W tym artykule dowiesz się o Permutation and Combination problems: Definicja, wzory, rozwiązane przykłady oraz quiz z pytaniami praktycznymi.

Permutacje

Definicja

Permutacje to różne sposoby, na jakie można ułożyć zbiór elementów.

Na przykład:

Różne sposoby, w jakie alfabety A, B i C mogą być zgrupowane razem, wzięte wszystkie na raz, to ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Zauważ, że ABC i CBA nie są takie same, ponieważ kolejność ułożenia jest inna. Ta sama zasada obowiązuje podczas rozwiązywania dowolnego problemu w Permutations.

Liczba sposobów, na jakie można ułożyć n rzeczy, biorąc wszystkie na raz, nPn = n!

Faktoriał

Faktoriał liczby n jest zdefiniowany jako iloczyn wszystkich liczb od n do 1.

Na przykład, faktoriał 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Więc liczba sposobów, na jakie można ułożyć 3 litery, biorąc wszystko na raz, wynosi 3! = 3*2*1 = 6 sposobów.

Liczba permutacji n rzeczy, branych r na raz, oznaczana przez:

nPr = n! / (n-r)!

Na przykład:

Różne sposoby, na jakie można ułożyć 3 litery, biorąc po 2 na raz, to 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 sposobów.

Ważne wzory na permutacje

1! = 1

0! = 1
Przyjrzyjrzyjmy się kilku przykładom:

Zagadnienie 1: Znajdź liczbę słów, ze znaczeniem lub bez znaczenia, które można utworzyć z liter słowa „CHAIR”.

Rozwiązanie:

’CHAIR’ zawiera 5 liter.

Więc, liczba słów, które można utworzyć z tych 5 liter = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Zadanie 2: Znajdź liczbę słów, ze znaczeniem lub bez, które można utworzyć z liter słowa 'INDIA’.

Rozwiązanie:

Słowo „INDIA” zawiera 5 liter, a litera „I” występuje dwa razy.

Gdy litera występuje więcej niż raz w słowie, dzielimy czynnik liczby wszystkich liter w słowie przez liczbę wystąpień każdej litery.

Więc liczba słów utworzonych przez słowo 'INDIA’ = 5!/2! = 60.

Problem 3: Znajdź liczbę słów, ze znaczeniem lub bez znaczenia, które można utworzyć z liter słowa 'SWIMMING?

Rozwiązanie:

Słowo 'SWIMMING’ zawiera 8 liter. W tym I występuje dwa razy i M występuje dwa razy.

Więc liczba słów utworzonych przez to słowo = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problem 4: Ile różnych słów można utworzyć z liter słowa „SUPER” tak, że samogłoski zawsze występują razem?

Rozwiązanie:

Słowo „SUPER” zawiera 5 liter.

W celu znalezienia liczby permutacji, które mogą być utworzone, gdzie dwie samogłoski U i E występują razem.

W tych przypadkach, grupujemy litery, które powinny wystąpić razem i traktujemy tę grupę jako jedną literę.

Więc, litery są S,P,R, (UE). Teraz liczba słów wynosi 4.

Więc liczba sposobów, na jakie można ułożyć 4 litery wynosi 4!

W U i E liczba sposobów, na jakie można ułożyć U i E wynosi 2!

Więc całkowita liczba sposobów, na jakie można ułożyć litery 'SUPER’ tak, aby samogłoski były zawsze razem wynosi 4! * 2! = 48 sposobów.

Problem 5: Znajdź liczbę różnych słów, które można utworzyć z liter słowa „MASŁO” tak, że samogłoski są zawsze razem.

Rozwiązanie:

Słowo „MASŁO” zawiera 6 liter.

Listy U i E powinny zawsze występować razem. Zatem litery to B, T, T, R, (UE).

Liczba sposobów, na jakie można ułożyć powyższe litery = 5!/2! = 60 (ponieważ litera 'T’ powtarza się dwa razy).

