Matematiikassa käytetään keksittyjä sääntöjä mallien ja suhteiden luomiseen. Oppiessani kysyn:
- Mitä suhdetta tämä malli edustaa?
- Mitkä reaalimaailman kohteet jakavat tämän suhteen?
- Onko tässä suhteessa minulle järkeä?
Ne ovat yksinkertaisia kysymyksiä, mutta ne auttavat minua ymmärtämään uusia aiheita. Jos pidit matematiikkapostauksistani, tämä artikkeli käsittelee lähestymistapaani tähän usein parjattuun aiheeseen. Monet ihmiset ovat jättäneet oivaltavia kommentteja kamppailustaan matematiikan kanssa ja resursseista, jotka auttoivat heitä.
Matematiikan opetus
Lukukirjoissa keskitytään harvoin ymmärtämiseen; kyse on enimmäkseen ongelmien ratkomisesta ”plug and chug” -kaavojen avulla. Minua surettaa, että kauniita ideoita käsitellään niin rutiininomaisesti:
- Pythagoraan lause ei koske vain kolmioita. Siinä on kyse samankaltaisten muotojen välisestä suhteesta, minkä tahansa lukujoukon välisestä etäisyydestä ja paljon muusta.
- e ei ole vain luku. Kyse on kaikkien kasvulukujen välisistä perussuhteista.
- Luonnollinen logi ei ole vain käänteisfunktio. Kyse on siitä, kuinka paljon aikaa asiat tarvitsevat kasvaakseen.
Legendaaristen, ”a ha!” – oivallusten pitäisi olla pääpainonamme, mutta jätämme sen oppilaiden sattumanvaraisesti itse kompastua siihen. Minulle tuli ”a ha!”-hetki helvetinmoisen opintojakson jälkeen collegessa; siitä lähtien olen halunnut löytää ja jakaa näitä oivalluksia säästääkseni muita samalta tuskalta.
Mutta se toimii molempiin suuntiin – haluan, että sinäkin jaat oivalluksia kanssani. Syntyy enemmän ymmärrystä, vähemmän tuskaa, ja kaikki voittavat.
Matematiikka kehittyy ajan myötä
Pidän matematiikkaa ajattelutapana, ja on tärkeää nähdä, miten tuo ajattelu on kehittynyt, eikä vain näyttää tulosta. Kokeillaanpa esimerkkiä.
Kuvittele, että olet luolamies tekemässä matematiikkaa. Yksi ensimmäisistä ongelmista on se, miten laskea asioita. Ajan kuluessa on kehittynyt useita järjestelmiä:
Mikään järjestelmä ei ole oikea, ja jokaisella on etunsa:
- Unaarinen järjestelmä: Piirrä viivat hiekkaan — niin yksinkertaista kuin vain voi olla. Sopii loistavasti pisteytykseen peleissä; voit lisätä numeroon ilman pyyhkimistä ja uudelleen kirjoittamista.
- Roomalaiset numerot: Kehittyneempi unaarijärjestelmä, jossa on oikoteitä suurille luvuille.
- Desimaaliluvut: Valtava oivallus siitä, että luvut voivat käyttää ”paikannusjärjestelmää”, jossa on paikka ja nolla.
- Binääriluvut: Yksinkertaisin paikannusjärjestelmä (kaksi numeroa, päällä vs. pois päältä), joten se sopii hyvin mekaanisiin laitteisiin.
- Tieteellinen merkintätapa: Erittäin kompakti, voi helposti arvioida luvun koon ja tarkkuuden (1E3 vs. 1.000E3).
Olemmeko valmiita? Ei todellakaan. Tuhannen vuoden päästä meillä on järjestelmä, joka saa desimaaliluvut näyttämään yhtä vanhanaikaisilta kuin roomalaiset numerot (”Herranjestas, miten he pärjäsivät näin kömpelöillä välineillä?”).
Negatiiviset luvut eivät olekaan niin todellisia
Mietitäänpä lukuja vähän enemmän. Yllä oleva esimerkki osoittaa, että numerojärjestelmämme on yksi monista tavoista ratkaista ”laskemisen” ongelma.
