Kaikkien arvioiden mukaan Marilyn vos Savant oli ihmelapsi.

Syntynyt St. Louisissa, Missourissa vuonna 1946, nuori savant kehitti nopeasti kykyjä matematiikkaan ja luonnontieteisiin. Kymmenvuotiaana hänelle tehtiin kaksi älykkyystestiä – Stanford-Binet- ja Mega-testi – joiden molempien mukaan hänen henkinen kapasiteettinsa oli 23-vuotiaan luokkaa. Myöhemmin hän pääsi Guinnessin ennätysten kirjaan ”maailman korkeimman älykkyysosamäärän” omaavana, ja sen seurauksena hän saavutti kansainvälistä mainetta.

Huolimatta asemastaan ”maailman älykkäimpänä naisena” vos Savant väitti, että yritykset mitata älykkyyttä olivat ”hyödyttömiä”, ja hän hylkäsi älykkyystestit epäluotettavina. 1980-luvun puolivälissä, kun hänellä oli vapaat kädet valita urapolkunsa, hän pakkasi laukkunsa ja muutti New Yorkiin ryhtyäkseen kirjailijaksi.

Täällä hän koki läpimurron: kun Parade Magazine -lehti kirjoitti hänestä henkilöprofiilin, lukijat vastasivat niin paljon kirjeitä, että julkaisu tarjosi hänelle kokopäiväistä työtä. Pian tämän jälkeen hän perusti ”Kysy Marilynilta” -nyttemmin kuuluisan viikoittaisen kolumnin, jossa hän vastasi (ja vastaa yhä tänäkin päivänä) erilaisiin akateemisiin kysymyksiin ja loogisiin arvoituksiin. Eräässä näistä kolumneista vos Savant sytytti yhden 2000-luvun kiihkeimmistä tilastollisista taisteluista.

Kun vos Savant vastasi kohteliaasti erään lukijan kyselyyn Monty Hall -ongelmasta, joka oli tuolloin suhteellisen tuntematon todennäköisyyspulma, hän ei voinut kuvitellakaan, mitä tapahtuisi: vaikka hänen vastauksensa oli oikea, hän sai yli 10 000 kirjettä, monet niistä tunnetuilta tiedemiehiltä ja tohtoreilta.Tohtoreista, joissa hänelle ilmoitettiin, että hän oli jänishullu.

Vos Savantille seurasi painajaismainen matka, joka oli täynnä nimittelyä, sukupuoleen perustuvia olettamuksia ja akateemista vainoa.

Monty Hall -ongelma: Lyhyt historia

Kuvittele, että olet televisiopeliohjelmassa, ja juontaja esittelee sinulle kolme suljettua ovea. Yhden oven takana istuu säihkyvä, upouusi Lincoln Continental; kahden muun takana on haisevia vanhoja vuohia. Juontaja pyytää sinua valitsemaan oven, ja sinä valitset oven numero 1. Sitten isäntä, joka on hyvin tietoinen siitä, mitä kulissien takana tapahtuu, avaa oven numero 3 ja paljastaa yhden vuohista.

”Nyt”, hän sanoo ja kääntyy sinuun päin, ”haluatko pitää oven numero 1 vai haluatko vaihtaa oveen numero 2?”

Statistisesti ajateltuna, kummalla valinnalla saat auton: pitäisitkö alkuperäisen ovesi vai vaihtaisitko sen toiseen oveen. Jos olet useimpien ihmisten tavoin sitä mieltä, että mahdollisuutesi ovat 50-50, olet väärässä – paitsi tietysti jos pidät vuohista yhtä paljon kuin pidät uusista autoista, jolloin voitat 100 %:sti.

Liukuvasti perustuen kuuluisaan televisiopeliohjelmaan Tehdään kaupat, edellä esitetty skenaario, joka tunnetaan paremmin nimellä ”Monty Hall -ongelma”, on melko kuuluisa todennäköisyyskysymys. Huolimatta sen petollisesta yksinkertaisuudesta, joillakin maailman älykkäimmistä ihmisistä – MIT:n professoreilla, tunnetuilla matemaatikoilla ja MacArthurin ”Genius”-apurahoilla – on ollut vaikeuksia ymmärtää sen vastausta. Vuosikymmenien ajan se on herättänyt kiivasta keskustelua luokkahuoneissa ja luentosaleissa.

Historiallisesti Monty Hall -ongelmaa edelsi useampi hyvin samankaltainen arvoitus.

