Milyn vos Savant var efter alt at dømme et vidunderbarn.

Født i St. Louis, Missouri i 1946, udviklede den unge savant hurtigt en evne til matematik og videnskab. I en alder af 10 år fik hun to intelligenstest – Stanford-Binet og Mega Test – som begge placerede hendes mentale kapacitet som en 23-årig. Hun blev efterfølgende optaget i Guinness Book of World Records for at have “verdens højeste IQ” og opnåede som følge heraf international berømmelse.

Trods sin status som “verdens klogeste kvinde” fastholdt vos Savant, at forsøg på at måle intelligens var “ubrugelige”, og hun afviste IQ-tests som upålidelige. I midten af 1980’erne, hvor hun havde frie tøjler til at vælge en karrierevej, pakkede hun sine ting og flyttede til New York City for at blive forfatter.

Her fik hun et gennembrud: Da Parade Magazine skrev en profil om hende, reagerede læserne med så mange breve, at publikationen tilbød hende et fuldtidsjob. Kort efter oprettede hun “Ask Marilyn”, en nu berømt ugentlig klumme, hvor hun besvarede (og fortsat besvarer den dag i dag) en række akademiske spørgsmål og logiske gåder. Det var i en af disse klummer, at vos Savant antændte en af de mest ophedede statistiske kampe i det 21. århundrede.

Da vos Savant høfligt svarede på en læsers forespørgsel om Monty Hall-problemet, en dengang relativt ukendt sandsynlighedsopgave, kunne hun aldrig have forestillet sig, hvad der ville ske: Selv om hendes svar var korrekt, modtog hun over 10.000 breve, mange fra kendte forskere og ph.d.-studerende.D., der informerede hende om, at hun var en tåbelig idiot.

Det, der fulgte for vos Savant, var en mareridtsagtig rejse, fyldt med skældsord, kønsbaserede antagelser og akademisk forfølgelse.

The Monty Hall Problem: A Brief History

Forestil dig, at du er med i et tv-spil, og værten præsenterer dig for tre lukkede døre. Bag den ene af dem sidder en funklende, spritny Lincoln Continental, og bag de to andre sidder ildelugtende gamle geder. Værten beder dig om at vælge en dør, og du vælger dør nr. 1. Derefter åbner værten, som er velvidende om, hvad der foregår bag kulisserne, dør nr. 3 og afslører en af gederne.

“Nu”, siger han og vender sig mod dig, “vil du beholde dør nr. 1, eller vil du skifte til dør nr. 2?”

Statistisk set, hvilket valg giver dig bilen: at beholde din oprindelige dør eller skifte til dør nr. 2? Hvis du, som de fleste mennesker, antager, at dine chancer er 50-50, tager du fejl – medmindre du naturligvis kan lide geder lige så meget som nye biler, i hvilket tilfælde du vinder 100 % af gangene.

Det ovenfor præsenterede scenarie, bedre kendt som “Monty Hall-problemet”, er et ret berømt sandsynlighedsspørgsmål, der er løseligt baseret på det berømte tv-spil “Let’s Make a Deal”. På trods af dets bedrageriske enkelhed har nogle af verdens klogeste hjerner – MIT-professorer, berømte matematikere og MacArthur “Genius”-stipendiater – haft problemer med at forstå svaret. I årtier har det udløst intense debatter i klasseværelser og foredragssale.

Historisk set blev Monty Hall-problemet forud for flere meget lignende gåder.

I Joseph Bertrands kasseparadoks (1889) præsenteres tre kasser – én med to guldmønter, én med to sølvmønter og den sidste med én af hver. Hvis man antager, at deltageren trækker en guldmønt fra en æske, spørger opgaven derefter, hvad sandsynligheden er for, at den anden mønt i den pågældende æske er af guld. Bertrand, der konkluderede, at sandsynligheden var ⅔, blev rost for sin evne til at se ud over det indlysende.

En anden gentagelse af dette paradoks, Three Prisoners Problem (1959), præsenterer et statistisk set identisk scenarie med samme resultat. ” et vidunderligt forvirrende lille problem”, skrev dets ophavsmand, Scientific American-kronikøren Martin Gardner, senere selvtilfreds. “I ingen anden gren af matematikken er det så let for eksperter at begå fejl som i sandsynlighedsregning.”

Monty Hall-problemet, der første gang blev præsenteret i et brev til redaktøren af The American Statistician i 1975, var også kontraintuitivt. I dette brev udpenslede Steve Selvin, en professor fra University of California, Berkeley, situationen i indledningen til denne artikel og hævdede, at det at skifte dør giver ⅔ chance for at vinde bilen, mens det at beholde den oprindelige dør kun resulterer i ⅓ af gangene i en gevinst.

I løbet af det næste årti eller deromkring optrådte Monty Hall-problemet flere gange, først i et puslespil i Journal of Economics Perspectives af Barry Nalebuff, og efterfølgende i et nummer af Bridge Today fra 1989 af Phillip Martin. Ingen af mændenes logik blev tilbagevist, og problemet vakte relativt lidt opmærksomhed.

