Według wszelkich rachunków Marilyn vos Savant była cudownym dzieckiem.

Mimo statusu „najmądrzejszej kobiety świata”, vos Savant utrzymywała, że próby pomiaru inteligencji są „bezużyteczne” i odrzucała testy IQ jako niewiarygodne. W połowie lat 80-tych, mając wolną rękę w wyborze ścieżki kariery, spakowała walizki i przeniosła się do Nowego Jorku, aby zostać pisarką.

Tutaj złapała przełom: kiedy Parade Magazine napisał o niej profil, czytelnicy odpowiedzieli tak wieloma listami, że publikacja zaoferowała jej pracę w pełnym wymiarze godzin. Wkrótce potem założyła „Zapytaj Marilyn”, słynną już cotygodniową kolumnę, w której odpowiadała (i odpowiada do dziś) na różne pytania akademickie i zagadki logiczne. To właśnie w jednej z tych kolumn vos Savant rozpaliła jedną z najbardziej gorących bitew statystycznych XXI wieku.

Gdy vos Savant grzecznie odpowiedziała na zapytanie czytelnika dotyczące problemu Monty’ego Halla, stosunkowo mało znanej wówczas zagadki prawdopodobieństwa, nigdy nie mogła sobie wyobrazić, co się stanie: mimo że jej odpowiedź była poprawna, otrzymała ponad 10 000 listów, wiele od znanych naukowców i doktorów, informujących ją, że nie odpowiedziała na problem Monty’ego Halla.Ds, informujące ją, że jest idiotką z jasnym umysłem.

To co nastąpiło dla vos Savant było koszmarną podróżą, pełną wyzwisk, założeń opartych na płci i prześladowań akademickich.

The Monty Hall Problem: A Brief History

Wyobraź sobie, że jesteś w telewizyjnym teleturnieju i gospodarz przedstawia ci troje zamkniętych drzwi. Za jednymi z nich siedzi lśniący, nowiutki Lincoln Continental, a za dwoma pozostałymi stare, śmierdzące kozy. Gospodarz prosi Cię, abyś wybrał drzwi, a Ty wybierasz drzwi nr 1. Następnie, gospodarz, który jest świadomy tego, co dzieje się za kulisami, otwiera drzwi nr 3, odsłaniając jedną z kóz.

„Teraz”, mówi, odwracając się w twoją stronę, „chcesz zatrzymać drzwi nr 1, czy chcesz przełączyć się na drzwi nr 2?”

Statystycznie, który wybór daje ci samochód: utrzymanie oryginalnych drzwi, czy przełączenie? Jeśli, jak większość ludzi, twierdzisz, że twoje szanse są 50-50, jesteś w błędzie — chyba że, oczywiście, lubisz kozy tak bardzo jak lubisz nowe samochody, w tym przypadku wygrasz 100% czasu.

Luźno oparty na słynnym teleturnieju telewizyjnym Let’s Make a Deal, scenariusz przedstawiony powyżej, lepiej znany jako „Problem Monty’ego Halla”, jest dość znanym pytaniem o prawdopodobieństwo. Pomimo jego zwodniczej prostoty, niektóre z najbystrzejszych umysłów na świecie – profesorowie MIT, znani matematycy i stypendystki nagrody MacArthura „Genius” – miały problemy ze zrozumieniem odpowiedzi na to pytanie. Przez dziesięciolecia wywoływał on intensywne dyskusje w klasach i salach wykładowych.

Historycznie, problem Monty’ego Halla był poprzedzony kilkoma bardzo podobnymi zagadkami.

W paradoksie pudełkowym Josepha Bertranda (1889), prezentowane są trzy pudełka – jedno zawierające dwie złote monety, jedno zawierające dwie srebrne monety i ostatnie zawierające po jednej z każdego rodzaju. Zakładając, że uczestnik wylosuje jedną złotą monetę z pudełka, problem pyta, jakie jest prawdopodobieństwo, że druga moneta w tym pudełku jest złota. Bertrand, który doszedł do wniosku, że prawdopodobieństwo wynosi ⅔, został pochwalony za swoją umiejętność patrzenia poza oczywistość.

