Muuttujaa poissulkevien ja ei- toisiaan poissulkevien tapahtumien kanssa
Edellisessä harjoituksessa opit, että vaikeat todennäköisyydet saa selville tekemällä simulaation ja käyttämällä suurten lukujen lakia. Teoreettisia todennäköisyyksiä voidaan laskea monilla eri strategioilla tilanteesta riippuen.
Tapahtumat, jotka sulkevat toisensa pois, ovat tapahtumia, jotka eivät voi tapahtua samaan aikaan. Esimerkkejä ovat: oikealle ja vasemmalle kääntyminen, parilliset ja parittomat numerot nopassa, pelin voittaminen ja häviäminen tai juokseminen ja käveleminen.
Ei toisiaan poissulkevat tapahtumat ovat tapahtumia, jotka voivat tapahtua samaan aikaan. Esimerkkejä ovat: autoilu ja radion kuuntelu, parilliset ja alkuluvut kuutiolla, pelin häviäminen ja pisteiden tekeminen tai juokseminen ja hikoilu.
Eivät toisiaan poissulkevat tapahtumat voivat tehdä todennäköisyyden laskemisesta monimutkaisempaa.
Pelimessuilla Pohdinta
Pelatkaa uudelleen Pelimessuilla pelattava Yksittäisen kortin heittopeli.
Soveltamalla toisiaan poissulkevien tapahtumien määritelmää, ovatko pelin eri pistetulokset toisiaan poissulkevia vai ei- toisiaan poissulkevia?
Kirjoita ylös ajatuksia siitä, miten todennäköisyydet lasketaan.
GamesFair
Lyhyt kuvaus
Ongelma siinä, että ymmärrät todennäköisyydet vain toisensa poissulkevina tapahtumina, on se, että yksinkertaistat näitä tapahtumia tavalla, jota niiden ei ole tarkoitus yksinkertaistaa. Se on melkein yhtä traagista kuin sanoisi, että ihmiset eivät voi tehdä hyvää ja tienata rahaa, tai olla hyviä matematiikassa ja hyvin luovia. Seuraava video havainnollistaa, miten tärkeää on tunnistaa tapahtumat toisiaan poissulkeviksi.
Venn-diagrammit
Tässä Venn-diagrammissa näkyvät kaikki kortit tavallisessa 52 kortin pakassa. A on ei-kuvakorttien joukko.
Venn-diagrammit ovat tapa esittää tapahtumia, ja niitä voidaan käyttää yksinkertaisten tilanteiden esittämiseen, kun tapahtuu vain yksi tapahtuma.
Sitä voidaan käyttää myös useiden tapahtumien esittämiseen.
Sitä voidaan käyttää erityisesti silloin, kun esitetään tapahtumia, jotka eivät sulje pois toisiaan.
Tässä tehtävässä käytät niitä 2 tai 3 tapahtuman esittämiseen kerrallaan, jotta voit analysoida tapahtumien välistä suhdetta.
joukkojen leikkauspiste
Tarkastellaan Venn-diagrammia 50 potilasta -kysymystä varten jaksosta Minds On.
Käytämme merkintää 
kahden joukon ”leikkauspisteenä”, elementtinä A:ssa ja B:ssä.
Tässä esimerkissä 
edustaa oireiden päällekkäisyyttä eli potilaita, joilla on sekä päänsärky ”JA” flunssaoireita.
Tulee tutuksi leikkauspiste sanana ”JA”.
Tallenna työsi
Teitä on pyydetty selvittämään, kuinka monta ihmistä kuuluu luokkaan ”JA”, jotta voidaan laskea todennäköisyys sille, että potilaalla on molemmat oireet. Voit olla varma, että siihen on vain yksi tapa.
Luo alla olevan interaktiivisen avulla venn-diagrammi, jonka avulla löydät niiden ihmisten määrän, joilla on molemmat oireet esimerkissä.
Influenssakauden alussa lääkäri tutkii 50 potilasta kahden päivän aikana. 30:llä on päänsärkyä, 24:llä flunssaa, 12:lla ei ole kumpaakaan. Joillakin potilailla on molemmat oireet. Mikä on todennäköisyys sille, että satunnaisella potilaalla on molemmat oireet?
