Matematiikka on numeropeliä, ja numeroita on kaikkialla. Ja pelin sääntönä ovat lukuihin liittyvät ominaisuudet ja säännöt. Ominaisuudet auttavat sinua laskemaan vastauksia päässäsi nopeasti ja helposti. Ominaisuudet eivät ole mitään muuta kuin erityisiä sääntöjä, joita numerot noudattavat. Luvuilla on kolme perusominaisuutta, joita jokainen matemaattinen järjestelmä noudattaa: Kommutatiiviset, assosiatiiviset ja distributiiviset ominaisuudet. Nämä ominaisuudet ovat neljän operaation (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun) ominaisuuksia, joita sovelletaan aina riippumatta siitä, minkä luvun kanssa työskentelet. Käsittelemme kuitenkin seuraavassa artikkelissa vain kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia.

Kummatkin kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet ovat sääntöjä, joita sovelletaan yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin. Nämä ominaisuudet ovat lakeja, joita käytetään algebrassa ongelmien ratkaisemisen apuna. Kommutatiivinen ominaisuus tulee termistä ”commute”, joka tarkoittaa liikkumista, ja se viittaa siihen, että voit vaihtaa yhteen- tai kertolaskuissa olevia lukuja. Assosiatiivinen ominaisuus tulee sanasta ”associate” eli ”assosioida” tai ”ryhmittää”, ja se viittaa kolmen tai useamman luvun ryhmittelyyn sulkujen avulla riippumatta siitä, miten ne ryhmitellään. Tulos pysyy samana riippumatta siitä, miten numerot ryhmitellään uudelleen. Katsotaanpa näitä kahta ominaisuutta, jotta ymmärtäisimme paremmin, miten ne toimivat.

Mitä on kommutatiivinen?

Esimerkiksi; tiedämme, että 2:n ja 5:n yhteenlasku antaa saman vastauksen kuin 5:n ja 2:n yhteenlasku. Lukujen järjestystä yhteenlaskutehtävässä voidaan muuttaa ilman, että tulos muuttuu. Tätä numeroita ja yhteenlaskua koskevaa asiaa kutsutaan yhteenlaskun kommutatiiviseksi ominaisuudeksi. Voimme siis sanoa, että yhteenlasku on kommutatiivinen operaatio. Vastaavasti kertolasku on kommutatiivinen operaatio.

Lisäyksen kommutatiivinen ominaisuus:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 on sama kuin 4 + 3 = 7

Tulos on sama riippumatta lukujen järjestyksestä.

Kertolaskun kommutatiivinen ominaisuus:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 on sama kuin 7 × 3 = 21

Lukujen järjestyksestä riippumatta tulos on sama.

Mikä on assosiatiivinen?

Assosiatiivinen on vielä yksi ominaisuus, jota käytämme liittyy uudelleenryhmittelyyn. Esimerkiksi kun laskemme yhteen 2 + 3 + 5, voimme joko lisätä ensin 2 ja 3 ja sitten 5, tai voimme lisätä ensin 3 ja 5 ja sitten 2. Matemaattisesti se näyttää tältä: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Tällä tavoin käyttäytyviä operaatioita kutsutaan assosiatiivisiksi operaatioiksi. Tulos pysyy samana, vaikka muuttaisimme lukujen ryhmittelyä.

Lukujen yhteenlaskun assosiatiivinen ominaisuus:

a + (b + c) = (a + b) + c = (a + b + c) = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Tulos säilyy samana, ryhmiteltiin lukuja miten tahansa.

Kertomisen assosiatiivinen ominaisuus:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Lukujen ryhmittely ei siis muuta tulosta.

Kommutatiivisen ja assosiatiivisen ominaisuuden ero

Merkitys

– Kommutatiivinen ominaisuus tulee termistä ”commute”, joka tarkoittaa ’liikkua’, ja se viittaa siihen, että voit vaihtaa yhteen- tai yhteenlaskettavia lukuja lukujen järjestyksestä riippumatta. Assosiatiivinen ominaisuus taas tulee sanasta ”assosioida” tai ”ryhmittää”, ja se viittaa kolmen tai useamman luvun ryhmittelyyn sulkujen avulla riippumatta siitä, miten ne ryhmitellään. Tulos on sama riippumatta siitä, miten numerot tai muuttujat ryhmitellään uudelleen.

Sääntö

– Yhteenlaskun kommutatiivisen säännön mukaan a + b = b + a, mikä tarkoittaa, että a:n ja b:n yhteenlasku antaa saman tuloksen kuin b:n ja a:n yhteenlasku. Järjestyksiä voidaan muuttaa ilman, että tulos muuttuu. Tätä yhteenlaskusääntöä kutsutaan yhteenlaskun kommutatiiviseksi ominaisuudeksi. Vastaavasti kertolasku on kommutatiivinen operaatio, mikä tarkoittaa, että a × b antaa saman tuloksen kuin b × a. Assosiatiivinen ominaisuus taas on sääntö, joka viittaa lukujen ryhmittelyyn. Yhteenlaskun assosiatiivisen säännön mukaan a + (b + c) on sama kuin (a + b) + c. Vastaavasti kertolaskun assosiatiivisen säännön mukaan a × (b × c) on sama kuin (a × b) × c.

Esimerkki

– Yhteenlaskun kommutatiivinen ominaisuus: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Kertolaskun kommutatiivinen ominaisuus: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Lisäyksen assosiatiivinen ominaisuus: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Kertomisen assosiatiivinen ominaisuus: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Kommutatiivinen vs. assosiatiivinen: Comparison Chart

Yhteenveto

Lyhyesti sanottuna kommutatiivista ominaisuutta ei pidä sekoittaa assosiatiiviseen ominaisuuteen. Kommutatiivinen ominaisuus sanoo, että lukujen järjestystä voi vaihtaa yhteen- ja kertolaskuoperaatioissa, koska tulos on sama järjestyksestä riippumatta. Assosiatiivinen ominaisuus taas toteaa, että tulos on sama riippumatta siitä, miten numerot tai muuttujat ryhmitellään yhteen-/kertolaskuoperaatioissa.