A poucos meses atrás, eu fui a uma sessão criativa de origami na hora do almoço organizada por algumas pessoas adoráveis em $WORK. Eu tinha feito origami um pouco quando era mais jovem, mas na maioria das vezes só rãs e grous, que desde então me ajudaram enquanto estava fora as horas em que invadia os exames. No entanto, nesta sessão à hora do almoço, foi-me mostrado como fazer origami modular. Isto envolve fazer muitas peças de origami (geralmente bastante simples), e depois encaixá-las para fazer estruturas maiores.

I fui para casa com uma simples bola Sonobe de 12 unidades naquela tarde e fiquei muito satisfeito comigo.

O origami modular de nível energético: a bola Sonobe de 12 unidades. Matematicamente, é um octaedro acumulado; praticamente, são 12 folhas de papel quadrado e cerca de 1 hora do seu tempo.

A partir daí, as coisas aumentaram bastante.

Entre a execução de algumas dessas sessões de almoço agora, e sendo perguntado em várias ocasiões no Twitter sobre como eu faço as coisas bonitas que eu continuo twittando, eu pensei que seria útil montar um guia rápido (ou um link-farm, pelo menos)..

As unidades de sonobe são muito fáceis de dobrar, bastante indulgentes, e podem ser usadas para fazer um cubo (6 unidades), um octaedro acumulado (12 unidades), um icosaedro acumulado (30), e um icosaedro truncado (90, basicamente uma bola de futebol). São uma boa introdução aos princípios gerais:

Família Sonobe: 90, 30, 12, 6 e 3 unidades. A de 3 unidades é uma bipirâmide trigonal, mas mal conta! Todas estas foram feitas com a unidade ligeiramente modificada mencionada abaixo. As 90 unidades uma é a maior Sonobe que realmente vale a pena fazer IMHO: cerca de 3 horas de trabalho

A bola de 30 unidades tem as simetrias de um icosaedro (ou dodecaedro). Uma vez que você aprendeu como construir esse objeto nos módulos Sonobe, você essencialmente aprendeu como construir qualquer bola de origami modular de 30 unidades: elas envolvem principalmente o encaixe de 30 unidades de borda em grupos de três para formar as 12 faces pentagonais de um dodecaedro (ou equivalente/alternativamente, encaixando-as em grupos de cinco para formar as 20 faces triangulares de um icosaedro – a diferença é principalmente de perspectiva).

Cumulado icosaedro feito de unidades Sonobe: 30 folhas de papel, e – se você tem o pendurar da bola de 12 unidades – ainda apenas 1 hora do seu tempo

Existem muitas variações na unidade Sonobe que você pode (re)inventar, adicionando dobras que expõem o outro lado do papel, ou que tornam as abas mais estreitas do que os bolsos, dando uma aparência mais intrincada.

Icosaedro cumulativo feito de unidades Sonobe ligeiramente modificadas

Embora a estrutura das 90 unidades seja bastante estável, a próxima unidade acima (270 unidades) tende a ficar flácida sob o seu próprio peso ao longo do tempo, mas por essa altura sentiu-se como um direito de passagem para fazer uma.

9 horas de construção, mais algum planeamento. Isto utiliza papel duo, que é colorido em ambos os lados, e uma unidade Sonobe modificada que tem uma dobra invertida para expor o outro lado do papel em cada módulo.

As unidades Sonobe também podem ser montadas de dentro para fora para fazer poliedros acumulados interiormente…

A montagem das últimas unidades na esfera invertida (esquerda) é complicada.

…e também podem ser montadas em pares e depois montadas num pentakis dodecahedron…

Pentakis dodecahedron, com uma unidade Sonobe invertida que mostra o outro lado do papel.

…e outras estruturas.

O site acima descreve isto como um triacontato rômbico, mas tenho quase certeza que não é. Mas não tenho a certeza do que realmente é. Tem tanto a mudança de cor como as unidades são montadas ‘de dentro para fora’ para torná-lo internamente acumulado.

A próxima unidade que tentei foi a penúltima unidade de borda (atribuída a Robert Neal), que pode ser usada para fazer um dodecaedro de wireframe, como demonstrado por Matt Parker, o matemático stand-up. Outras variações desta subunidade podem ser usadas para fazer praticamente qualquer outra unidade de dodecaedro.

Dodecahedron. Eu estava tentando usar o papel colorido chato neste aqui, mas gostei muito do resultado no final!

Theomas Hull’s PhiZZ edge unit makes similar wireframe structures, but the modules fit together more tightly and the result structures are much more robust than you get with the penultimate modules.

icosaedro truncado – esta é basicamente a forma de uma bola de futebol (12 pentagões, rodeada por hexágonos) e de alguns capsidos virais também.