Druga iteracja tego paradoksu, Three Prisoners Problem (1959), przedstawia statystycznie identyczny scenariusz, z tym samym wynikiem. „Cudownie zagmatwany mały problem” – napisał później jego twórca, felietonista Scientific American Martin Gardner. „W żadnej innej gałęzi matematyki ekspertom nie jest tak łatwo popełnić błąd, jak w teorii prawdopodobieństwa.”

Po raz pierwszy przedstawiony w liście do redaktora The American Statistician w 1975 roku, Problem Monty’ego Halla był również kontrintuicyjny. W liście tym Steve Selvin, profesor Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley, przedstawił sytuację opisaną we wstępie do tego artykułu i stwierdził, że zamiana drzwi daje ⅔ szansy na wygranie samochodu, podczas gdy zachowanie oryginalnych drzwi skutkuje wygraną tylko przez ⅓ czasu.

W ciągu następnej dekady lub tak, Monty Hall Problem dokonał kilka wystąpień, po raz pierwszy w Journal of Economics Perspectives puzzle przez Barry Nalebuff, a następnie w 1989 numerze Bridge Today, przez Phillip Martin. Logika żadnego z nich nie została obalona, a problem wzbudził stosunkowo niewielkie zainteresowanie.

Wtedy, po 15 latach bez incydentów, Problem Monty’ego Halla został wskrzeszony przez Marilyn vos Savant — i rozpętała się absolutna burza gówna.

Debacle Marilyn vos Savant

We wrześniu 1990, Marilyn vos Savant poświęciła jedną ze swoich kolumn na pytanie czytelnika, które przedstawiało odmianę Problemu Monty’ego Halla:

„Załóżmy, że bierzesz udział w teleturnieju i masz do wyboru troje drzwi. Za jednymi drzwiami jest samochód, za innymi kozy. Wybierasz drzwi, powiedzmy #1, a prowadzący, który wie co jest za drzwiami, otwiera kolejne drzwi, powiedzmy #3, za którymi jest koza. Mówi do ciebie: „Czy chcesz wybrać drzwi nr 2?”. Czy jest to na twoją korzyść, aby przełączyć swój wybór drzwi?”

„Tak; powinieneś przełączyć,” odpowiedziała. „Pierwsze drzwi mają 1/3 szansy na wygraną, ale drugie drzwi mają 2/3 szansy.”

Chociaż jej odpowiedź była poprawna, ogromna część naukowców zareagowała oburzeniem. W ciągu następnych miesięcy, vos Savant otrzymała ponad 10,000 listów — w tym parę od Zastępcy Dyrektora Centrum Informacji Obronnej i Badawczego Statystyka Matematycznego z Narodowego Instytutu Zdrowia — wszystkie z nich utrzymywały, że była całkowicie niekompetentna:

Spieprzyłaś to, i to bardzo! Ponieważ wydaje się, że masz problem ze zrozumieniem podstawowej zasady działania, wyjaśnię ci to. Po tym, jak gospodarz ujawni kozę, masz jedną szansę na dwie, aby być poprawnym. Niezależnie od tego, czy zmienisz swój wybór, czy nie, szanse są takie same. Jest wystarczająco dużo matematycznego analfabetyzmu w tym kraju i nie potrzebujemy, aby najwyższe IQ na świecie propagowało więcej. Wstyd!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Mogę zasugerować, abyś otrzymał i odniósł się do standardowego podręcznika prawdopodobieństwa, zanim ponownie spróbujesz odpowiedzieć na pytanie tego typu?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Jestem pewien, że otrzymasz wiele listów na ten temat od uczniów szkół średnich i studentów. Być może powinieneś zachować kilka adresów, aby pomóc w przyszłych kolumnach.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Jest Pan całkowicie niepoprawny w kwestii pytania z teleturnieju i mam nadzieję, że ta kontrowersja zwróci uwagę opinii publicznej na poważny krajowy kryzys w edukacji matematycznej. Jeśli potrafi Pan przyznać się do błędu, przyczyni się Pan konstruktywnie do rozwiązania tej godnej pożałowania sytuacji. Ilu rozzłoszczonych matematyków potrzeba, by skłonić Pana do zmiany zdania?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Popełniłeś błąd, ale spójrz na pozytywną stronę. Gdyby wszyscy ci doktorzy się mylili, kraj byłby w bardzo poważnych tarapatach.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Jesteś kozłem!
Glenn Calkins
Western State College

Może kobiety patrzą na problemy matematyczne inaczej niż mężczyźni.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Oburzenie było tak wielkie, że vos Savant została zmuszona do poświęcenia trzech kolejnych kolumn na wyjaśnienie, dlaczego jej logika była poprawna. Nawet po udzieleniu dobrze sformułowanych, jasnych odpowiedzi, nadal była krytykowana. „Nadal uważam, że się mylisz” – napisał jeden z mężczyzn prawie rok później. „Istnieje coś takiego jak kobieca logika.”

Ale liczby stojące za wnioskiem vos Savant nie kłamią.

Odrzucenie problemu Monty Hall

Ponieważ dwoje drzwi (jedne zawierające samochód, a drugie kozę) pozostają po otwarciu przez gospodarza drzwi nr 3, większość założyłaby, że prawdopodobieństwo wyboru samochodu wynosi ½. Tak jednak nie jest.

„Szanse na wygraną 1/3 przy pierwszym wyborze nie mogą wzrosnąć do 1/2 tylko dlatego, że gospodarz otwiera przegrywające drzwi”, pisze vos Savant. Faktycznie, jeśli zaplanujesz sześć gier badając wszystkie możliwe wyniki, staje się jasne, że zamiana drzwi skutkuje wygraną w dwóch trzecich przypadków (66.6%), a zachowanie oryginalnych drzwi skutkuje wygraną tylko w jednej trzeciej przypadków (33.3%):

Innym sposobem na przyjrzenie się temu jest rozbicie każdej możliwości zamiany drzwi. Jak pokazaliśmy poniżej, 6 z 9 możliwych scenariuszy (dwie trzecie) prowadzi do wygrania samochodu:

Te wyniki wydają się być sprzeczne z naszymi intuicyjnymi impulsami statystycznymi — dlaczego więc przełączanie drzwi zwiększa nasze szanse na wygraną?

Krótka odpowiedź brzmi: Twoje początkowe szanse na wygraną przy drzwiach #1 (⅓) nie zmieniają się tylko dlatego, że gospodarz ujawnia kozę za drzwiami #3; zamiast tego, działanie Halla zwiększa szanse do ⅔, że wygrasz zmieniając drzwi.

Jest inny sposób, aby to sobie wyobrazić. Wyobraź sobie, że zamiast trzech drzwi Monty Hall przedstawia Ci 100 drzwi; za 99 z nich są kozy, a za jednymi z nich jest samochód. Wybierasz drzwi nr 1, a Twoje początkowe szanse na wygranie samochodu wynoszą teraz 1/100:

Następnie załóżmy, że Monty Hall otwiera 98 pozostałych drzwi, odsłaniając kozę za każdymi z nich. Teraz masz dwa wyjścia: zachować drzwi #1, lub przejść do drzwi #100:

Gdy wybierzesz drzwi #1, jest 99/100 szans, że samochód jest za jednymi z pozostałych drzwi. Fakt, że Monty Hall ujawnia 98 kóz nie zmienia tych początkowych szans — to tylko „przesuwa” tę szansę 99/100 na drzwi nr 100. Możesz albo pozostać przy swoim początkowym kursie 1/100, albo zmienić drzwi na drzwi nr 100, z dużo większym prawdopodobieństwem wygrania samochodu.

Ciągle, podczas gdy matematyka i liczby wspierają twierdzenie Vos Savant — że szanse na wygraną wzrastają do ⅔ kiedy zmieniasz drzwi — trzeba wziąć pod uwagę inne czynniki, których nie poruszyła w swojej odpowiedzi.

Psychologia racjonalizacji

Monty Hall, gospodarz programu 'Let’s Make a Deal’

W 1992 roku, podczas gdy kontrowersje wokół odpowiedzi vos Savant narastały, Monty Hall — gospodarz teleturnieju i imiennik problemu — usiadł do wywiadu z New York Times.

