How to Develop a Mindset for Math

Matematyka używa wymyślonych reguł do tworzenia modeli i związków. Kiedy się uczę, pytam:

Jaką relację reprezentuje ten model?
Jakie przedmioty w świecie rzeczywistym dzielą tę relację?
Czy ta relacja ma dla mnie sens?

To proste pytania, ale pomagają mi zrozumieć nowe tematy. Jeśli podobały Ci się moje posty dotyczące matematyki, ten artykuł przedstawia moje podejście do tego często marginalizowanego tematu. Wiele osób zostawiło wnikliwe komentarze o swoich zmaganiach z matematyką i zasobach, które im pomogły.

Edukacja matematyczna

Podręczniki rzadko skupiają się na zrozumieniu; to głównie rozwiązywanie problemów za pomocą formuł typu „podłącz i uciekaj”. Smuci mnie, że piękne idee są traktowane w taki sposób:

Twierdzenie Pitagorasa nie dotyczy tylko trójkątów. Dotyczy ono relacji między podobnymi kształtami, odległości między dowolnymi zbiorami liczb i wielu innych rzeczy.
e nie jest tylko liczbą. Chodzi o fundamentalne związki między wszystkimi wskaźnikami wzrostu.
Log naturalny nie jest tylko funkcją odwrotności. Chodzi o ilość czasu, jaką rzeczy potrzebują do wzrostu.

Eleganckie, „a ha!” spostrzeżenia powinny być naszym celem, ale zostawiamy to uczniom, aby przypadkowo natknęli się na siebie. Ja trafiłem na moment „a ha” po piekielnej sesji odrabiania w college’u; od tego czasu chciałem znaleźć i podzielić się tymi epifaniami, aby oszczędzić innym tego samego bólu.

Ale to działa w obie strony – chcę, abyście również dzielili się ze mną swoimi spostrzeżeniami. Jest więcej zrozumienia, mniej bólu i wszyscy wygrywają.

Math Evolves Over Time

Uważam matematykę za sposób myślenia i ważne jest, aby zobaczyć jak to myślenie się rozwinęło, zamiast pokazywać tylko wynik. Spróbujmy na przykładzie.

Wyobraź sobie, że jesteś jaskiniowcem zajmującym się matematyką. Jednym z pierwszych problemów będzie to, jak liczyć rzeczy. Z czasem powstało kilka systemów:

Żaden system nie jest właściwy, a każdy z nich ma zalety:

System unitarny: Rysowanie linii na piasku – tak proste, jak to tylko możliwe. Świetny do utrzymywania wyniku w grach; można dodać do liczby bez wymazywania i przepisywania.
Cyfry rzymskie: Bardziej zaawansowane unary, ze skrótami dla dużych liczb.
Decimals: Ogromna realizacja, że liczby mogą korzystać z „pozycyjnego” systemu z miejscem i zero.
Binary: Najprostszy system pozycyjny (dwie cyfry, on vs off), więc jest to świetne dla urządzeń mechanicznych.
Notacja naukowa: Niezwykle zwarta, pozwala łatwo ocenić wielkość i precyzję liczby (1E3 vs 1.000E3).

Myślisz, że skończyliśmy? Nie ma mowy. Za 1000 lat będziemy mieli system, który sprawi, że liczby dziesiętne będą wyglądały tak osobliwie jak cyfry rzymskie („George, jak oni sobie radzili z tak niezdarnymi narzędziami?”).

Negative Numbers Aren’t That Real

Pomyślmy o liczbach trochę więcej. Powyższy przykład pokazuje, że nasz system liczbowy jest jednym z wielu sposobów na rozwiązanie problemu „liczenia”.

Rzymianin uznałby zero i ułamki za dziwne, ale to nie znaczy, że „nicość” i „część do całości” nie są użytecznymi pojęciami. Ale zobacz, jak każdy system włączał nowe pomysły.

Ułamki (1/3), ułamki dziesiętne (.234) i liczby złożone (3 + 4i) są sposobami wyrażania nowych relacji. Mogą one nie mieć teraz sensu, tak jak zero nie miało „sensu” dla Rzymian. Potrzebujemy nowych relacji w świecie rzeczywistym (takich jak dług), aby mogły kliknąć.

Nawet wtedy, liczby ujemne mogą nie istnieć w sposób, w jaki myślimy, jak przekonujesz mnie tutaj:

Ty: Liczby ujemne są świetnym pomysłem, ale z natury nie istnieją. To etykieta, którą stosujemy do koncepcji.

Me: Pewnie, że tak.

You: Ok, pokaż mi -3 krowy.

Me: Cóż, hm… załóżmy, że jesteś rolnikiem i straciłeś 3 krowy.

Ty: Ok, masz zero krów.

Me: Nie, chodzi mi o to, że dałeś 3 krowy przyjacielowi.

Ty: Ok, on ma 3 krowy, a ty zero.

Me: Nie, chodzi mi o to, że on je kiedyś odda. On jest ci winien.

Ty: Aha. Więc rzeczywista liczba, którą mam (-3 lub 0) zależy od tego, czy myślę, że on mi zwróci. Nie zdawałem sobie sprawy, że moja opinia zmieniła sposób liczenia. W moim świecie, miałem zero przez cały czas.