Joseph Bertrandin laatikkoparadoksessa (1889) esitetään kolme laatikkoa, joista yhdessä on kaksi kultakolikkoa, toisessa kaksi hopeakolikkoa ja viimeisessä yksi kummastakin. Oletetaan, että osallistuja vetää laatikosta yhden kultakolikon, minkä jälkeen tehtävässä kysytään, mikä on todennäköisyys sille, että toinen laatikossa oleva kolikko on kultainen. Bertrand, joka päätteli, että todennäköisyys oli ⅔, sai kiitosta kyvystään katsoa itsestäänselvyyksiä pidemmälle.

Tämän paradoksin toinen toisto, Kolmen vangin ongelma (1959), esittää tilastollisesti identtisen skenaarion, jossa lopputulos on sama. ” Ihanan hämmentävä pieni ongelma”, sen luoja, Scientific Americanin kolumnisti Martin Gardner, kirjoitti myöhemmin omahyväisesti. ”Millään muulla matematiikan osa-alueella asiantuntijoiden ei ole niin helppo erehtyä kuin todennäköisyysteoriassa.”

Ensimmäisen kerran vuonna 1975 The American Statistician -lehden päätoimittajalle osoitetussa kirjeessä esitelty Monty Hall -ongelma oli niin ikään vastoin intuitiota. Tässä kirjeessä Kalifornian yliopiston Berkeleyn professori Steve Selvin esitti tämän artikkelin johdannossa esitetyn tilanteen ja väitti, että ovien vaihtaminen tuottaa ⅔ todennäköisyyden voittaa auto, kun taas alkuperäisen oven säilyttäminen johtaa voittoon vain ⅓ ajasta.

Noin seuraavan vuosikymmenen aikana Monty Hall -ongelma esiintyi useaan otteeseen, ensin Barry Nalebuffin Journal of Economics Perspectives -lehdessä julkaisemassa palapelissä ja sen jälkeen Phillip Martinin kirjoittamassa Bridge Today -lehden vuoden 1989 numerossa. Kummankaan miehen logiikkaa ei kumottu, ja ongelma herätti suhteellisen vähän huomiota.

Sitten, 15 vuoden tauon jälkeen, Monty Hall -ongelma herätettiin henkiin Marilyn vos Savantin toimesta – ja siitä seurasi täysi paskamyrsky.

Marilyn vos Savantin katastrofi

Syyskuussa 1990 Marilyn vos Savant omisti yhden kolumnistaan lukijan kysymykselle, jossa esitettiin muunnelma Monty Hall -ongelmasta:

”Kuvitellaan, että olet peliohjelmassa ja saat valita kolmen oven välillä. Yhden oven takana on auto, muiden takana vuohet. Valitset oven, vaikkapa nro 1, ja juontaja, joka tietää, mitä ovien takana on, avaa toisen oven, vaikkapa nro 3, jossa on vuohi. Hän kysyy sinulta: ”Haluatko valita oven nro 2?”. Onko sinun eduksesi vaihtaa ovivalintaa?”

”Kyllä, sinun pitäisi vaihtaa”, hän vastasi. ”Ensimmäisellä ovella on 1/3 mahdollisuus voittaa, mutta toisella ovella on 2/3 mahdollisuus.”

Vaikka hänen vastauksensa oli oikea, laaja joukko akateemikkoja reagoi siihen närkästyneenä. Seuraavien kuukausien aikana vos Savant sai yli 10 000 kirjettä – mukaan lukien pari puolustustiedon keskuksen apulaisjohtajalta ja National Institutes of Healthin tutkimusmatemaattiselta tilastotieteilijältä – joissa kaikissa väitettiin, että hän oli täysin epäpätevä:

Mokasit, ja mokasit pahasti! Koska sinulla näyttää olevan vaikeuksia ymmärtää tässä toimivaa perusperiaatetta, selitän. Kun isäntä paljastaa vuohen, sinulla on nyt yksi kahdesta mahdollisuus olla oikeassa. Riippumatta siitä, muutatko valintaasi vai et, todennäköisyys on sama. Tässä maassa on jo tarpeeksi matemaattista lukutaidottomuutta, emmekä tarvitse maailman korkeimman älykkyysosamäärän lisäävän sitä. Häpeä!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Saanko ehdottaa, että hankitte tavallisen todennäköisyysoppikirjan ja tutustutte siihen, ennen kuin yritätte vastata tämäntyyppiseen kysymykseen uudestaan?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Olen varma, että tulette saamaan lukiolaisilta ja korkeakouluopiskelijoilta monia kirjeitä tästä aiheesta. Ehkä teidän kannattaisi säilyttää muutama osoite, jotta voitte auttaa tulevissa kolumneissa.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgian osavaltionyliopisto

