Matematyka jest grą liczb, a liczby są wszędzie. A regułą tej gry są własności i reguły związane z liczbami. Własności pomagają szybko i łatwo obliczać odpowiedzi w głowie. Własności to nic innego jak specjalne reguły, których przestrzegają liczby. Istnieją trzy podstawowe własności liczb, których przestrzega każdy system matematyczny: Przecinanie, kojarzenie i rozdzielanie. Te właściwości są cechami czterech operacji (dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia), które zawsze mają zastosowanie, niezależnie od liczby, z którą pracujemy. Ale omówimy tylko komutatywne i asocjatywne właściwości w następnym artykule.

Obie właściwości komutatywne i asocjacyjne są regułami stosowanymi do operacji dodawania i mnożenia. Te właściwości są prawa używane w algebrze, aby pomóc w rozwiązywaniu problemów. Komutatywna własność pochodzi od terminu „commute”, który oznacza poruszanie się i odnosi się do możliwości zamiany liczb, które dodajemy lub mnożymy. Asocjacyjna własność pochodzi od słowa „stowarzyszać” lub „grupa” i odnosi się do grupowania trzech lub więcej liczb za pomocą nawiasów, niezależnie od tego, jak je pogrupować. Wynik pozostaje taki sam, bez względu na to, jak przegrupujesz liczby. Spójrzmy na te dwie właściwości, aby lepiej zrozumieć, jak one działają.

Co to jest komutacja?

Na przykład, wiemy, że dodanie 2 i 5 daje taką samą odpowiedź jak dodanie 5 i 2. Kolejność liczb w problemie dodawania może być zmieniona bez zmiany wyniku. Ta rzecz o liczbach i dodawaniu jest nazywana komutatywną własnością dodawania. Tak więc, możemy powiedzieć, że dodawanie jest operacją komutatywną. Podobnie, mnożenie jest operacją komutatywną.

Własność komutacyjna dodawania:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 jest takie samo jak 4 + 3 = 7

Wynik będzie taki sam niezależnie od kolejności liczb.

Współrzędna własność mnożenia:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 jest takie samo jak 7 × 3 = 21

Podobnie, wynik będzie taki sam bez względu na kolejność liczb.

Co to jest asocjacja?

Asocjacja jest kolejną właściwością, której używamy ma do czynienia z przegrupowywaniem. Na przykład, gdy dodajemy 2 + 3 + 5, możemy albo dodać najpierw 2 i 3, a następnie dodać 5, albo możemy dodać najpierw 3 i 5, a następnie 2. Matematycznie wygląda to tak: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operacje, które zachowują się w ten sposób są nazywane operacjami asocjacyjnymi. Wynik pozostaje taki sam, nawet jeśli zmienimy grupowanie liczb.

Asocjacyjna własność dodawania:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Wynik pozostaje taki sam, bez względu na to, jak pogrupujesz liczby.

Asocjacyjna własność mnożenia:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Więc, grupowanie w liczbach nie zmienia wyniku.

Różnica między Commutative i Associative

Meaning

– commutative własność pochodzi od terminu „commute”, co oznacza „poruszać się” i odnosi się do bycia w stanie zamienić numery, że jesteś dodawanie lub mnożenie niezależnie od kolejności liczb. Własność asocjacyjna, z drugiej strony, pochodzi od słowa „stowarzyszać” lub „grupa” i odnosi się do grupowania trzech lub więcej liczb za pomocą nawiasów, niezależnie od tego, jak je grupujesz. Wynik będzie taki sam, bez względu na to, jak przegrupujesz liczby lub zmienne.

Reguła

– Komutatywna reguła dodawania stwierdza, a + b = b + a, co oznacza, że dodanie a i b daje taki sam wynik jak dodanie b i a. Rozkazy mogą być zmieniane bez zmiany wyniku. Ta reguła dodawania jest nazywana komutatywną własnością dodawania. Podobnie, mnożenie jest operacją komutatywną, co oznacza, że a × b da taki sam wynik jak b × a. Z drugiej strony, własność asocjacyjna jest regułą, która odnosi się do grupowania liczb. Asocjacyjna reguła dodawania mówi, a + (b + c) jest taki sam jak (a + b) + c. Podobnie, asocjacyjna reguła mnożenia mówi a × (b × c) jest taki sam jak (a × b) × c.

Przykład

– Komutacyjna własność dodawania: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Właściwość komutatywna mnożenia: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Właściwość asocjacyjna dodawania: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Właściwość asocjacyjna mnożenia: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Commutative vs. Associative: Comparison Chart

Podsumowanie

W skrócie, własności komutatywnej nie należy mylić z asocjacyjną. Własność komutatywna mówi, że dobrze jest zmienić kolejność liczb w operacjach dodawania i mnożenia, ponieważ wynik będzie taki sam, bez względu na kolejność. Z drugiej strony, własność asocjacyjna stwierdza, że wynik będzie taki sam, bez względu na to, jak pogrupujesz liczbę lub zmienne w operacjach dodawania/mnożenia.

.