3C3 = 1 (dvs. ABC)

Løste eksempler på kombinationer

Lad os tage et kig på nogle eksempler for at forstå, hvordan kombinationer fungerer:

Problem 1: På hvor mange måder kan et udvalg bestående af 1 mand og 3 kvinder kan dannes ud fra en gruppe på 3 mænd og 4 kvinder?

Løsning:

Antal måder hvorpå 1 mand kan udvælges fra en gruppe på 3 mænd = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 måder.

Antal måder, hvorpå 3 kvinder kan vælges fra en gruppe på 4 kvinder = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 måder.

Problem 2: Blandt et sæt bestående af 5 sorte kugler og 3 røde kugler, hvor mange valg af 5 kugler kan der foretages, således at mindst 3 af dem er sorte kugler.

Løsning:

I et sæt af 5 sorte kugler kan der i et samlet udvalg af 5 kugler vælges mindst 3 sorte kugler, og det kan

være

3 B og 2 R

4 B og 1 R og

5 B og 0 R kugler.

Dermed ser vores løsningsudtryk således ud:
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 måder .

Problem 3: Hvor mange 4-cifrede tal, der er delelige med 10, kan dannes af tallene 3, 5, 7, 8, 9, 0, således at intet tal gentages?

Løsning:

Hvis et tal er deleligt med 10, skal dets enhedsplads indeholde et 0.
_ _ _ _ _ 0

Når 0 er placeret på enhedspladsen, kan tierspladsen fyldes med et hvilket som helst af de andre 5 cifre.

Det kan gøres på 5C1 = 5 måder at vælge et ciffer ud af 5 cifre.

Når vi har fyldt tierspladsen, er vi tilbage med 4 cifre. Valg af 1 ciffer ud af 4 cifre kan ske på 4C1 = 4 måder.

Efter at have udfyldt hundredpladsen kan tusindpladsen udfyldes på 3C1 = 3 måder.

Dermed er de samlede kombinationsmuligheder = 5*4*3 = 60.

Permutationer og kombinationer quiz

Prøv disse øvelsesopgaver.