Så blev Monty Hall-problemet efter 15 år uden episoder genoplivet af Marilyn vos Savant — og der fulgte en absolut shit-storm.

Marilyn vos Savant’s Debacle

I september 1990 helligede Marilyn vos Savant en af sine klummer til et læserspørgsmål, som præsenterede en variant af Monty Hall-problemet:

“Antag, at du er med i et gameshow, og du får valget mellem tre døre. Bag den ene dør er der en bil, bag de andre er der geder. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og værten, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, som har en ged. Han siger til dig: “Vil du vælge dør nr. 2?” Er det en fordel for dig at skifte dit valg af døre?”

“Ja, du bør skifte,” svarede hun. “Den første dør har en 1/3 chance for at vinde, men den anden dør har en 2/3 chance.”

Men selv om hendes svar var korrekt, reagerede en stor del af akademikerne med forargelse. I de følgende måneder modtog vos Savant mere end 10.000 breve – herunder et par fra vicedirektøren for Center for Defense Information og en matematisk forskningsstatistiker fra National Institutes of Health – som alle hævdede, at hun var fuldstændig inkompetent:

Du har dummet dig, og du har dummet dig stort! Da du tilsyneladende har svært ved at forstå det grundlæggende princip, der er på spil her, vil jeg forklare det. Efter at værten har afsløret en ged, har du nu en chance ud af to for at have ret. Uanset om du ændrer dit valg eller ej, er chancerne de samme. Der er nok matematisk analfabetisme i dette land, og vi har ikke brug for, at verdens højeste IQ spreder endnu mere. Skam!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Må jeg foreslå, at du anskaffer dig en standardlærebog om sandsynlighed og henviser til den, før du igen forsøger at besvare et spørgsmål af denne type?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Jeg er sikker på, at du vil modtage mange breve om dette emne fra gymnasie- og universitetsstuderende. Måske skulle du gemme nogle få adresser til hjælp i fremtidige klummer.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Du har fuldstændig uret med hensyn til spilleshowspørgsmålet, og jeg håber, at denne kontrovers vil henlede offentlighedens opmærksomhed på den alvorlige nationale krise i matematikundervisningen. Hvis De kan indrømme Deres fejl, vil De have ydet et konstruktivt bidrag til løsningen af en beklagelig situation. Hvor mange rasende matematikere skal der til for at få Dem til at skifte mening?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Du har begået en fejl, men se på den positive side. Hvis alle disse ph.d.er tog fejl, ville landet være i meget alvorlige problemer.
Everett Harman, ph.d.
U.S. Army Research Institute

Du er geden!
Glenn Calkins
Western State College

Måske ser kvinder anderledes på matematiske problemer end mænd.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Opstandelsen var så voldsom, at vos Savant var tvunget til at afsætte tre efterfølgende spalter til at forklare, hvorfor hendes logik var korrekt. Selv i kølvandet på hendes velformulerede, klare svar fortsatte hun med at blive skældt ud. “Jeg tror stadig, at du tager fejl,” skrev en mand næsten et år senere. “Der findes sådan noget som kvindelogik.”

Men tallene bag vos Savants konklusion lyver ikke.

Debunking the Monty Hall Problem

Da der er to døre (den ene indeholder en bil og den anden en ged) tilbage, efter at værten har åbnet dør nr. 3, vil de fleste antage, at sandsynligheden for at vælge bilen er ½. Dette er ikke tilfældet.

“Vinderchancen på 1/3 på det første valg kan ikke stige til 1/2, bare fordi værten åbner en taberdør”, skriver vos Savant. Hvis man kortlægger seks spil, hvor man udforsker alle mulige udfald, bliver det faktisk klart, at det at skifte dør resulterer i at vinde to tredjedele (66,6 %) af gangene, og at det at beholde sin oprindelige dør resulterer i at vinde kun en tredjedel (33,3 %) af gangene:

En anden måde at se på dette på er at opdele hver enkelt mulighed for at skifte dør. Som vi har afgrænset nedenfor, resulterer 6 ud af de 9 mulige scenarier (to tredjedele) i, at man vinder bilen:

Disse resultater synes at gå imod vores intuitive statistiske impulser – så hvorfor øger det at skifte dør vores chancer for at vinde?

Det korte svar er, at dine oprindelige odds for at vinde med dør nr. 1 (⅓) ikke ændres, blot fordi værten afslører en ged bag dør nr. 3. I stedet øger Halls handling oddsene til ⅔ for, at du vinder ved at skifte.