Hall wyjaśnił, że rzeczy działały nieco inaczej niż scenariusz przedstawiony przez czytelnika Parade w kolumnie vos Savanta. W prawdziwym show, na przykład, zachował uprawnienia do zaoferowania zawodnikowi gotówki NIE do przełączenia. Szczegóły takie jak ten, powiedział, zmieniały nastawienie zawodnika:

„, myśleli, że szanse na ich drzwi wzrosły do 1 na 2, więc nienawidzili rezygnować z drzwi bez względu na to, ile pieniędzy oferowałem…Im wyżej się dostałem, tym więcej myślałem, że samochód był z tyłu. Chciałem przekręcić się do przełączania tam. To jest rodzaj rzeczy, które mogę zrobić, gdy mam kontrolę nad grą. Możesz myśleć, że masz prawdopodobieństwo idące za tobą, kiedy podążasz za odpowiedzią w jej kolumnie, ale jest czynnik psychologiczny do rozważenia.”

„Czynnik psychologiczny”, o którym wspomina Hall, przenosi się z zasad programu do odmiany problemu, który przedstawiliśmy w tym artykule. Dla uczestników i osób rozwiązujących problemy, Problem Monty’ego Halla powoduje dysonans poznawczy, termin używany przez psychologów do opisania „stresu psychicznego doświadczanego przez osobę, która posiada dwa lub więcej sprzecznych przekonań, pomysłów lub wartości w tym samym czasie, lub jest konfrontowana z nowymi informacjami, które są sprzeczne z istniejącymi przekonaniami, pomysłami lub wartościami”.

Kiedy ludzie są konfrontowani z dowodami, które są „niezgodne z ich przekonaniami” (np. szanse na wygraną przez zmianę drzwi są ⅔, zamiast ½), najpierw reagują obalając informacje, a następnie łączą się w grupy z podobnie myślącymi dysydentami i bronią swojej własnej, twardo ustalonej opinii. To jest dokładnie mentalność tysięcy naysayerów vos Savanta.

***

Ponad 25 lat później, spory na temat semantyki problemu Monty Halla i odpowiedzi vos Savanta wciąż trwają — głównie koncentrując się wokół zawiłości działań gospodarza.

„Nasze mózgi po prostu nie są przystosowane do rozwiązywania problemów prawdopodobieństwa bardzo dobrze, więc nie jestem zaskoczony, że były błędy,” Stanford stats profesor Persi Diaconis powiedział reporterowi, lata temu. „W końcu jednak wielu z tych, którzy napisali, aby poprawić matematykę vos Savant’a wycofało się i przyznało, że byli w błędzie.

Ćwiczenie zaproponowane przez vos Savant’a, aby lepiej zrozumieć problem zostało wkrótce zintegrowane w tysiącach sal lekcyjnych w całym kraju. Zbudowano modele komputerowe, które potwierdziły jej logikę, a poparcie dla jej intelektu zostało stopniowo przywrócone. Podczas gdy tylko 8% czytelników wcześniej wierzyło, że jej logika jest prawdziwa, liczba ta wzrosła do 56% do końca 1992 roku, pisze vos Savant; wśród naukowców, 35% początkowego poparcia wzrosło do 71%.

Wśród nowych wyznawców był Robert Sachs, profesor matematyki na George Mason University, który początkowo napisał nieprzyjemny list do vos Savant, mówiąc jej, że „spieprzyła sprawę” i oferując pomoc w „wyjaśnieniu”. Po uświadomieniu sobie, że w rzeczywistości był w błędzie, poczuł się zmuszony do wysłania jej kolejnego listu – tym razem, żałując swojej samowoli.

„Po usunięciu mojej stopy z moich ust, teraz jem pokorne ciasto”, napisał. „Ślubowałem jako pokutę odpowiedzieć wszystkim ludziom, którzy pisali, aby mnie kastrować. To było intensywne zawodowe zażenowanie.”

Priceonomics napisał dwie książki. Jedna jest dla sceptyków, druga dla optymistów. Wybierz swoją przygodę → Everything is Bullshit lub Hipster Business Models.

Aby otrzymywać okazjonalne powiadomienia, gdy piszemy posty na blogu, zapisz się na naszą listę e-mailową. Ten post został pierwotnie opublikowany 19 lutego 2015.

.