Geometria układów hamiltonowskichEdit

Hamiltonian może indukować strukturę symplektyczną na gładkiej parzystej rozmaitości M2n na kilka różnych, ale równoważnych, sposobów, z których najbardziej znane są następujące:

Jako zamknięta niezdegenerowana symplektyczna 2-forma ω. Zgodnie z twierdzeniem Darboux, w niewielkim sąsiedztwie dowolnego punktu na M w odpowiednich współrzędnych lokalnych p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {displaystyle p_{1},⋯ ,p_{n},⋯ ,q_{1},⋯ ,q_{n}}

istnieje forma symplektyczna ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {displaystyle ∑omega = ∑sum _{i=1}^{n}dp_{i} ∑ dq_{i}}

Współrzędne lokalne p, q nazywamy wtedy kanonicznymi lub symplektycznymi.

Forma ω {{displaystyle \omega }

pozwala skonstruować naturalny izomorfizm T x M ≅ T x ∗ M {displaystyle T_{x}M {{x}^{*}M}}

przestrzeni stycznej T x M {{displaystyle T_{x}}M}

i przestrzeni kotangensowej T x ∗ M . {{displaystyle T_{x}^{*}M}}

Odbywa się to poprzez odwzorowanie wektora ξ ∈ T x M {displaystyle ∈ T_xi ∈ w T_{x}M}.

na 1-formę ω ξ ∈ T x ∗ M , {displaystyle \omega _{xxi \ w T_{x}^{*}M,}

gdzie ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {displaystyle ˆomega _{xi }(ˆeta )= ˆomega (ˆeta ,ˆxi ),}

dla dowolnego η ∈ T x M . {W T_{x}M.}

Ze względu na bilinearność i niezdegenerowanie ω , {displaystyle \omega ,}

oraz fakt, że d i m T x M = d i m T x ∗ M , {displaystyle \mathop {{dim}} T_{x}M= {{mathop {{rm {dim}}

jest rzeczywiście izomorfizmem liniowym. Izomorfizm ten jest o tyle naturalny, że nie zmienia się wraz ze zmianą współrzędnych na M . {M.}

Powtarzając dla każdego x ∈ M , {displaystyle x w M,}

kończymy z izomorfizmem J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {displaystyle J^{-1}:{text{Vect}}(M)} do ∈ Omega ^{1}(M)}.

między nieskończenie wymiarową przestrzenią gładkich pól wektorowych a przestrzenią gładkich 1-form. Dla każdego f , g ∈ C ∞ ( M , R ) { {displaystyle f,g w C^{infty }(M,∞ {R} )}

oraz ξ , η ∈ Vect ( M ) , {displaystyle \xi ,\eta \ w {text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {J^{-1}(f ξ + g ξ )=fJ^{-1}(ξ )+gJ^{-1}(ξ ).}

(W ujęciu algebraicznym można by powiedzieć, że C ∞ ( M , R ) { {displaystyle C^{infty }(M,\mathbb {R} )}

-modules Vect ( M ) { {displaystyle {text{Vect}}(M)}

i Ω 1 ( M ) { {displaystyle ^{1}(M)}

są izomorficzne). Jeśli H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {displaystyle H ∈ C^{infty }(M ∈ ∈ R t _{t},∈ ∈ R t ),}

to dla każdego ustalonego t ∈ R t , {displaystyle t ∈ Ω 1 ( M ),}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {displaystyle dH ∈ Ω 1 ( M),}

oraz J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {{displaystyle J(dH)∈ w {text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {{displaystyle J(dH)}

jest znane jako hamiltonowskie pole wektorowe. Odpowiednie równanie różniczkowe na M {displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) { {displaystyle {x}=J(dH)(x)}

zwane jest równaniem Hamiltona. Tutaj x = x ( t ) {{displaystyle x=x(t)}

oraz J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {displaystyle J(dH)(x)∈ w T_{x}M}

jest (zależną od czasu) wartością pola wektorowego J ( d H ) {displaystyle J(dH)}

przy x ∈ M . {displaystyle x w M.}

Układ hamiltonowski może być rozumiany jako wiązka włókien E nad czasem R, przy czym włókna Et, t ∈ R, są przestrzenią położenia. Lagrangian jest więc funkcją na wiązce strumieniowej J nad E; przyjmując włóknistą transformatę Legendre’a Lagrangianu otrzymujemy funkcję na wiązce dualnej nad czasem, której włóknem w t jest przestrzeń kotangensowa T∗Et, która posiada naturalną formę symplektyczną, a ta ostatnia funkcja jest Hamiltonianem. Korespondencja między mechaniką Lagrangianu i Hamiltonianu jest osiągana dzięki tautologicznej jednej formie.