Você também pode fazer variantes de mudança de cor usando a técnica mostrada nas caixas de decoração de Lewis Simon.

Dodecaedro feito a partir de unidades PHiZZ com mudança de cor.

Para estruturas baseadas em dodecahedra/icosahedra e feitas a partir de unidades de borda, você pode sempre escapar usando apenas três cores e nunca ter duas das mesmas peças de cor tocando. Isto porque você pode desenhar um circuito Hamiltoniano em um dodecaedro: esse é um caminho de vértice a vértice que só visita cada vértice uma vez, e que volta para onde ele começou. Você pode representar isso em 2D em um diagrama de Schlegel.

Circuito Hamiltoniano através do diagrama Schlegel de um dodecaedro . As bordas vermelha e roxa formam o circuito Hamiltoniano; as bordas cinza são as que sobram. Você vai notar que cada vértice tem uma das três bordas coloridas. O diagrama é uma projeção de um dodecaedro: imagine pegar uma estrutura de arame do dodecaedro e brilhar uma tocha através dele: o diagrama Schlegel é a sombra 2D que este poliedro 3D lança sobre a parede. É bastante fácil de calcular que borda no diagrama 2D corresponde a que borda na coisa que você está construindo.

Se você colorir as bordas alternativas do circuito Hamiltoniano em duas de suas cores escolhidas, e o resto das bordas na terceira, então você evitará ter qualquer pincelada de cor. Só aprendi isto depois de começar a fazer estas estruturas, por isso nem todas elas têm esta coloração ideal! A mesma regra das 3 cores é válida para os outros sólidos platónicos, e também para o icosaedro truncado.

Francesco Mancini’s star-holes kusudama usa um módulo semelhante ao PHiZZ, mas com um pequeno back-bend que dá um belo efeito estrela 3D. Este é um dodecaedro em forma de dodecaedro (30 unidades), mas um icosaedro truncado de 90 unidades também deve ser possível.

Dodecaedro de buracos estelares.

UPDATE: sim, é possível 🙂

Icosaedro truncado com buracos de estrela

A unidade triangular de Lewis Simon e Bennett Arnstein pode ser usada para fazer tetraedros, octaedros e icosaedros muito bonitos.

Icosaedro.

São um bocadinho fiddly para colocar juntos mas são muito robustos uma vez construídos. Um efeito de retalhos semelhante para o dodecaedro pode ser alcançado com o módulo de guarda-chuva de M. Mukhopadhyay; unidades Sonobe podem ser usadas para fazer cubos análogos ao estilo Battenberg-cake.

Battenberg-cake Platonic solids. O dodecaedro é feito a partir de unidades guarda-chuva; o cubo do Sonobe. O tetraedro, o octaedro e o icosaedro são todos feitos de módulos triangulares.

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A unidade triangular isósceles simples (atribuída variadamente a M. Mukhopadhyay, Jeannine Mosely e Roberto Morassi) pode ser usada para fazer pequenos e grandes dodecahedros estelados.

Dodecahedra grande (esquerda) e pequena (direita) estelada.

O pequeno dodecahedra estelada é particularmente agradável e faz uma decoração bastante robusta se feito de papel com suporte de folha de alumínio.

Xmas decs

O grande dodecaedro estrelado pode ser feito a partir da mesma subunidade, mas é mais trapaceiro para construir porque uma aba tem que se enrolar em torno de um bolso que está parcialmente dentro da próxima rodada da aba. Eu usei uma pinça com pontas de agulha para construir isto, e ainda não estou muito satisfeito com o resultado.

O contrário é verdadeiro para o módulo estelar de Paolo Bascetta, que faz um grande dodecaedro estrelado, mas um pouco *eh* estrelado pequeno. Este módulo precisa de papel duo (ou seja, papel que é colorido dos dois lados) para melhor efeito.

Dodecaedro grande (esquerda) e pequeno (direita) estelada.

O módulo Electra de Dave Mitchell pode ser usado para fazer um icosidecaedro: é incomum que cada módulo corresponda a um vértice da estrutura: as unidades de borda descritas até este ponto se combinam para fazer cada vértice.

Icosidodecaedro feito a partir dos módulos Electra

Não estou muito contente com o meu Void kusudama (Tadashi Mori): Eu devia ter usado papel duo, mas foi muito complicado de montar. Talvez um dia. É uma das poucas estruturas aqui que está de volta à estrutura original octaédrica/cubiana de 12 unidades. Não tenho a certeza se a versão de 30 unidades seria estável.

