Hamiltonin systeemien geometriaEdit
Hamiltonin voi indusoida symplektisen rakenteen sileälle parillisulotteiselle moninaisuudelle M2n useilla eri, mutta ekvivalenttisilla tavoilla, joista tunnetuimmat ovat seuraavat:
Seuraavina suljetuina ei-degeneraattisina symplektisina 2-muotoina ω. Darbouxin lauseen mukaan minkä tahansa M:n pisteen pienessä lähiympäristössä sopivissa paikallisissa koordinaateissa p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}}
on olemassa symplektinen muoto ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}}
Tällöin paikallisia koordinaatteja p, q kutsutaan kanonisiksi tai symplektisiksi.
Muoto ω {\displaystyle \omega }
sallii konstruoida luonnollisen isomorfismin T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}
tangenttiavaruuden T x M {\displaystyle T_{x}M}
ja kootangenttiavaruuden T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M.}
Tämä tapahtuu kuvaamalla vektori ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \xi \in T_{x}M}
1-muotoon ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}
jossa ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}
mielivaltaiselle η ∈ T x M . {\displaystyle \eta \in T_x}M.}
Koska ω , {\displaystyle \omega ,}
on bilineaarinen ja ei-degeneroitunut ja koska d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}
kartoitus ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}
on todellakin lineaarinen isomorfismi. Tämä isomorfismi on sikäli luonnollinen, että se ei muutu koordinaattien muuttuessa M :ssä. {\displaystyle M.}
Toistamalla jokaiselle x ∈ M , {\displaystyle x\in M,}
päädymme isomorfismiin J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}
sileiden vektorikenttien äärettömänulotteisen avaruuden ja sileiden 1-muotojen avaruuden välillä. Jokaiselle f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
ja ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}
J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}
(Algebrassa sanottaisiin, että C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
-moduulit Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}
ja Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}
ovat isomorfisia). Jos H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}
niin jokaiselle kiinteälle t ∈ R t , {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}
d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}
ja J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}
J ( d H ) {\displaystyle J(dH)} {\displaystyle J(dH)}.
tunnetaan Hamiltonin vektorikenttänä. Vastaava differentiaaliyhtälö M:lle {\displaystyle M}
x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}
kutsutaan Hamiltonin yhtälöksi. Tässä x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} {\displaystyle x=x(t)}
ja J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}
on vektorikentän J ( d H ) {\displaystyle J(dH)} (ajasta riippuvainen) arvo.
kohdassa x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}
Hamiltonin systeemi voidaan käsittää kuitukimppuna E ajan R yli, jolloin kuidut Et, t ∈ R, ovat sijaintiavaruus. Lagrangian on siis funktio suihkunipussa J E:n yli; ottamalla Lagrangianista kuitumuotoinen Legendre-muunnos saadaan funktio kaksoisnipussa ajan yli, jonka kuitu t:n kohdalla on kootangenttiavaruus T∗Et, joka on varustettu luonnollisella symplektisellä muodolla, ja tämä jälkimmäinen funktio on Hamiltonian. Lagrangen ja Hamiltonian mekaniikan välinen vastaavuus saavutetaan tautologisen yhden muodon avulla.
Mitä tahansa sileää reaaliarvoista funktiota H symplektisellä moninaisuudella voidaan käyttää Hamiltonian systeemin määrittelyyn. Funktio H tunnetaan nimellä ”hamiltonilainen” tai ”energiafunktio”. Symplektista moninaisuutta kutsutaan tällöin vaiheavaruudeksi. Hamiltonian indusoi symplektiselle moninaisuudelle erityisen vektorikentän, jota kutsutaan Hamiltonian vektorikentäksi.
Hamiltonian vektorikenttä indusoi moninaisuudelle Hamiltonian virtauksen. Tämä on moninaisuuden yhden parametrin muodostama muunnosperhe (käyrien parametria kutsutaan yleisesti ”ajaksi”); toisin sanoen symplektomorfismien isotopia, joka alkaa identiteetistä. Liouvillen lauseen mukaan jokainen symplektomorfismi säilyttää tilavuusmuodon vaiheavaruudessa. Hamiltonin virtauksen indusoimaa symplektomorfismien kokoelmaa kutsutaan yleisesti Hamiltonin systeemin ”Hamiltonin mekaniikaksi”.
