Geometria dos sistemas HamiltonianosEditar

O Hamiltoniano pode induzir uma estrutura simpática em um manifold M2n liso e uniforme em várias formas diferentes, mas equivalentes, as mais conhecidas entre as quais são as seguintes:

Como um simpático fechado não degenerado 2-forma ω. De acordo com o teorema de Darboux, numa pequena vizinhança em torno de qualquer ponto em M em coordenadas locais adequadas p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\i1},{\i},cdots ,p_{n},q_{1},{\i}cdots ,q_{n}}

existe a forma simpática ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\i}displaystyle \i {\i=1}^{n}dp_{i}wedge dq_{i}}

As coordenadas locais p, q são então chamadas canónicas ou simpáticas.

>

O formulário ω {\i1}displaystyle {\i1}

permite construir um isomorfismo natural T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}

do espaço tangente T x M {\i1}displaystyle T_{x}M

e o espaço cotangente T x ∗ M . T_{{x}^{*}M.}

Isto é feito mapeando um vetor ξ ∈ T x M {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle }in T_{x}M}

para o 1 formulário ω ξ ∈ T x ∗ M , {\i}displaystyle {\i}}in T_{x}^{*}M,}

onde ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\i1}displaystyle {\i}({\i}(eta )=omega (\i ,\i},}

para um arbitrário η ∈ T x M . estilo de jogo daeta em T_{x}M.{x}

Devido à bilinearidade e não degeneração de ω , {\\i1}displaystyle {\i}mathop

e ao facto de d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\i1}displaystyle {\i}displaystyle {\i} T_{x}M=mathop {dim}} T_{x}^{*}M,}

o mapeamento ξ → ω ξ {\i}displaystyle {\i}to {\i}omega _{\i}

é de facto um isomorfismo linear. Este isomorfismo é natural na medida em que não muda com a mudança de coordenadas em M . M.{\i1}displaystyle M.{\i}

Repetindo para cada x ∈ M , {\i1}displaystyle x\i

acabamos com um isomorfismo J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\i1}displaystyle J^{-1}:{\i1}(M){\i}(M){\i}(M){\i}Omega ^{1}(M)}

entre o espaço infinito de campos vectoriais lisos e o de 1-forma lisos. Para cada f , g ∈ C ∞ ( M , R ) f,g^(M,\mathbb {R} )}

e ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\i1}displaystyle \i ,{\i}eta {\i}in {\i}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(Em termos algébricos, pode-se dizer que o C ∞ ( M , R ) C^{\i1}(M,{\i}mathbb {R} )}

-módulos Vect ( M ) {\i1}displaystyle {\i}(M)}(M)}

e Ω 1 ( M ) {\i1}displaystyle Omega ^{1}(M)}

são isomórficos). Se H ∈ C ∞ ( M × R t , R ), {\\i1}, {\i1}está no estilo H em C^{\i}(M\i1}mathbb {R},{\i}mathbb {R} ),}

então, para cada t fixo ∈ R t , dDisplaystyle dH em MAThbb _R},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\i1}displaystyle dH em Omega ^{1}(M),}

e J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . no texto (M).{Vect}(M).}

J ( d H ) {\i1}displaystyle J(dH)}

é conhecido como um campo vetorial Hamiltoniano. A respectiva equação diferencial em M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\\i1}=J(dH)(x)}

é chamada de equação de Hamilton. Aqui x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

e J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\i1}displaystyle J(dH)(x)}in T_{x}M

é o valor (dependente do tempo) do campo vetorial J ( d H ) {\i1}displaystyle J(dH)}

em x ∈ M . estilo de jogo x em M.}

Um sistema hamiltoniano pode ser entendido como um feixe de fibras E ao longo do tempo R, sendo as fibras Et, t ∈ R, o espaço de posição. O Lagrangiano é assim uma função no feixe de jato J sobre E; tomando a transformada de fibra Legendre do Lagrangiano produz uma função no feixe duplo ao longo do tempo cuja fibra em t é o espaço cotangente T∗Et, que vem equipado com uma forma simpática natural, e esta última função é a Hamiltoniana. A correspondência entre a mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana é obtida com a forma única tautológica.