VennDiagrammi
Pitkä kuvaus
|
Sanoilla |
In Words |
In Symbolit |
In Symbolit |
|---|---|---|---|
|
All red |
n(A) = |
P(A) = |
|
|
All number |
n(B) = |
P(B) = |
|
|
Kaikki kortit |
n(S) = |
P(S) = |
|
|
Intersection: Sekä numero että punainen |
|
|
|
|
Vain punainen (punaiset kortit, jotka eivät ole numerokortteja) |
|
|
|
|
Vain numero (numerokortit, jotka eivät ole punaisia kortteja) |
|
|
|
|
Union: Punainen tai numero |
|
|
|
|
Kaikki muu |
|
|
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Sisällyttämisen periaate-Exclusion
Harkitse Venn-diagrammia. Jos lisäät n(A) ja n(B), lasket leikkausosan kahdesti. Sinun ei pitäisi koskaan laskea elementtiä kahteen kertaan saadaksesi selville, kuinka monta sinulla on. Jos olet laskenut sen kahdesti, on helppo tapa korjata se: vähennä se kerran.
Sisällyttämisen ja poissulkemisen periaate on käyttökelpoinen kaava/idea todennäköisyyksiä määritettäessä, ja sitä käytetään tapahtumille, jotka eivät sulje toisiaan pois.
Se voidaan kirjoittaa seuraavasti:
tai sanoin: A:n ”TAI” B:n elementtien lukumäärä on yhtä suuri kuin A:n elementtien lukumäärä plus B:n elementtien lukumäärä vähennettynä A:n ”JA” B:n elementtien lukumäärästä.
Sovelletaan oppimista
Käytä kaavaa, joka edustaa inkluusio-ekskluusio-periaatetta, ratkaistaksesi alkuperäisen ongelman:
Influenssakauden alkaessa lääkäri tutkii 50 potilasta kahden päivän aikana. 30:llä on päänsärkyä, 24:llä flunssaa, 12:lla ei ole kumpaakaan. Joillakin potilailla on molemmat oireet. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisella potilaalla on molemmat oireet?
Näytä ratkaisusi vaiheet ja selitä (Määritelmä: Varaa aikaa selitysten kirjoittamiseen kaikelle, mikä ei ole itsestään selvää tai mikä vaati ajattelua, jota ei muuten näytetä.) vastauksesi.
Ratkaisu
- 8:lla on vain flunssa,
- 14:llä on vain päänsärky,
- 16:lla on molemmat.
Venn-diagrammi käyttäen 3 tapahtumaa
Venn-diagrammeja ja toisensa poissulkevia tapahtumia ei käytetä vain kahden eri tapahtuman kanssa. Venn-diagrammissa voidaan käyttää myös kolmea tapahtumaa, vaikka ne ovatkin monimutkaisempia. Jos käytetään oikeaa strategiaa, tämä voidaan tehdä tehokkaasti.
Esimerkki
Eastside Secondaryn oppilashuolto-osasto haluaa laskea 12. luokan oppilaiden määrän. He tietävät, että jokainen opiskelija opiskelee matematiikkaa, englantia tai luonnontieteitä. He totesivat, että:
- 64 oppilasta opiskelee matematiikkaa
- 56 oppilasta opiskelee englantia
- 82 oppilasta opiskelee luonnontieteitä
- 20 oppilasta opiskelee matematiikkaa ja englantia
- 25 oppilasta opiskelee matemaattis-luonnontieteellisiä aineita
- 21 oppilasta opiskelee englantia ja luonnontieteitä
- 12 oppilasta opiskelee kaikkia kolmea ainetta.
Luo alla olevan kaltainen kolmen tapahtuman Venn-diagrammi. Täytä Venn-diagrammisi jokainen osio kiinnittäen huomiota siihen, että kukin opiskelija kuuluu vain yhteen luokkaan.
- Miten monta opiskelijaa on yhteensä?
- Millä todennäköisyydellä satunnainen opiskelija valitsee matemaattis-luonnontieteellisen kurssin?
- Millä todennäköisyydellä satunnainen opiskelija valitsee matemaattis-luonnontieteellisen tai luonnontieteellisen kurssin?
- Millä todennäköisyydellä opiskelija valitsee täsmälleen kaksi kurssia kolmesta?
Ratkaisu
- 12 kaikissa kolmessa,
- 9 E:ssä ja S:ssä mutta ei M:ssä,
- 13 M:ssä ja S:ssä mutta ei E:ssä,
- 8 M:ssä ja E:ssä mutta ei S:ssä,
- 48 vain S:ssä,
- 27 vain E:ssä,
- 31 vain M:ssä.
Apua tähän kysymykseen saat seuraavasta samanlaisesta esimerkistä.