Como Desenvolver um Conjunto de Mentes para Matemática - BetterExplained

Matemática usa regras inventadas para criar modelos e relacionamentos. Ao aprender, eu pergunto:

Que relação representa este modelo?
Que itens do mundo real partilham esta relação?
Essa relação faz sentido para mim?

São perguntas simples, mas ajudam-me a compreender novos tópicos. Se você gostou dos meus posts de matemática, este artigo cobre a minha abordagem a este assunto frequentemente mal alinhado. Muitas pessoas deixaram comentários perspicazes sobre suas lutas com matemática e recursos que as ajudaram.

Educação em Matemática

Livros de texto raramente se concentram na compreensão; a maior parte das vezes é resolver problemas com fórmulas “plug and chug”. Entristece-me que idéias bonitas tenham um tratamento tão roteado:

O Teorema de Pitágoras não é apenas sobre triângulos. É sobre a relação entre formas semelhantes, a distância entre qualquer conjunto de números, e muito mais.
e não é apenas um número. É sobre as relações fundamentais entre todas as taxas de crescimento.
O log natural não é apenas uma função inversa. É sobre a quantidade de tempo que as coisas precisam para crescer.

Elegante, “a ha!” insights devem ser o nosso foco, mas deixamos isso para os alunos tropeçarem aleatoriamente em si mesmos. Eu cheguei a um momento “a ha” depois de uma sessão infernal na faculdade; desde então, eu queria encontrar e compartilhar essas epifanias para poupar os outros da mesma dor.

Mas funciona para os dois lados — eu quero que você compartilhe insights comigo, também. Há mais compreensão, menos dor, e todos ganham.

Math Evolves Over Time

Eu considero a matemática como uma forma de pensar, e é importante ver como esse pensamento se desenvolveu em vez de apenas mostrar o resultado. Vamos tentar um exemplo.

Imagine que você é um homem das cavernas fazendo contas. Um dos primeiros problemas será como contar as coisas. Vários sistemas foram desenvolvidos ao longo do tempo:

Nenhum sistema está certo, e cada um tem vantagens:

Sistema unário: Desenha linhas na areia — tão simples quanto possível. Ótimo para manter a pontuação nos jogos; você pode adicionar a um número sem apagar e reescrever.
Numerais romanos: Unário mais avançado, com atalhos para números grandes.
Decimais: Grande realização de que os números podem usar um sistema “posicional” com lugar e zero.
Binário: Sistema posicional mais simples (dois dígitos, on vs off), então é ótimo para dispositivos mecânicos.
Notação Científica: Extremamente compacto, pode facilmente medir o tamanho e precisão de um número (1E3 vs 1.000E3).

Pensa que terminamos? De jeito nenhum. Dentro de 1000 anos teremos um sistema que faz com que os números decimais pareçam tão estranhos como os números romanos (“By George, how did they manage with such clumsy tools?”).

Números negativos não são assim tão reais

Vamos pensar um pouco mais nos números. O exemplo acima mostra que nosso sistema numérico é uma das muitas maneiras de resolver o problema da “contagem”.

Os romanos considerariam zero e frações estranhas, mas isso não significa que “nada” e “parte para o todo” não são conceitos úteis. Mas veja como cada sistema incorporou novas idéias.

Frações (1/3), decimais (.234), e números complexos (3 + 4i) são formas de expressar novas relações. Elas podem não fazer sentido agora, assim como zero não “fazia sentido” para os romanos. Precisamos de novos relacionamentos no mundo real (como dívidas) para que eles cliquem.

Even então, números negativos podem não existir na forma como pensamos, como você me convence aqui:

Você: Números negativos são uma grande ideia, mas não existem inerentemente. É uma etiqueta que aplicamos a um conceito.

Me: Claro que sim.

You: Ok, mostra-me -3 vacas.

Me: Bem, hum… assume que és um agricultor, e perdeste 3 vacas.

Tu: Ok, tu não tens vacas.

Me: Não, quero dizer, tu deste 3 vacas a um amigo.

Você: Ok, ele tem 3 vacas e tu tens zero.

Me: Não, quero dizer, ele vai devolvê-las um dia. Ele deve-te uma.