Roomalaiset pitäisivät nollaa ja murtolukuja outoina, mutta se ei tarkoita, etteivätkö ”ei-mitään” ja ”osa kokonaiseksi” olisi hyödyllisiä käsitteitä. Mutta katso, miten kukin järjestelmä sisällytti uusia ideoita.
Murtoluvut (1/3), desimaaliluvut (.234) ja kompleksiluvut (3 + 4i) ovat tapoja ilmaista uusia suhteita. Niissä ei ehkä ole juuri nyt järkeä, aivan kuten nollassa ei ollut ”järkeä” roomalaisille. Tarvitsemme uusia reaalimaailman suhteita (kuten velka), jotta ne napsahtavat.
Silloinkin negatiivisia lukuja ei ehkä ole olemassa sillä tavalla kuin ajattelemme, kuten vakuutat minut tässä:
Sinä: Negatiiviset luvut ovat hieno ajatus, mutta eivät ole luonnostaan olemassa. Se on leima, jonka kiinnitämme käsitteeseen.
Minä: Totta kai ne ovat.
Sinä:
Minä: No… oletetaan, että olet maanviljelijä ja olet menettänyt kolme lehmää.
Sinä:
Minä: Ei, tarkoitan, että annoit 3 lehmää ystävälle.
Sinä:
Minä: Ei, tarkoitan, että hän antaa ne joskus takaisin. Hän on sinulle velkaa.
Sinä: Ah. Eli todellinen lukumääräni (-3 tai 0) riippuu siitä, uskonko hänen maksavan takaisin. En tajunnut, että mielipiteeni muuttaa laskutoimitusta. Minun maailmassani minulla oli koko ajan nolla.
Minä: Huokaus. Eihän se niin ole. Kun hän antaa lehmät takaisin, menet -3:sta 3:een.
Sinä: Ok, eli hän palauttaa 3 lehmää ja me hyppäämme 6, -3:sta 3:een? Jotain muuta uutta aritmetiikkaa, josta minun pitäisi olla tietoinen? Miltä näyttää sqrt(-17) lehmää?
Minä: Häivy.
Negatiiviset luvut voivat ilmaista suhdetta:
- Positiiviset luvut edustavat lehmien ylijäämää
- Nolla edustaa sitä, että lehmiä ei ole
- Negatiiviset luvut edustavat lehmien alijäämää, joka oletetaan maksettavaksi takaisin
Mutta negatiivista lukua ”ei oikeasti ole olemassa” — on olemassa vain suhde, jota ne edustavat (ylijäämä/alijäämää lehmistä). Olemme luoneet ”negatiivisen luvun” mallin kirjanpidon helpottamiseksi, vaikka et voi pitää -3 lehmää kädessäsi. (Käytin tarkoituksella erilaista tulkintaa siitä, mitä ”negatiivinen” tarkoittaa: se on erilainen laskentajärjestelmä, aivan kuten roomalaiset numerot ja desimaaliluvut ovat erilaisia laskentajärjestelmiä.)
Muuten, negatiiviset luvut hyväksyttiin monien ihmisten, myös länsimaisten matemaatikkojen keskuudessa, vasta 1700-luvulla. Ajatusta negatiivisesta pidettiin ”absurdina”. Negatiiviset luvut tuntuvat tosiaan oudoilta, ellei näe, miten ne edustavat monimutkaisia reaalimaailman suhteita, kuten velkaa.
Miksi kaikki filosofia?
Oivoin, että **mielipiteeni on avain oppimiseen. **Se auttoi minua saavuttamaan syvällisiä oivalluksia, erityisesti:
- Faktatieto ei ole ymmärrystä. Tieto ”vasarat lyövät nauloja” ei ole sama kuin oivallus, että mikä tahansa kova esine (kivi, jakoavain) voi lyödä naulan.
- Pidä mieli avoimena. Kehitä intuitiotasi sallimalla itsesi olla jälleen aloittelija.
Yliopiston professori meni tapaamaan kuuluisaa zen-mestaria. Mestarin tarjoillessa hiljaa teetä professori puhui zenistä. Mestari kaatoi vierailijan kupin ääriään myöten ja jatkoi kaatamista. Professori katseli ylivuotavaa kuppia, kunnes hän ei enää pystynyt hillitsemään itseään. ”Se on ylitäynnä! Enää ei mene sisään!” professori puuskahti. ”Sinä olet kuin tämä kuppi”, mestari vastasi, ”Kuinka voin näyttää sinulle zeniä, ellet ensin tyhjennä kuppiasi.”