Me: Sigh. To nie jest tak. Kiedy on oddaje ci krowy, przechodzisz z -3 do 3.

Ty: Ok, czyli on zwraca 3 krowy, a my przeskakujemy o 6, z -3 do 3? Jakieś inne nowe działania arytmetyczne, o których powinienem wiedzieć? Jak wygląda sqrt(-17) krów?

Me: Wynoś się.

Liczby ujemne mogą wyrażać relację:

Liczby dodatnie reprezentują nadwyżkę krów
Zero reprezentuje brak krów
Liczby ujemne reprezentują deficyt krów, które z założenia mają być spłacone

Ale liczby ujemnej „tak naprawdę nie ma” — jest tylko relacja, którą reprezentuje (nadwyżka/deficyt krów). Stworzyliśmy model „liczby ujemnej”, aby pomóc w księgowości, mimo że nie możesz trzymać w ręku -3 krów. (Celowo użyłem innej interpretacji tego, co oznacza „ujemny”: jest to inny system liczenia, tak jak cyfry rzymskie i dziesiętne są innymi systemami liczenia.)

Na marginesie, liczby ujemne nie były akceptowane przez wielu ludzi, w tym zachodnich matematyków, aż do 1700 roku. Idea liczb ujemnych była uważana za „absurdalną”. Liczby ujemne wydają się dziwne, chyba że widzisz, jak reprezentują złożone relacje w świecie rzeczywistym, takie jak dług.

Po co ta cała filozofia?

Zdałem sobie sprawę, że mój **mindset jest kluczem do nauki. **Pomogło mi to dojść do głębokich spostrzeżeń, w szczególności:

Wiedza faktograficzna nie jest zrozumieniem. Wiedza „młotki wbijają gwoździe” to nie to samo, co wgląd, że każdy twardy przedmiot (kamień, klucz) może wbić gwóźdź.
Miej otwarty umysł. Rozwijaj swoją intuicję, pozwalając sobie znów być początkującym.

Pewien profesor uniwersytetu poszedł odwiedzić słynnego mistrza zen. Podczas gdy mistrz spokojnie podawał herbatę, profesor rozmawiał o zen. Mistrz nalał do filiżanki gościa po brzegi, a potem nalewał dalej. Profesor patrzył na przelewającą się filiżankę, aż nie mógł się dłużej powstrzymać. „Jest przepełniona! Nic więcej nie wleje się do środka!” – wykrzyknął profesor. „Jesteś jak ten kielich,” odpowiedział mistrz, „Jak mogę pokazać ci Zen, jeśli najpierw nie opróżnisz swojego kielicha.”

Bądź kreatywny. Szukaj dziwnych związków. Używaj diagramów. Używaj humoru. Używaj analogii. Stosuj mnemotechniki. Używaj wszystkiego, co sprawia, że pomysły są bardziej żywe. Analogie nie są doskonałe, ale pomagają, gdy zmagasz się z ogólną ideą.
Uświadom sobie, że możesz się nauczyć. Oczekujemy od dzieci, że nauczą się algebry, trygonometrii i rachunku, które zadziwiłyby starożytnych Greków. I powinniśmy: jesteśmy w stanie nauczyć się tak wiele, jeśli zostanie nam to właściwie wytłumaczone. Nie przestawaj, dopóki nie będzie to miało sensu, bo inaczej ta matematyczna luka będzie cię prześladować. Wytrwałość psychiczna jest kluczowa — często zbyt łatwo się poddajemy.

So What’s the Point?

Chcę się podzielić tym, co odkryłem, mając nadzieję, że pomoże ci to w nauce matematyki:

Matematyka tworzy modele, które mają pewne związki
Próbujemy znaleźć zjawiska w świecie rzeczywistym, które mają te same związki
Nasze modele są zawsze ulepszane. Może pojawić się nowy model, który lepiej wyjaśnia ten związek (cyfry rzymskie do systemu dziesiętnego).

Z pewnością, niektóre modele wydają się nie mieć żadnego zastosowania: „Co dobre są liczby urojone?”, pyta wielu studentów. Jest to ważne pytanie, z intuicyjną odpowiedzią.

Użycie liczb urojonych jest ograniczone przez naszą wyobraźnię i zrozumienie — tak jak liczby ujemne są „bezużyteczne”, chyba że masz pojęcie o długu, liczby urojone mogą być mylące, ponieważ nie rozumiemy relacji, które reprezentują.

Matematyka dostarcza modeli; zrozum ich relacje i zastosuj je do rzeczywistych obiektów.

Rozwijanie intuicji sprawia, że nauka jest przyjemna — nawet rachunkowość nie jest zła, gdy rozumiesz problemy, które rozwiązuje. Chcę zająć się liczbami złożonymi, rachunkiem i innymi nieuchwytnymi tematami, skupiając się na związkach, a nie na dowodach i mechanice.

Ale to jest moje doświadczenie — jak Ty uczysz się najlepiej? Kilku przyjaciół spisało swoje doświadczenia:

Ed Latimore: A Boxer Teaches You How To Get Better At Math
Scott Young: How to Teach Yourself Math

Edukacja matematyczna

Math Evolves Over Time

Negative Numbers Aren’t That Real

Po co ta cała filozofia?

So What’s the Point?

Other Posts In This Series

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi