Eventos Mútuos e Não-Muitos Exclusivos
No exercício anterior, você aprendeu que você pode descobrir probabilidades difíceis fazendo uma simulação e usando a Lei dos Grandes Números. As probabilidades teóricas podem ser calculadas usando muitas estratégias diferentes, dependendo da situação.
Acontecimentos mutuamente exclusivos são eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo. Exemplos incluem: voltas à direita e esquerda, números pares e ímpares num dado, ganhar e perder um jogo, ou correr e andar.
Eventos não-mutuamente exclusivos são eventos que podem acontecer ao mesmo tempo. Exemplos incluem: dirigir e ouvir rádio, números pares e números primos em um dado, perder um jogo e marcar, ou correr e suar.
Eventos não-mutuamente exclusivos podem tornar o cálculo de probabilidade mais complexo.
Reflexão da Feira de Jogos
Jogue o jogo Single Card Flip na Feira de Jogos novamente.
Aplicando a definição de eventos mutuamente exclusivos, os diferentes resultados de pontos no jogo são mutuamente exclusivos ou não mutuamente exclusivos?
Tire algum tempo para escrever algumas ideias sobre como calcular as probabilidades.
GamesFair
Descrição longa
O problema de apenas entender a probabilidade como eventos mutuamente exclusivos é que você está simplificando esses eventos de forma que eles não são para ser simplificados. É quase tão trágico quanto dizer que as pessoas não podem fazer o bem e ganhar dinheiro, ou ser boas em matemática e muito criativas. O vídeo a seguir demonstra a importância de reconhecer os eventos como nãoutualmente exclusivos.
Venn Diagrams
Este é um diagrama Venn que mostra todas as cartas em um baralho padrão de 52 cartas. A é o conjunto de cartas não faciais.
Os diagramas de Venn são uma forma de exibir eventos e podem ser usados para exibir situações simples quando ocorre apenas um evento.
Também podem ser usados para exibir múltiplos eventos.
São particularmente úteis ao exibir eventos não exclusivos.
Nesta actividade irá usá-los para exibir 2 ou 3 eventos de cada vez para analisar a relação entre os eventos.
A Intersecção de Conjuntos
Consulte o diagrama Venn para a questão dos 50 pacientes de Minds On.
Usamos a notação 
como a “Intersecção” dos dois conjuntos, um elemento em A e B.
Neste exemplo, 
representa a sobreposição dos sintomas, ou os pacientes que têm ambos os sintomas da gripe “AND”.
Vocês conhecerão a interseção como a palavra “AND”.
Registe o seu trabalho
Foi-lhe pedido para descobrir quantas pessoas estão na categoria “AND”, a fim de calcular a probabilidade de um paciente ter ambos os sintomas. Fique descansado, só há uma maneira de o fazer.
Utilize o interativo abaixo para criar um diagrama venn para encontrar o número de pessoas que têm ambos os sintomas no exemplo.
No início da época da gripe, um médico examina 50 pacientes em dois dias. 30 têm dor de cabeça, 24 estão constipados, 12 não têm nenhum dos dois. Alguns pacientes têm ambos os sintomas. Qual é a probabilidade de um paciente aleatório ter ambos os sintomas?
VennDiagram
Descrição longa
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Em palavras |
Em Símbolos |
Em Símbolos |
|---|---|---|
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Todos os vermelhos |
n(A) = |
P(A) = |
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n(B) = |
P(B) = |
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Todos os cartões |
n(S) = |
P(S) = |
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Intersecção: Tanto o número como o vermelho |
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Só vermelho (cartões vermelhos que não são cartões numéricos) |
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>>Só número (cartões de números que não são cartões vermelhos) |
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>União: Vermelho ou Número |
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>Tudo o resto |
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= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= O Princípio da Inclusão-Exclusão
Considerar o Diagrama Venn. Se você adicionar n(A) e n(B), você conta a parte da intersecção duas vezes. Você nunca deve contar um elemento duas vezes para descobrir quantos você tem. Se você o contou duas vezes, há uma maneira fácil de corrigir isso: subtraia-o uma vez.
O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma fórmula/idea útil na determinação de probabilidades e é usado para eventos nãoutualmente exclusivos.
Pode ser escrito da seguinte forma:
ou em palavras: o número de elementos em A “OU” B é igual ao número de elementos em A mais o número de elementos em B subtrai o número de elementos em A “E” B.
Aplicar a aprendizagem
Utilizar a fórmula que representa o princípio da inclusão-exclusão para resolver o problema original:
No início da época da gripe, um médico examina 50 pacientes em dois dias. 30 têm dor de cabeça, 24 estão constipados, 12 não têm nenhum dos dois. Alguns pacientes têm os dois sintomas. Qual é a probabilidade de um paciente aleatório ter ambos os sintomas?
Mostrar seus passos na solução e explicar (definição:Tome tempo para escrever explicações para qualquer coisa que não seja óbvia ou que levou algum pensamento que de outra forma não é mostrado) sua resposta.
Solução
- 8 tem apenas uma constipação,
- 14 tem apenas uma dor de cabeça,
- 16 tem ambas.
Diagrama deenn Usando 3 Eventos
Diagramas deenn e eventos mutuamente exclusivos não são usados apenas com dois eventos diferentes. Três eventos, embora mais complicados, também podem ser usados em um Diagrama Venn. Se a estratégia apropriada for aplicada, isto pode ser feito de forma eficaz.
Exemplo
O Departamento de Serviços ao Estudante do Secundário Eastside quer contar o número de alunos da 12ª série. Eles sabem que todo aluno está cursando Matemática, Inglês ou Ciências. Eles descobriram isso:
- 64 alunos estão a tirar Matemática
- 56 alunos estão a tirar Inglês
- 82 alunos estão a tirar Ciências
- 20 alunos estão a tirar Matemática e Inglês
- 25 alunos estão a tirar Matemática e Ciências
- 21 alunos estão a tirar Inglês e Ciências
- 12 alunos estão a tirar os três cursos.
Criar um diagrama Venn de três eventos semelhante ao que se segue. Preencha cada seção do seu diagrama Venn prestando atenção para que cada aluno esteja em apenas uma categoria.
- Quantos alunos no total existem?
- Qual é a probabilidade de um aluno aleatório tomar Matemática e Ciências?
- Qual é a probabilidade de um aluno aleatório tomar Matemática ou Ciências?
- Qual é a probabilidade de um aluno tomar exatamente 2 dos 3?
Solução
- 12 os três,
- 9 em E e S mas não em M,
- 13 em M e S mas não E,
- 8 em M e E mas não S,
- 48 em apenas S,
- 27 em apenas E,
- 31 em apenas M.
Para ajuda com esta pergunta, consulte o seguinte exemplo semelhante.