Olette täysin väärässä peliohjelman kysymyksen suhteen, ja toivon, että tämä kiista herättää jonkin verran julkista huomiota matemaattisen koulutuksen vakavaan kansalliseen kriisiin. Jos pystytte myöntämään virheenne, olette rakentavasti myötävaikuttaneet tämän valitettavan tilanteen ratkaisemiseen. Kuinka monta raivostunutta matemaatikkoa tarvitaan, jotta muutatte mielenne?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetownin yliopisto

Teit virheen, mutta katso myönteistä puolta. Jos kaikki nuo tohtorit olisivat väärässä, maa olisi hyvin vakavissa vaikeuksissa.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Olet vuohi!
Glenn Calkins
Western State College

Mahdollisesti naiset katsovat matemaattisia ongelmia eri tavalla kuin miehet.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Kohu oli niin valtava, että vos Savantin oli pakko omistaa kolme seuraavaa kolumnia selittääkseen, miksi hänen logiikkansa oli oikea. Jopa hänen hyvin perusteltujen ja selkeiden vastaustensa jälkeen häntä haukuttiin edelleen. ”Olen edelleen sitä mieltä, että olet väärässä”, kirjoitti eräs mies lähes vuotta myöhemmin. ”On olemassa sellaista asiaa kuin naislogiikka.”

Vos Savantin johtopäätöksen taustalla olevat numerot eivät kuitenkaan valehtele.

Monty Hall -ongelman kumoaminen

Koska kaksi ovea (joista toisessa on auto ja toisessa vuohi) jää jäljelle sen jälkeen, kun isäntä avaa oven numero 3, useimmat olettavat, että todennäköisyys valita auto on ½. Näin ei kuitenkaan ole.

”Ensimmäisen valinnan voittotodennäköisyys 1/3 ei voi nousta 1/2:een vain siksi, että isäntä avaa tappiollisen oven”, kirjoittaa vos Savant. Jos nimittäin kartoitetaan kuusi peliä, joissa tutkitaan kaikkia mahdollisia lopputuloksia, käy selväksi, että oven vaihtaminen johtaa voittoon kahdessa kolmasosassa (66,6 %) tapauksista, ja alkuperäisen oven säilyttäminen johtaa voittoon vain kolmanneksessa (33,3 %) tapauksista:

Toinen tapa tarkastella asiaa on eritellä jokainen ovenvaihtomahdollisuus. Kuten alla on hahmoteltu, yhdeksästä mahdollisesta skenaariosta kuusi (kaksi kolmasosaa) johtaa auton voittamiseen:

Nämä tulokset näyttävät olevan intuitiivisia tilastollisia impulssejamme vastaan – miksi ovien vaihtaminen siis lisää voittomahdollisuuksiamme?

Lyhyt vastaus on, että alkuperäiset todennäköisyytesi voittaa ovella 1 (⅓) eivät muutu vain siksi, että isäntä paljastaa vuohen oven 3 takaa; sen sijaan Hallin toiminta lisää todennäköisyyttä ⅔:ksi, että voitat vaihtamalla.

Tässä on toinen tapa havainnollistaa tämä. Kuvittele, että kolmen oven sijasta Monty Hall esittää sinulle 100 ovea; 99 oven takana on vuohia, ja yhden oven takana on auto. Valitset oven numero 1, ja alkuperäinen todennäköisyytesi voittaa auto on nyt 1/100:

Sitten oletetaan, että Monty Hall avaa 98 muuta ovea, jolloin jokaisen oven takaa paljastuu vuohi. Nyt sinulla on kaksi vaihtoehtoa: Pidä ovi #1 tai vaihda oveen #100:

Kun valitset oven #1, on 99/100 todennäköisyys, että auto on jonkin muun oven takana. Se, että Monty Hall paljastaa 98 vuohta, ei muuta näitä alkuperäisiä todennäköisyyksiä – se vain ”siirtää” tuon 99/100 mahdollisuuden ovelle #100. Voit joko pysyä alkuperäisessä 1/100-kertoimen valinnassasi tai vaihtaa ovelle #100, jolloin todennäköisyys voittaa auto on paljon suurempi.

Siltikin, vaikka matematiikka ja numerot tukevat vos Savantin väitettä – että voiton todennäköisyys kasvaa ⅔:iin, kun vaihdat ovea – on otettava huomioon muitakin tekijöitä, joita hän ei käsittele vastauksessaan.

Rationalisoinnin psykologia

Monty Hall, ’Let’s Make a Deal’-ohjelman juontaja

Vuonna 1992, kun kiista vos Savantin vastauksesta hautui, Monty Hall – peliohjelman juontaja ja ongelman nimihenkilö – istui New York Timesin haastatteluun.

