Lagrangen funktio, myös Lagrangen funktio, fysikaalisen järjestelmän tilaa kuvaava suure. Mekaniikassa Lagrangen funktio on vain kineettinen energia (liikkeen energia) vähennettynä potentiaalienergialla (sijainnin energia).
Voidaan ajatella, että fysikaalinen systeemi, joka muuttuu ajan kuluessa tilasta tai konfiguraatiosta toiseen, etenee tiettyä evoluutiopolkua pitkin, ja kysyä tästä näkökulmasta, miksi se valitsee juuri tämän polun kaikkien kuviteltavissa olevien polkujen joukosta. Vastaus on, että fysikaalinen järjestelmä laskee yhteen sen Lagrangen funktion arvot kaikkien kuviteltavissa olevien polkujen varrella olevien pisteiden osalta ja valitsee sitten sen polun, jonka tulos on pienin. Tämä vastaus viittaa siihen, että Lagrangen funktio mittaa jotakin analogista etäisyyden lisäysten kanssa, jolloin voidaan abstraktisti sanoa, että fysikaaliset systeemit valitsevat aina lyhimmät polut.
Valonsäteen erikoistapauksessa systeemin konfiguraatioiden polku on vain valon tavallinen polku avaruuden halki, ja Lagrangen funktio pelkistyy pelkäksi ajan kulumisen mittariksi. Erityinen kaareva polku, jonka valonsäde kulkee taittuvan linssin läpi, on siis vain se, johon kuluu vähiten aikaa.
Periaate on kuitenkin paljon yleisempi, ja on huomattava löytö, että se näyttää kuvaavan yhtä hyvin kaikkia ilmiöitä, mukaan lukien esimerkiksi raketin matkaa kuuhun ja todennäköisyyttä sille, että törmäävät subatomiset hiukkaset hajottavat toisiaan valittuun suuntaan.