Meillä on jo paikka valmiina odottamassa, että pääsemme kuvaamaan sitä, joten hyödynnetään sitä. Aloitamme graafisesti järjestetyn parin (2, 3) kuvaajalla. Tätä varten aloitamme origosta, menemme 2 oikealle, 3 ylöspäin ja piirrämme pisteen siihen kohtaan, johon laskeuduimme. Se on melkein kuin seuraisimme aarrekarttaa. Ensin kuljemme x-akselia pitkin vasemmalle tai oikealle löytääksemme paikan, johon ”x” merkitsee paikan, sitten kuljemme y-akselia pitkin ylös tai alas, kun haluamme tietää, ”miksi” aarre ei ollut arkussa siellä, missä sen piti olla. Sitten jäljitämme sen viisastelijan, joka antoi meille tämän väärennetyn kartan.

Järjestetyn parin ensimmäinen luku kertoo, kuinka pitkälle x-akselilla (vaakasuora lukujono) mennään vasemmalle tai oikealle, ja järjestetyn parin toinen luku kertoo, kuinka pitkälle y-akselilla (pystysuora lukujono) mennään ylös tai alas. Koska x on aakkosissa ennen y:tä, x kuuluu ensimmäiseen numeroon ja y toiseen numeroon.

Näitä numeroita kutsutaan koordinaateiksi. Ne ”koordinoidaan” keskenään, jotta päästään tiettyyn kohtaan kuvaajassa. Järjestetyn parin ensimmäinen numero on x-koordinaatti ja toinen numero on y-koordinaatti. Järjestettyä paria kuvaavaa pistettä kutsutaan pisteeksi. Voit katsoa pistettä, mutta älä osoita sitä. Se on tökeröä.

Kun kuvaamme pisteen kulkemalla ensin x-akselia ja sitten y-akselia pitkin, se on melkein kuin kulkisimme kuvitteellisen suorakulmion kahta sivua pitkin. Ei siis liene yllätys, että käytämme jotain, jota kutsutaan suorakulmaiseksi koordinaattijärjestelmäksi, joka tunnetaan myös kartesiittisena koordinaattijärjestelmänä. Saatat nähdä, että tähän viitataan useammin nimellä ”kartesiankoordinaattijärjestelmä”, mikä on valitettavaa, sillä mitään kartesiankoordinaatiksi kutsuttua muotoa ei ole olemassa. Voimme kuitenkin vain teeskennellä, että sellainen on olemassa ja että se näyttää täsmälleen suorakulmion kaltaiselta.

Esimerkkitehtävä

Graafioi järjestetty pari (5, -2).

X-koordinaatti on 5 ja y-koordinaatti on -2. Aloitamme siis alkupisteestä, laskemme x-akselin oikealle puolelle 5 ja sen jälkeen laskemme y-akselin alaspäin 2:ta. Tällä kertaa meillä on negatiivinen y-koordinaatti, joten jojomme suuntautuu alaspäin.

Teknisesti piste on se, mitä saamme, kun kuvaamme järjestettyä paria. Käytännössä ilmaisua ”järjestetty pari” ja sanaa ”piste” käytetään vaihdellen. Voit kokeilla sisällyttää tämän jokapäiväiseen keskusteluun. ”Hm… sinulla on tuossa hyvä järjestetty pari” tai ”Voisitko järjestää minulle järjestetyn parin Postin suuntaan?”.

Okei, ehkä se ei siis toimi yhtä hyvin englanniksi.

Voidaan puhua ”pisteestä” (3, 4), jolla on koordinaatit 3 ja 4. Meitä saatetaan pyytää esittämään pisteen kuvaaja järjestetyn parin sijaan. Et voi mennä pieleen, kunhan muistat, että ne ovat yksi ja sama asia.

Sen lisäksi, että voimme käyttää koordinaatteja pisteen kuvaamiseen, voimme myös mennä taaksepäin, eli voimme katsoa pistettä kuvaajassa ja selvittää sen koordinaatit. Se on kuin aloittaisi aarteesta ja etsisi sitten aarrekartan. Emme ole varmoja, kuka täysjärkinen tekisi asioita tässä järjestyksessä, mutta näin se menee. Mielen rauhoittamiseksi oletamme toistaiseksi, että tämä prosessi on arvokkaampi funktioiden kuin kultadubloonien käsittelyssä.

Esimerkkiongelma

Mitkä ovat alla olevan graafisen pisteen koordinaatit?

Saavuttaaksemme tämän pisteen alkulämpötilasta on mentävä ensin 1:nnen askeleen oikealle (x-akselia pitkin) ja 2:nnen askelen oikealla puolella (y-akselilla). Pisteen koordinaatit ovat siis (1, 2). Ainakaan matka origosta ei ole pitkä eikä siinä ole välilaskuja. Olisi ikävää, jos joutuisimme pysähtymään pisteeseen (1, 1) pariksi tunniksi odottaessamme jatkokoordinaattia.

Tähän mennessä kaikilla pisteillä, joita olemme graafisesti kuvailleet, on ollut kokonaislukukoordinaatit. Nämä pisteet on helppo graafisoida, mutta edistyneemmissä ongelmissa joudumme graafisoimaan myös pisteitä, joiden koordinaatit eivät ole kokonaislukuisia. Huonona puolena asiat muuttuvat hieman hankalammiksi. Hyvänä puolena on se, että nyt kun meidän ei tarvitse pitäytyä ruudukossa, pystymme kuvaamaan mielenkiintoisempia kuvia.

Kuten numeroviivan kohdalla, voimme piirtää pisteitä, joilla on ei-kokonaislukukoordinaatit, suunnilleen oikeaan paikkaan ja merkitä pisteet niin, että muut tietävät tarkalleen, missä ne ovat. Toivottavasti kukaan ei ota viivoitinta esiin vain todistaakseen, että pisteesi on puoli milliä pielessä. Jos he tekevät niin, heillä on aivan liikaa aikaa käsissään.