- Ole luova. Etsikää outoja suhteita. Käytä kaavioita. Käytä huumoria. Käytä analogioita. Käytä muistikuvia. Käytä kaikkea, mikä tekee ajatuksista elävämpiä. Analogiat eivät ole täydellisiä, mutta ne auttavat, kun kamppailet yleisen idean kanssa.
- Ymmärrä, että voit oppia. Odotamme lasten oppivan algebraa, trigonometriaa ja laskutoimituksia, jotka hämmästyttäisivät muinaisia kreikkalaisia. Ja meidän pitäisikin: pystymme oppimaan niin paljon, jos se selitetään oikein. Älä lopeta, ennen kuin siinä on järkeä, tai tuo matemaattinen aukko vainoaa sinua. Henkinen sitkeys on ratkaisevaa — luovutamme usein liian helposti.
Mitä järkeä siinä on?
Haluan kertoa, mitä olen havainnut, ja toivon, että se auttaa sinua matematiikan oppimisessa:
- Matematiikka luo malleja, joilla on tietyt suhteet
- Yritämme löytää reaalimaailman ilmiöitä, joilla on samat suhteet,
- Mallejamme paranee aina. Saattaa tulla uusi malli, joka selittää paremmin tuon suhteen (roomalaiset numerot desimaalijärjestelmään).
Totta kai joistakin malleista ei tunnu olevan mitään hyötyä: ”Mitä hyötyä mielikuvitusluvuista on?”, kysyvät monet oppilaat. Se on aiheellinen kysymys, johon on intuitiivinen vastaus.
Kuvituksellisten lukujen käyttöä rajoittaa mielikuvituksemme ja ymmärryksemme — aivan kuten negatiiviset luvut ovat ”hyödyttömiä”, ellei sinulla ole ajatusta velasta, kuvitteelliset luvut voivat olla hämmentäviä, koska emme oikeasti ymmärrä suhdetta, jota ne edustavat.
Matematiikka tarjoaa malleja; ymmärrä niiden suhteet ja sovella niitä reaalimaailman objekteihin.
Intuition kehittäminen tekee oppimisesta kivaa — kirjanpito ei olekaan huono asia, kun ymmärrät ongelmat, joita se ratkaisee. Haluan käsitellä monimutkaisia lukuja, laskutoimituksia ja muita vaikeasti lähestyttäviä aiheita keskittymällä suhteisiin, en todistuksiin ja mekaniikkaan.
Mutta tämä on minun kokemukseni — miten sinä opit parhaiten? Muutama ystävä on kirjoittanut kokemuksistaan:
- Ed Latimore: Scott Young: Kuinka opettaa itseään matematiikassa
Muut viestit tässä sarjassa
- Kehittää intuitiotasi matematiikkaa varten
- Miksi opimme matematiikkaa?
- Kuinka kehitetään ajattelutapa matematiikkaa varten
- Matematiikan oppiminen? Ajattele kuin sarjakuvapiirtäjä.
- Matematiikka kielenä: Understanding the Equals Sign
- Avoiding The Adjective Fallacy
- Finding Unity in the Math Wars
- Brevity Is Beautiful
- Learn Difficult Concepts with the ADEPT Method
- Intuition, Details and the Bow/Arrow Metaphor
- Learning To Learn: Intuitio ei ole valinnainen
- Learning To Learn:
- Learning To Learn: Embrace Analogies
- Learning To Learn: Embrace Analogies
- Learning To Learn:
- Oppiaksesi oppimaan: Kynä, sitten muste
- Oppiaksesi oppimaan: Matematiikan abstraktio
- Oppimisen vinkki: Fix the Limiting Factor
- Honest and Realistic Guides for Learning
- Empathy-Driven Mathematics
- Studying a Course (Machine Learning) with the ADEPT Method
- Math and Analogies
- Colorized Math Equations
- Analogy: Matematiikka ja ruoanlaitto
- Matematiikan oppiminen (Mega Man vs. Tetris)