Octahedral void

UPDATE: Sim, eu não acho que a versão de 30 unidades seja do-able. Acho que as unidades são demasiado largas para caberem num icosaedro: Eu nem conseguiria com cola, por isso não acho que seja apenas uma questão de estabilidade. No entanto, fiz uma versão melhor de 12 unidades, com papel duo e um pouco de dobra invertida na borda externa para expor adequadamente a segunda cor, o que me deixa bastante satisfeito:

Octahedral void (modificado)

Os pequenos módulos de tartaruga de Tomoko Fusè são extremamente flexíveis: eles podem ser usados para fazer praticamente qualquer poliedro que é feito de polígonos regulares. No entanto, como as abas são apenas uma camada de papel, não se encaixam muito bem, por isso só as achei robustas o suficiente para fazer estruturas menores sem a ajuda de cola. Entretanto, com cola, fiz um rhombicosidodecaedro, que é legal porque é construído de pentágonos, triângulos e quadrados (todos os polígonos encontrados nos sólidos platônicos)…

O rhombicosidecaedro impossível de soletrar.

…e também um par de snub-cubes, que são ainda mais interessantes uma vez que o snub-cube tem duas imagens espelhadas não supersuperáveis, como mãos, aminoácidos e anfetaminas.

Snubcubos: enatiomorfos à esquerda e à direita.

Encontrei Maria Sinayskaya Etna kusudama no livro Exquisite Modular Origami de Meenakshi Mukerji. É um modelo realmente bonito, e robusto uma vez montado, mas pode ser um pouco fally-aparty durante a construção: Eu usei cavilhas de roupa muito pequenas para o segurar enquanto o estava a fazer.

Etna kusudama.

O composto de cinco octahedra do Meenakshi Mukerji (inspirado no Dennis Walker) também é um pouco fally-aparty, mas gosto dele porque – ao contrário de muitos desses modelos – é genuinamente o poliedro assim chamado, ao invés de algo em que você tem que se esguichar nos buracos da estrutura de arame e imaginar rostos lá.

Composto de cinco octahedra. Você pode ver facilmente o octaedro amarelo aqui: o sexto espigão está embaixo do modelo; as outras quatro cores são entrelaçadas de forma semelhante.

Os cinco tetraedros entrecruzados são na verdade muito mais fáceis de fazer do que parecem. Os próprios módulos de 6 graus de Francis Ow são fáceis de dobrar, e os vértices são muito mais robustos do que aparentam. A parte mais difícil é interligar os módulos da maneira correta. Eu consegui isso duas vezes, mas apenas enquanto olhava para o vídeo do YouTube e executava a ginástica “roxo = verde” na minha cabeça.

Composto de cinco tetrahedra – peça de festa.

Michał A página de Kosmulski tem muitas ilustrações, instruções e inspirações adoráveis. Encontrei lá o blintz icosadodecaedro de Tung Ken Lam (também creditado como modelo UVWXYZ do Francesco Mancini). Tem a mesma simetria do icosadecaedro Electra acima, mas você pode ver os seis pentagões que se interceptam com mais clareza. Ambos têm a mesma estrutura subjacente da esfera de Hoberman – aquele modelo de vara plástica em expansão/contração que adorava as feiras de ciência.

UVWXYZ intersectando o plano icosadecaedro

Este último é um pouco trapaceiro pois (em teoria, e na prática também) as estruturas acima são mantidas juntas por nada mais do que fricção. Valentina Gonchar revelou que a estrela floral kusudama tem que ser colada, o que é uma espécie de trapaça, mas eu não pude resistir, pois são duas estruturas em uma:

Bola de flor revelada – fechada (esquerda) e aberta (direita).

Coisas que ainda gostaria de fazer:

• Bolha de PhiZZ muito maior (270 unidades): isto seria útil para demonstrar as estruturas das cápsulas virais. ATUALIZAÇÃO: Feito!

Before…

…After

• Eu ainda não encontrei um bom modelo de dodecaedro grande: eles existem no Pintrest, mas eu ainda não encontrei instruções para um. UPDATE: Done! (Não consegui, por toda a minha vida, trabalhar como fazer 3 cores, mas o módulo é de Saku B, recomendado por Nick nos comentários abaixo)

Great dodecahedron

• Eu perdi onde quer que tenha encontrado as instruções para este triacontato rômbico acumulado interiormente: Eu gostaria muito de redescobri-las para poder dar crédito ao inventor! ATUALIZAÇÃO: não foi aqui que o vi originalmente, mas AresMares by Gewre tem um vídeo tutorial, e um gentil comentador me informou que a designer é Silvana Betti Mamino – obrigada!

Triacontaedro rômbico de origem desconhecida.

• Inventar meu próprio módulo 🙂