Her er en anden måde at visualisere dette på. Forestil dig, at Monty Hall i stedet for tre døre præsenterer dig for 100 døre; bag 99 af dem er der geder, og bag en af dem er der en bil. Du vælger dør nr. 1, og dine oprindelige chancer for at vinde bilen er nu 1/100:

Så lad os antage, at Monty Hall åbner 98 af de andre døre og afslører en ged bag hver af dem. Nu har du to valgmuligheder: Behold dør nr. 1, eller skift til dør nr. 100:

Når du vælger dør nr. 1, er der 99/100 chance for, at bilen står bag en af de andre døre. Det faktum, at Monty Hall afslører 98 geder, ændrer ikke disse oprindelige odds — det “flytter” blot denne 99/100 chance til dør nr. 100. Du kan enten holde dig til dit oprindelige valg med odds 1/100 eller skifte til dør nr. 100, hvor sandsynligheden for at vinde bilen er meget større.

Selv om matematikken og tallene bakker op om vos Savants påstand – at chancen for at vinde stiger til ⅔, når du skifter dør – må man dog overveje andre faktorer, som hun ikke nævner i sit svar.

Rationaliseringens psykologi

Monty Hall, vært for ‘Let’s Make a Deal’

I 1992, mens kontroversen om vos Savants svar var under opsejling, satte Monty Hall – spilprogramvært og navnebror til problemet – sig ned til et interview med New York Times.

Hall præciserede, at tingene fungerede en smule anderledes end det scenarie, som Parade-læseren præsenterede i vos Savants klumme. I det virkelige show beholdt han f.eks. autoriteten til at tilbyde deltageren kontanter for IKKE at skifte. Detaljer som denne, sagde han, ændrede deltagerens tankegang:

“, ville de tro, at oddsene på deres dør nu var steget til 1 ud af 2, så de hadede at opgive døren, uanset hvor mange penge jeg tilbød … Jo højere jeg kom op, jo mere troede bilen var bagud . Jeg ville snyde mig til at skifte der. Det er den slags ting jeg kan gøre når jeg har kontrol over spillet. Du tror måske, at du har sandsynligheden for dig, når du følger svaret i hendes spalte, men der er den psykologiske faktor at tage hensyn til.”

Den “psykologiske faktor”, som Hall nævner, overføres fra showets regler til den variant af problemet, som vi har præsenteret i denne artikel. For både deltagere og problemløsere forårsager Monty Hall-problemet kognitiv dissonans, et begreb, som psykologer bruger til at beskrive den “mentale stress, der opleves af en person, som har to eller flere modstridende overbevisninger, idéer eller værdier på samme tid, eller som konfronteres med nye oplysninger, der er i konflikt med eksisterende overbevisninger, idéer eller værdier”.

Når folk bliver konfronteret med beviser, der er “i modstrid med deres overbevisninger” (dvs. at chancerne for at vinde ved at skifte dør er ⅔ i stedet for ½), reagerer de først ved at tilbagevise oplysningerne, hvorefter de slår sig sammen med ligesindede uenige og forsvarer deres egen fastlåste mening. Det er netop den mentalitet, som vos Savants tusindvis af nej-sigere har.

***

Mere end 25 år senere er der stadig diskussioner om Monty Hall-problemets semantik og vos Savants svar – hovedsageligt centreret omkring de indviklede detaljer i værtens handlinger.

“Vores hjerner er bare ikke gearet til at løse sandsynlighedsproblemer særlig godt, så jeg er ikke overrasket over, at der var fejl,” sagde Stanford-professor i statistik Persi Diaconis til en journalist for flere år siden. “Det strenge argument ville være, at spørgsmålet ikke kan besvares, uden at man kender værtens motivation.”

Eventuelt set trak mange af dem, der havde skrevet ind for at rette vos Savants matematik, sig dog tilbage og indrømmede, at de havde taget fejl.

En øvelse foreslået af vos Savant for bedre at forstå problemet blev snart integreret i tusindvis af klasseværelser i hele landet. Der blev bygget computermodeller, som bekræftede hendes logik, og støtten til hendes intellekt blev gradvist genoprettet. Hvor kun 8 % af læserne tidligere havde troet på, at hendes logik var sand, var dette tal steget til 56 % ved udgangen af 1992, skriver vos Savant; blandt akademikere steg 35 % af den oprindelige støtte til 71 %.

Blandt de nye troende var Robert Sachs, en matematikprofessor ved George Mason University, som oprindeligt havde skrevet et grimt brev til vos Savant, hvori han fortalte hende, at hun “ødelagde det”, og tilbød at hjælpe med at “forklare”. Efter at have indset, at han faktisk havde taget fejl, følte han sig tvunget til at sende hende et nyt brev – denne gang med en anger over sin selvretfærdighed.

“Efter at have fjernet min fod fra min mund spiser jeg nu ydmyg tærte,” skrev han. “Jeg lovede som bod at svare alle de mennesker, der skrev for at skælde mig ud. Det har været en intens professionel forlegenhed.”

Priceonomics har skrevet to bøger. Den ene er for skeptikere, den anden for optimister. Vælg dit eventyr → Everything is Bullshit eller Hipster Business Models.

For at få lejlighedsvise notifikationer, når vi skriver blogindlæg, kan du tilmelde dig vores e-mail-liste. Dette indlæg blev oprindeligt offentliggjort den februar 19, 2015.