Hall selvensi, että asiat toimivat hieman eri tavalla kuin Paraden lukijan vos Savantin kolumnissa esittämä skenaario. Oikeassa ohjelmassa hän esimerkiksi säilytti valtuudet tarjota kilpailijalle käteistä rahaa EI vaihtaa. Tällaiset yksityiskohdat muuttivat hänen mukaansa kilpailijan ajattelutapaa:

”, he ajattelivat, että heidän ovensa todennäköisyys oli nyt noussut 1:2, joten he vihasivat luopua ovesta, vaikka kuinka paljon rahaa tarjosin…Mitä korkeammalle pääsin, sitä enemmän ajattelin, että auto oli takana . Halusin huijata vaihtamaan sinne. Sellaista pystyn tekemään kun peli on hallinnassani. Saatat ajatella, että sinulla on todennäköisyys puolellasi, kun seuraat vastausta hänen palstallaan, mutta on otettava huomioon psykologinen tekijä.”

Hallin mainitsema ”psykologinen tekijä” siirtyy ohjelman säännöistä tässä artikkelissa esittelemäämme ongelman variaatioon. Sekä kilpailijoille että ongelmanratkaisijoille Monty Hall -ongelma aiheuttaa kognitiivista dissonanssia, termiä, jota psykologit käyttävät kuvaamaan ”psyykkistä stressiä, jota kokee yksilö, jolla on samanaikaisesti kaksi tai useampia ristiriitaisia uskomuksia, ideoita tai arvoja, tai joka kohtaa uutta tietoa, joka on ristiriidassa olemassa olevien uskomusten, ideoiden tai arvojen kanssa”.

Kun ihmiset kohtaavat todisteita, jotka ovat ”ristiriidassa heidän uskomustensa kanssa” (esim. voittokertoimet ovien vaihtamisesta ovat ⅔ ½:n sijasta), he reagoivat ensin kumoamalla tiedon, sitten he lyöttäytyvät yhteen samanmielisten toisinajattelijoiden kanssa ja puolustavat omaa kovaa mielipidettään. Juuri tämä on vos Savantin tuhansien naysayereiden mentaliteetti.

***

Yli 25 vuotta myöhemmin Monty Hall -ongelman semantiikasta ja vos Savantin vastauksesta käydään yhä kiistoja — lähinnä isännän toimien monimutkaisuuden ympärillä.

”Aivomme eivät vain ole viritetty tekemään todennäköisyysongelmia kovin hyvin, joten en ole yllättynyt, että virheitä tapahtui”, Stanfordin tilastotieteen professori Persi Diaconis kertoi toimittajalle vuosia sitten. ” Tiukka argumentti olisi, että kysymykseen ei voi vastata tuntematta isännän motivaatiota.”

Lopulta kuitenkin monet niistä, jotka olivat kirjoittaneet korjatakseen vos Savantin matematiikkaa, perääntyivät ja myönsivät olleensa väärässä.

Vos Savantin ehdottama harjoitus ongelman paremmaksi ymmärtämiseksi sisällytettiin pian tuhansiin luokkahuoneisiin eri puolilla maata. Rakennettiin tietokonemalleja, jotka vahvistivat hänen logiikkansa, ja tuki hänen älykkyydelleen palautui vähitellen. Kun aiemmin vain 8 % lukijoista oli uskonut hänen logiikkaansa, tämä luku oli noussut 56 %:iin vuoden 1992 loppuun mennessä, kirjoittaa vos Savant; akateemikkojen keskuudessa 35 %:n alkuperäinen kannatus oli noussut 71 %:iin.

Uusien uskovien joukossa oli George Masonin yliopiston matematiikan professori Robert Sachs, joka oli alunperin kirjoittanut vos Savantille ilkeän kirjeen, jossa kertoi, että tämä ”mokasi” ja tarjoutui auttamaan ”selittämään”. Ymmärrettyään, että hän oli itse asiassa väärässä, hän tunsi itsensä pakotetuksi lähettämään tälle uuden kirjeen – tällä kertaa katuen omahyväisyyttään.

”Otettuani jalkani pois suustani syön nyt nöyrää piirakkaa”, hän kirjoitti. ”Vannoin katumukseksi vastata kaikille niille ihmisille, jotka kirjoittivat mustamaalatakseen minua. Se on ollut voimakas ammatillinen häpeä.”

Priceonomics on kirjoittanut kaksi kirjaa. Toinen on skeptikoille, toinen optimisteille. Valitse seikkailusi → Everything is Bullshit tai Hipster Business Models.

Jos haluat saada satunnaisia ilmoituksia, kun kirjoitamme blogikirjoituksia, liity sähköpostilistallemme. Tämä viesti julkaistiin alun perin 19. helmikuuta 2015.