Tu: Ah. Então o número real que eu tenho (-3 ou 0) depende se eu acho que ele vai me pagar de volta. Eu não percebi que a minha opinião mudou como a contagem funcionava. No meu mundo, eu tinha zero o tempo todo.

Me: Sigh. Não é nada disso. Quando ele te dá as vacas de volta, vais de -3 a 3.

Você: Ok, então ele devolve 3 vacas e nós saltamos 6, de -3 para 3? Alguma outra aritmética nova que eu deva conhecer? Como é que são as vacas sqrt(-17)?

Me: Saiam.

Números negativos podem expressar uma relação:

Números positivos representam um excedente de vacas
Zero não representa vacas
Números negativos representam um déficit de vacas que se supõe serem pagas

Mas o número negativo “não está realmente lá” — há apenas a relação que eles representam (um excedente/défice de vacas). Criamos um modelo de “número negativo” para ajudar com a contabilidade, mesmo que você não consiga segurar -3 vacas na mão. (Eu usei propositadamente uma interpretação diferente do que significa “negativo”: é um sistema de contagem diferente, assim como os números romanos e decimais são sistemas de contagem diferentes.)

Por falar nisso, números negativos não eram aceitos por muitas pessoas, incluindo matemáticos ocidentais, até o século 1700. A idéia de um negativo era considerada “absurda”. Números negativos parecem estranhos, a menos que você possa ver como eles representam relações complexas do mundo real, como dívidas.

Por que toda a filosofia?

Eu percebi que o meu conjunto de **mindset é a chave para aprender. **Ajudou-me a chegar a insights profundos, especificamente:

O conhecimento factual não é compreensão. Saber que “martelos conduzem pregos” não é o mesmo que saber que qualquer objecto duro (uma pedra, uma chave inglesa) pode conduzir um prego.
Manter uma mente aberta. Desenvolva sua intuição permitindo-se ser um iniciante novamente.

Um professor universitário foi visitar um famoso mestre Zen. Enquanto o mestre servia calmamente o chá, o professor falava sobre Zen. O mestre despejou a xícara do visitante até a borda, e depois continuou a despejar. O professor observou a chávena transbordante até que não conseguia mais se conter. “Está cheio! Não vai mais entrar!”, o professor desfocou. “Você é como este copo”, respondeu o mestre, “Como posso mostrar-lhe Zen, a menos que você primeiro esvazie o seu copo”

Seja criativo. Procure por relacionamentos estranhos. Use diagramas. Use humor. Usa analogias. Usa mnemónica. Use qualquer coisa que torne as ideias mais vívidas. As analogias não são perfeitas, mas ajudam quando se debatem com a ideia geral.
Realize você pode aprender. Esperamos que as crianças aprendam álgebra, trigonometria e cálculo que surpreenderiam os antigos gregos. E nós devemos: somos capazes de aprender tanto, se explicado corretamente. Não pare até que faça sentido, ou essa lacuna matemática vai assombrá-lo. A dureza mental é crítica — muitas vezes desistimos muito facilmente.

Então Qual é o Ponto?

Quero compartilhar o que descobri, esperando que isso ajude a aprender matemática:

A matemática cria modelos que têm certas relações
Tentamos encontrar fenômenos do mundo real que têm a mesma relação
Nossos modelos estão sempre melhorando. Pode aparecer um novo modelo que explique melhor essa relação (números romanos para o sistema decimal).

Certo, alguns modelos parecem não ter utilidade: “De que servem os números imaginários?”, perguntam muitos alunos. É uma pergunta válida, com uma resposta intuitiva.

O uso de números imaginários é limitado pela nossa imaginação e compreensão — assim como números negativos são “inúteis” a menos que você tenha a idéia de débito, números imaginários podem ser confusos porque não entendemos verdadeiramente a relação que eles representam.

Matéria fornece modelos; entenda suas relações e aplique-os a objetos do mundo real.

Desenvolver a intuição torna o aprendizado divertido — até mesmo a contabilidade não é ruim quando você entende os problemas que ela resolve. Eu quero cobrir números complexos, cálculo e outros tópicos esquivos focando em relacionamentos, não em provas e mecânica.

Mas esta é a minha experiência — como você aprende melhor? Alguns amigos escreveram a sua experiência:

Ed Latimore: Um Boxer Ensina-lhe Como Melhorar em Matemática
Scott Young: Como Ensinar-se Matemática

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