Uma função H de valor real suave em um coletor simpático pode ser usada para definir um sistema Hamiltoniano. A função H é conhecida como “a função Hamiltoniana” ou “a função de energia”. O coletor simpático é então chamado de espaço de fase. O Hamiltoniano induz um campo vetorial especial no coletor simpático, conhecido como campo vetorial Hamiltoniano.

O campo vetorial Hamiltoniano induz um fluxo Hamiltoniano no coletor. Esta é uma família de um parámetro de transformações do manifold (o parâmetro das curvas é comumente chamado “o tempo”); em outras palavras, uma isotopia de simlectomorfismos, começando com a identidade. Pelo teorema de Liouville, cada simbolismo preserva a forma de volume no espaço de fase. A coleção de simlectomorfismos induzidos pelo fluxo Hamiltoniano é comumente chamada “a mecânica Hamiltoniana” do sistema Hamiltoniano.

A estrutura simpática induz um colchete de Poisson. O braquete de Poisson dá o espaço de funções no coletor a estrutura de uma álgebra de mentira.

Se F e G são funções suaves em M então a função suave ω2(IdG, IdF) é devidamente definida; é chamada de braquete de Poisson das funções F e G e é denotada {F, G}. O colchete de Poisson tem as seguintes propriedades:

1. bilinearidade
2. antissimetria
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Regra Leibniz)

4. { { H , F } , G } + { { F , G } , H } + { { G , H } , F } ≡ 0 {\an8159 (identidade Jacobi)
5. não-degeneração: se o ponto x em M não é crítico para F então existe uma função suave G tal que { F , G } ( x ) ≠ 0 {\f,G\}(x){\neq 0}
   

   .

Deu uma função f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } …ao estilo do jogo… ρ, então (desde a velocidade do espaço de fase ( p ˙ i , q ˙ i ) {\i}_{i},{\i}_dot {\i}_dot {q}}

tem divergência zero e a probabilidade é conservada) sua derivada convectiva pode ser mostrada como sendo zero e assim ∂ ∂ t ρ = – – { ρ , H } estilo de jogo, em parte parcial, em parte parcial, em parte esquerda, em parte direita, em parte esquerda, em parte esquerda, em parte direita.

Este é chamado o teorema de Liouville. Cada função suave G sobre o coletor simpático gera uma família de simbolismos de um parâmetro e se {G, H} = 0, então G é conservado e os simbolismos são transformações simétricas.

A Hamiltonian pode ter múltiplas quantidades conservadas Gi. Se o coletor simpático tem dimensão 2n e há n quantidades conservadas funcionalmente independentes Gi que estão em involução (isto é, {Gi, Gj} = 0), então o Hamiltoniano é integrável em Liouville. O teorema de Liouville-Arnold diz que, localmente, qualquer Hamiltoniano de Liouville integrável pode ser transformado através de um simbolismo em um novo Hamiltoniano com as quantidades conservadas Gi como coordenadas; as novas coordenadas são chamadas de coordenadas de ação-ângulo. O Hamiltoniano transformado depende apenas do Gi, e por isso as equações de movimento têm a forma simples

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\i} {\i}_{i}=0\quad ,{\i}quad {\i}_{i}=F_{i}(G)}

para alguma função F. Há um campo inteiro focado em pequenos desvios de sistemas integráveis governados pelo teorema KAM.

A integrabilidade dos campos vetoriais Hamiltonianos é uma questão em aberto. Em geral, os sistemas Hamiltonianos são caóticos; conceitos de medida, completude, integrabilidade e estabilidade são mal definidos.

Colectores RiemannianosEditar

Um caso especial importante consiste naqueles Hamiltonianos que são formas quadráticas, ou seja, Hamiltonians que podem ser escritos como

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\\i1}(q,p)={\i1}frac {\i}{\i1}langle p,p}rangle _{\i}}

where ⟨ , ⟩q é um produto interno com variação suave nas fibras T∗
qQ, o espaço cotangente até o ponto q no espaço de configuração, às vezes chamado de cométrico. Este Hamiltoniano consiste inteiramente do termo cinético.