Liczba sposobów, na jakie można ułożyć litery U i E = 2! = 2 sposoby

Więc całkowita liczba możliwych permutacji = 60*2 = 120 sposobów.
Zadanie 6: Znaleźć liczbę permutacji liter słowa 'PAMIĘĆ’ takich, że samogłoski zawsze występują w miejscach nieparzystych.

Rozwiązanie:

Słowo 'REMAINS’ ma 7 liter.

Są w nim 4 spółgłoski i 3 samogłoski.

Pisanie w następujący sposób ułatwia rozwiązywanie tego typu pytań.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

No. of ways 3 vowels can occur in 4 different places = 4P3 = 24 ways.

After 3 vowels take 3 places, no. of ways 4 consonants can take 4 places = 4P4 = 4! = 24 sposoby.

Więc, całkowita liczba możliwych permutacji = 24*24 = 576 sposobów.

Kombinacje Definicja Różne wybory możliwe ze zbioru elementów nazywamy kombinacjami.

Na przykład:

Różne możliwe wybory z alfabetów A, B, C, wzięte po 2 na raz, to AB, BC i CA.

Nie ma znaczenia, czy wybierzemy A po B, czy B po A. Kolejność wyboru nie ma znaczenia w kombinacjach.

Aby znaleźć liczbę kombinacji możliwych z danej grupy elementów n, branych r naraz, wzór, oznaczany przez nCr jest

nCr = n! /

Na przykład, weryfikując powyższy przykład, różne wybory możliwe z alfabetów A, B, C, biorąc dwa na raz są

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 możliwe wybory (tj, AB, BC, CA)

Ważne wzory na kombinację

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Liczba możliwych wyborów przy A, B, C, wziętych wszystkie naraz wynosi 3C3 = 1 (tj. ABC)

Rozwiązane przykłady Kombinacji

Przyjrzyjrzyjmy się kilku przykładom, aby zrozumieć jak działają Kombinacje:

Problem 1: Na ile sposobów można utworzyć komitet składający się z 1 mężczyzny i 3 kobiet z grupy 3 mężczyzn i 4 kobiet?

Rozwiązanie:

Liczba sposobów, na jakie można wybrać 1 mężczyznę z grupy 3 mężczyzn = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 sposoby.

No. of ways 3 women can be selected from a group of 4 women = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 sposoby.

Zadanie 2: Spośród zbioru 5 kul czarnych i 3 kul czerwonych, ile można wybrać 5 kul takich, że co najmniej 3 z nich są kulami czarnymi.

Rozwiązanie:

Wybierając co najmniej 3 czarne piłki ze zbioru 5 czarnych piłek w całkowitym wyborze 5 piłek można

3 B i 2 R

4 B i 1 R oraz

5 B i 0 R.

Wobec tego, nasze wyrażenie rozwiązania wygląda tak.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 sposobów .

Zagadnienie 3: Ile liczb czterocyfrowych podzielnych przez 10 można utworzyć z cyfr 3, 5, 7, 8, 9, 0 w taki sposób, że żadna z nich się nie powtarza?

Rozwiązanie:

Jeśli liczba jest podzielna przez 10, to w jej jednostkach powinno znajdować się 0.
_ _ _ 0

Po umieszczeniu 0 na miejscu jednostek, miejsce dziesiątek może być wypełnione dowolnymi z pozostałych 5 cyfr.

Wybieranie jednej cyfry z 5 cyfr można wykonać na 5C1 = 5 sposobów.

Po wypełnieniu miejsca dziesiątek pozostały nam 4 cyfry. Wybieranie 1 cyfry z 4 cyfr można wykonać na 4C1 = 4 sposoby.

Po wypełnieniu miejsca setek, miejsce tysięcy można wypełnić na 3C1 = 3 sposoby.

Więc, całkowita liczba możliwych kombinacji = 5*4*3 = 60.

Permutacje i kombinacje Quiz

Spróbuj poniższych problemów ćwiczeniowych.