Symplektinen rakenne indusoi Poissonin sulkeuman. Poissonin sulku antaa moninaisuuden funktioavaruudelle Lie-algebran rakenteen.
Jos F ja G ovat sileitä funktioita M:ssä, niin sileä funktio ω2(IdG, IdF) on oikein määritelty; sitä kutsutaan funktioiden F ja G Poissonin suluksi ja merkitään {F, G}. Poissonin sulkeella on seuraavat ominaisuudet:
- bilineaarisuus
- antisymmetria
- { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
(Leibnizin sääntö)
- { { { H , F } , G } + { { { F , G } , H } + { { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{\{\{H,F\},G\}+\{\{\{F,G\},H\}+\{\{\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
(Jacobi-identiteetti)
- ei-degeneratiivisuus: jos piste x M:ssä ei ole kriittinen F:n kannalta, niin silloin on olemassa sileä funktio G siten, että { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
.
Edetään funktio f
d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}
jos on olemassa todennäköisyysjakauma, ρ, niin (koska vaiheavaruuden nopeus ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}
divergenssi on nolla ja todennäköisyys säilyy) sen konvektiojohdannaisen voidaan osoittaa olevan nolla ja siten ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}
Tätä kutsutaan Liouvillen lauseeksi. Jokainen sileä funktio G symplektisen moninaisuuden yli tuottaa yhdenparametrisen symplektomorfismien perheen ja jos {G, H} = 0, niin G on konservoitunut ja symplektomorfismit ovat symmetriamuunnoksia.
Hamiltonilaisella voi olla useita konservoituneita suureita Gi. Jos symplektisellä moninaisuudella on ulottuvuus 2n ja on n funktionaalisesti riippumatonta säilyvää suuretta Gi, jotka ovat involuutiossa (ts. {Gi, Gj} = 0), niin Hamiltonian on Liouville-integroituva. Liouville-Arnoldin teoreema sanoo, että paikallisesti mikä tahansa Liouville-integroituva hamiltonilainen voidaan muuttaa symplektomorfismin avulla uudeksi hamiltonilaiseksi, jonka koordinaatteina ovat säilyneet suureet Gi; uusia koordinaatteja kutsutaan toimintakulmakoordinaateiksi. Muunnettu Hamiltonian riippuu vain Gi:stä, joten liikeyhtälöt ovat yksinkertaisessa muodossa
G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}
jollekin funktiolle F. On olemassa kokonainen tieteenala, joka keskittyy integroitavien systeemien pieniin poikkeamiin, joita hallitsee KAM:n lause.
Hamiltonin vektorikenttien integroitavuus on avoin kysymys. Hamiltonian systeemit ovat yleensä kaoottisia; käsitteet mitta, täydellisyys, integroitavuus ja stabiilisuus ovat huonosti määriteltyjä.
Riemannin moninaisuudetEdit
Tärkeitä erikoistapauksia ovat ne hamiltonilaiset, jotka ovat kvadraattisia muotoja, ts, Hamiltoneita, jotka voidaan kirjoittaa seuraavasti
H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}}\langle p,p\rangle _{q}}
jossa ⟨ , ⟩q on tasaisesti muuttuva sisäinen tuote kuitujen T∗
qQ, konfiguraatioavaruuden pisteen q kootangenttiavaruuden, jota joskus kutsutaan kometriseksi. Tämä Hamiltonian koostuu kokonaan kineettisestä termistä.
Jos tarkastellaan Riemannin moninaisuutta tai pseudo-Riemannin moninaisuutta, Riemannin metriikka indusoi lineaarisen isomorfismin tangentti- ja kootangenttinippujen välille. (Katso Musikaalinen isomorfismi). Tämän isomorfismin avulla voidaan määritellä kometrinen. (Koordinaatistossa kometrisen matriisin määrittelevä matriisi on metriikan määrittelevän matriisin käänteisluku). Tämän Hamilton-Jacobin yhtälön Hamilton-Jacobin yhtälön ratkaisut ovat tällöin samat kuin geodeettiset radat moninaisuudella. Erityisesti Hamiltonin virtaus on tässä tapauksessa sama asia kuin geodeettinen virtaus. Tällaisten ratkaisujen olemassaoloa ja ratkaisujen joukon täydellisyyttä käsitellään yksityiskohtaisesti geodeettisia ratoja käsittelevässä artikkelissa. Katso myös Geodesics as Hamiltonian flows.