Se considerarmos um manifold Riemanniano ou um pseudo-colector Riemanniano, a métrica Riemanniana induz um isomorfismo linear entre os feixes tangente e cotangente. (Ver isomorfismo musical). Usando este isomorfismo, pode-se definir um cometricismo. (Em coordenadas, a matriz que define a cometria é o inverso da matriz que define a métrica). As soluções para as equações Hamilton-Jacobi para este Hamiltoniano são então as mesmas que as geodésicas no manifold. Em particular, o fluxo Hamiltoniano neste caso é a mesma coisa que o fluxo geodésico. A existência de tais soluções, e a completude do conjunto de soluções, são discutidas em detalhe no artigo sobre geodésia. Veja também Geodésia como fluxos Hamiltonianos.

Colectores Sub-RiemannianosEditar

Quando a cométrica é degenerada, então não é invertível. Neste caso, não se tem um coletor Riemanniano, pois não se tem uma métrica. No entanto, o Hamiltoniano ainda existe. No caso em que o cométrico é degenerado em cada ponto q do espaço de configuração do manifold Q, de modo que a classificação do cométrico é menor que a dimensão do manifold Q, tem-se um manifold sub-riemanniano.

O Hamiltoniano neste caso é conhecido como um sub-riemanniano Hamiltoniano. Cada Hamiltoniano determina de forma única a cometria, e vice-versa. Isto implica que cada sub-Riemanniano múltiplo é exclusivamente determinado pelo seu sub-Riemanniano Hamiltoniano, e que o inverso é verdadeiro: cada sub-Riemanniano múltiplo tem um único sub-Riemanniano Hamiltoniano. A existência da geodésia sub-riemanniana é dada pelo teorema de Chow-Rashevskii.

O contínuo, valor real do grupo Heisenberg fornece um exemplo simples de um manifold sub-riemanniano. Para o grupo Heisenberg, o Hamiltoniano é dado por

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\i1}displaystyle {\i}{\i1}left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}{z}right)={\i1}frac {\i}{2}{\i}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}right)}

pz não está envolvido no Hamiltonian.

Poisson algebrasEdit

Sistemas Hamiltonianos podem ser generalizados de várias maneiras. Ao invés de simplesmente olhar para a álgebra de funções suaves sobre um coletor simpático, a mecânica Hamiltoniana pode ser formulada sobre a comutativa geral das algebras unitais reais de Poisson. Um estado é uma função linear contínua na álgebra Poisson (equipada com alguma topologia adequada) de tal forma que para qualquer elemento A da álgebra, A2 mapeia para um número real não negativo.

Uma generalização adicional é dada pela dinâmica Nambu.

Generalização à mecânica quântica através de Poisson bracketEdit

As equações de Hamilton acima funcionam bem para a mecânica clássica, mas não para a mecânica quântica, já que as equações diferenciais discutidas assumem que se pode especificar a posição exata e o momento da partícula simultaneamente em qualquer ponto do tempo. Entretanto, as equações podem ser ainda mais generalizadas para depois serem estendidas para aplicar à mecânica quântica, bem como à mecânica clássica, através da deformação da álgebra de Poisson sobre p e q para a álgebra dos braquetes de Moyal.

Especificamente, a forma mais geral da equação de Hamilton lê-se

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t estilo de jogo fracm fracm fracm fracm fracm t

onde f é alguma função de p e q, e H é o Hamiltoniano. Para descobrir as regras para avaliar um colchete de Poisson sem recorrer a equações diferenciais, veja Álgebra de mentira; um colchete de Poisson é o nome para o colchete de mentira em uma álgebra de Poisson. Esses braquetes de Poisson podem então ser estendidos para braquetes Moyal, comportando uma álgebra de mentira não equivalente, como provado por Hilbrand J. Groenewold, e assim descrever a difusão mecânica quântica no espaço de fase (Veja a formulação do espaço de fase e a transformação Wigner-Weyl). Esta abordagem mais algébrica não só permite estender as distribuições de probabilidade no espaço de fase para as distribuições de quase-probabilidade de Wigner, mas, no mero ajuste clássico do braquete de Poisson, também fornece mais potência para ajudar a analisar as quantidades conservadas relevantes em um sistema.