Dowolna gładka funkcja rzeczywisto-wartościowa H na rozmaitości symplektycznej może być użyta do zdefiniowania układu Hamiltonianu. Funkcja H jest znana jako „Hamiltonian” lub „funkcja energii”. Symplektyczna rozmaitość nazywana jest wtedy przestrzenią fazową. Hamiltonian indukuje specjalne pole wektorowe na rozmaitości symplektycznej, znane jako pole wektorowe Hamiltona.

Pole wektorowe Hamiltona indukuje przepływ Hamiltona na rozmaitości. Jest to jednoparametrowa rodzina przekształceń rozmaitości (parametr krzywych jest powszechnie nazywany „czasem”); innymi słowy, izotopia symplektomorfizmów, zaczynająca się od tożsamości. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że każdy symplektomorfizm zachowuje formę objętościową na przestrzeni fazowej. Zbiór symplektomorfizmów indukowanych przez przepływ hamiltonowski jest powszechnie nazywany „mechaniką hamiltonowską” układu hamiltonowskiego.

Struktura symplektyczna indukuje nawias Poissona. Nawias Poissona nadaje przestrzeni funkcji na rozmaitości strukturę algebry kłamstwa.

Jeżeli F i G są funkcjami gładkimi na M to funkcja gładka ω2(IdG, IdF) jest odpowiednio zdefiniowana; nazywamy ją nawiasem Poissona funkcji F i G i oznaczamy {F, G}. Nawias Poissona ma następujące własności:

1. bilinearność
2. antysymetria
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (reguła Leibniza)

4. { { { H , F } , G } + { { F , G } , H } + { { G , H } , F } ≡ 0 {displaystyle \{H,F},G}+{F,G},H}+{G,H},F}equiv 0}
   

   (Jacobi identity)

5. nie degeneracja: jeśli punkt x na M nie jest krytyczny dla F to istnieje gładka funkcja G taka, że { F , G } ( x ) ≠ 0 {displaystyle {{F , G }(x)≠ 0}
   

   .

Dana funkcja f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {{displaystyle {{frac {{mathrm {d} t}}f={frac {{partial }{partial t}}f + {f , H }},}

jeśli istnieje rozkład prawdopodobieństwa, ρ, to (ponieważ prędkość w przestrzeni fazowej ( p˙ i , q˙ i ) {{displaystyle ({{dot {p}}_{i},{{dot {q}}_{i})}

ma zerową dywergencję, a prawdopodobieństwo jest zachowane) można wykazać, że jej pochodna konwekcyjna jest równa zeru, a zatem ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {∂ ∂ t ρ = – { ρ , H }

Twierdzenie to nazywane jest twierdzeniem Liouville’a. Każda gładka funkcja G na rozmaitości symplektycznej generuje jednoparametrową rodzinę symplektomorfizmów i jeżeli {G, H} = 0, to G jest zachowana, a symplektomorfizmy są przekształceniami symetrii.

Hamiltonian może mieć wiele zachowanych wielkości Gi. Jeżeli symplektyczna rozmaitość ma wymiar 2n i istnieje n funkcjonalnie niezależnych wielkości konserwowanych Gi, które są w inwolucji (tzn. {Gi, Gj} = 0), to hamiltonian jest całkowalny Liouville’a. Twierdzenie Liouville’a-Arnolda mówi, że lokalnie, każdy całkowalny Hamiltonian Liouville’a może być przekształcony przez symplektomorfizm w nowy Hamiltonian z zachowanymi wielkościami Gi jako współrzędnymi; nowe współrzędne nazywamy współrzędnymi kąta działania. Przekształcony hamiltonian zależy tylko od Gi, a zatem równania ruchu mają prostą postać

G˙ i = 0 , φ˙ i = F i ( G ) {{displaystyle {{dot {G}}_{i}=0}quad ,\quad {{dot {varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

dla jakiejś funkcji F. Istnieje cała dziedzina skupiająca się na małych odchyleniach od układów całkowalnych rządzonych przez twierdzenie KAM.

Całkowitość hamiltonowskich pól wektorowych jest kwestią otwartą. W ogólności, układy Hamiltonowskie są chaotyczne; pojęcia miary, zupełności, całkowalności i stabilności są słabo zdefiniowane.

Wielokąty RiemannianinaEdit

Ważny przypadek szczególny stanowią te Hamiltoniany, które są formami kwadratowymi, tzn, Hamiltoniany, które można zapisać jako

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {{displaystyle {{mathcal {H}}(q,p)={tfrac {1}{2}}}}langle p,p}rangle _{q}}.

gdzie ⟨ , ⟩q jest płynnie zmieniającym się iloczynem wewnętrznym na włóknach T∗
qQ, przestrzeni kotangensowej do punktu q w przestrzeni konfiguracyjnej, zwanej czasem kometryczną. Hamiltonian ten składa się całkowicie z członu kinetycznego.