Sub-Riemannin moninaisuudetEdit
Kun kometrinen on degeneroitunut, niin se ei ole käänteismuunnettavissa. Tällöin ei ole Riemannin monistetta, koska ei ole metriikkaa. Hamiltonian on kuitenkin edelleen olemassa. Tapauksessa, jossa kometrinen on degeneroitunut konfiguraatioavaruuden Q moninaisuuden jokaisessa pisteessä q, niin että kometrisen arvo on pienempi kuin moninaisuuden Q ulottuvuus, kyseessä on ali-Riemannin moninaisuus.
Hamiltoniania kutsutaan tässä tapauksessa ali-Riemannin Hamiltonianiksi. Jokainen tällainen Hamiltonian määrittää yksikäsitteisesti kometrisen ja päinvastoin. Tästä seuraa, että jokainen ali-Riemannin moniste on yksikäsitteisesti määräytynyt sen ali-Riemannin Hamiltonian mukaan, ja että päinvastoin: jokaisella ali-Riemannin monisteella on yksikäsitteinen ali-Riemannin Hamiltonian. Ali-Riemannin geodeesien olemassaolon antaa Chow-Rashevskin lause.
Jatkuva, reaaliarvoinen Heisenbergin ryhmä on yksinkertainen esimerkki ali-Riemannin moninaisuudesta. Heisenbergin ryhmälle Hamiltonian annetaan
H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}
pz ei osallistu Hamiltonianiin.
Poissonin algebratEdit
Hamiltonian systeemejä voidaan yleistää monin eri tavoin. Sen sijaan, että tarkasteltaisiin yksinkertaisesti sileiden funktioiden algebraa symplektisen moninaisuuden päällä, Hamiltonin mekaniikka voidaan muotoilla yleisillä kommutatiivisilla unitaalisilla reaalisilla Poisson-algebroilla. Tila on jatkuva lineaarinen funktio Poisson-algebrassa (joka on varustettu jollakin sopivalla topologialla) siten, että mille tahansa algebran alkio A:lle A2 kuvaa ei-negatiivista reaalilukua.
Yleistäytymisen antaa Nambun dynamiikka.
Yleistäminen kvanttimekaniikkaan Poissonin sulkujen avullaMuutos
Hamiltonin edellä esitetyt yhtälöt toimivat hyvin klassisessa mekaniikassa, mutta eivät kvanttimekaniikassa, koska käsitellyt differentiaaliyhtälöt olettavat, että voidaan määritellä hiukkasen tarkka sijainti ja impulssi samanaikaisesti millä tahansa hetkellä. Yhtälöt voidaan kuitenkin edelleen yleistää niin, että ne voidaan sitten laajentaa koskemaan sekä kvanttimekaniikkaa että klassista mekaniikkaa, kun Poissonin algebra muunnetaan p:n ja q:n yli Moyalin sulkujen algebraksi.
Kohtaisesti Hamiltonin yhtälön yleisemmässä muodossa on
d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}}
missä f on jokin p:n ja q:n funktio ja H on Hamiltonilainen. Jos haluat selvittää säännöt Poissonin sulkujen arvioimiseksi turvautumatta differentiaaliyhtälöihin, katso Lie-algebra; Poissonin sulku on Poissonin algebran Lie-sulkujen nimi. Nämä Poissonin sulkeet voidaan sitten laajentaa Moyalin sulkeiksi, jotka vastaavat inekvivalenttia Lie-algebraa, kuten Hilbrand J. Groenewold on osoittanut, ja siten kuvata kvanttimekaanista diffuusiota faasiavaruudessa (ks. faasiavaruuden muotoilu ja Wigner-Weyl-muunnos). Tämä algebrallisempi lähestymistapa ei ainoastaan salli viime kädessä todennäköisyysjakaumien laajentamista vaiheavaruudessa Wignerin kvasitodennäköisyysjakaumiin, vaan tarjoaa pelkän Poissonin suluissa olevan klassisen asetelman kohdalla myös enemmän tehoa auttaessaan analysoimaan systeemin asiaankuuluvia säilyneitä suureita.