Jeśli rozważamy rozmaitość Riemannianina lub pseudo-Riemannianina, metryka Riemannianina indukuje liniowy izomorfizm pomiędzy wiązkami styczną i styczną. (Patrz izomorfizm muzyczny). Używając tego izomorfizmu, można zdefiniować kometrykę. (We współrzędnych, macierz definiująca kometrykę jest odwrotnością macierzy definiującej metrykę). Rozwiązania równań Hamiltona-Jacobiego dla tego Hamiltonianu są wtedy takie same jak geody na rozmaitości. W szczególności, przepływ Hamiltonowski w tym przypadku jest tym samym, co przepływ geodezyjny. Istnienie takich rozwiązań, oraz kompletność zbioru rozwiązań, są szczegółowo omówione w artykule o geodezjach. Zobacz też Geodesics as Hamiltonian flows.

Manifesty sub-RiemannianoweEdit

Gdy kometria jest zdegenerowana, wtedy nie jest odwracalna. W tym przypadku nie mamy do czynienia z rozmaitością Riemannianina, ponieważ nie mamy metryki. Hamiltonian jednak nadal istnieje. W przypadku, gdy kometria jest zdegenerowana w każdym punkcie q rozmaitości przestrzeni konfiguracyjnej Q, tak że stopień kometrii jest mniejszy niż wymiar rozmaitości Q, mamy rozmaitość sub-Riemannianina.

Hamiltonian w tym przypadku jest znany jako Hamiltonian sub-Riemannianina. Każdy taki Hamiltonian jednoznacznie określa kometr, i na odwrót. Wynika z tego, że każda pod-Riemannianin jest jednoznacznie określona przez swój pod-Riemannianin Hamiltonian i odwrotnie: każda pod-Riemannianin ma unikalny pod-Riemannian Hamiltonian. Istnienie geodezyjnych pod-Riemannian jest dane przez twierdzenie Chow-Rashevskiego.

Ciągłe, realnie wartościowe grupy Heisenberga dostarczają prostego przykładu pod-Riemannianowej rozmaitości. Dla grupy Heisenberga, hamiltonian jest dany przez

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {{displaystyle {{mathcal {H}}}left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}}}right)={tfrac {1}{2}}}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}right)}

pz nie jest zaangażowany w hamiltonian.

Algebry PoissonaEdit

Systemy hamiltonowskie mogą być uogólnione na różne sposoby. Zamiast po prostu patrzeć na algebrę gładkich funkcji na symplektycznej rozmaitości, mechanika hamiltonowska może być sformułowana na ogólnych komutatywnych jednowartościowych rzeczywistych algebrach Poissona. Stan jest ciągłą funkcją liniową na algebrze Poissona (wyposażonej w odpowiednią topologię) taką, że dla dowolnego elementu A algebry, A2 odwzorowuje się na nieujemną liczbę rzeczywistą.

Dalszym uogólnieniem jest dynamika Nambu.

Uogólnienie do mechaniki kwantowej przez nawias PoissonaEdit

Powyższe równania Hamiltona działają dobrze w mechanice klasycznej, ale nie w mechanice kwantowej, ponieważ omawiane równania różniczkowe zakładają, że można określić dokładne położenie i pęd cząstki jednocześnie w dowolnym punkcie czasu. Równania te mogą być jednak dalej uogólnione, tak by można je było zastosować zarówno do mechaniki kwantowej, jak i klasycznej, poprzez deformację algebry Poissona nad p i q do algebry nawiasów Moyala.

W szczególności, bardziej ogólna postać równania Hamiltona brzmi

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {{displaystyle {{frac {{mathrm {d} f}{{mathrm {d} t}}={f,{{mathcal {H}}}}+{frac {{partial f}{{partial t}}}

gdzie f jest pewną funkcją p i q, a H jest hamiltonianem. Reguły obliczania nawiasu Poissona bez uciekania się do równań różniczkowych można znaleźć w algebrze kłamstwa; nawias Poissona to nazwa nawiasu Lie w algebrze Poissona. Te nawiasy Poissona mogą być następnie rozszerzone na nawiasy Moyala zgodne z nierównoważną algebrą Lie, jak udowodnił Hilbrand J. Groenewold, i w ten sposób opisać kwantową mechaniczną dyfuzję w przestrzeni fazowej (Zobacz sformułowanie przestrzeni fazowej i transformacja Wignera-Weylla). To bardziej algebraiczne podejście nie tylko pozwala na ostateczne rozszerzenie rozkładów prawdopodobieństwa w przestrzeni fazowej do quasi-rozkładów prawdopodobieństwa Wignera, ale także, przy zwykłym klasycznym ustawieniu nawiasu Poissona, daje większe możliwości w pomocy w analizie odpowiednich zachowanych wielkości w układzie.

.