Neste artigo você aprenderá sobre problemas de Permutações e Combinações: Definição, fórmulas, exemplos resolvidos e um quiz com perguntas práticas.

Permutações

Definição

Permutações são as diferentes formas em que uma coleção de itens pode ser organizada.

Por exemplo:

As diferentes formas em que os alfabetos A, B e C podem ser agrupados, tomados todos de cada vez, são ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Nota que ABC e CBA não são iguais, pois a ordem de disposição é diferente. A mesma regra aplica-se ao resolver qualquer problema em Permutações.

O número de formas em que n coisas podem ser arranjadas, tomadas todas de cada vez, nPn = n! chamado ‘n factorial.’

Factorial Formula

Factorial de um número n é definido como o produto de todos os números de n a 1.

Por exemplo, o factorial de 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Por isso, o número de formas em que as 3 letras podem ser dispostas, tomadas todas de cada vez, é 3! = 3*2*1 = 6 formas.

Número de permutações de n coisas, tomadas r de cada vez, denotado por:

nPr = n! / (n-r)!

Por exemplo:

As diferentes formas em que as 3 letras, tomadas 2 de cada vez, podem ser dispostas é 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 formas.

Fórmulas de Permutação Importante

1! = 1

0! = 1
Vejamos alguns exemplos:

Problema 1: Encontre o número de palavras, com ou sem significado, que podem ser formadas com as letras da palavra ‘CHAIR’.

Solução:

‘CADEIRA’ contém 5 letras.

Então, o número de palavras que podem ser formadas com estas 5 letras = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problema 2: Encontre o número de palavras, com ou sem significado, que podem ser formadas com as letras da palavra ‘ÍNDIA’.

Solução:

A palavra ‘ÍNDIA’ contém 5 letras e ‘I’ vem duas vezes.

Quando uma letra ocorre mais de uma vez numa palavra, dividimos o factorial do número de todas as letras da palavra pelo número de ocorrências de cada letra.

Assim, o número de palavras formado por ‘ÍNDIA’ = 5!/2! = 60.

Problema 3: Encontrar o número de palavras, com ou sem significado, que podem ser formadas com as letras da palavra ‘SWIMMING?

Solução:

A palavra ‘SWIMMING contém 8 letras. Das quais, I ocorre duas vezes e M duas vezes.

Por isso, o número de palavras formadas por esta palavra = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problema 4: Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra ‘SUPER’ de modo a que as vogais se juntem sempre?

Solução:

A palavra ‘SUPER’ contém 5 letras.

Para encontrar o número de permutações que podem ser formadas onde as duas vogais U e E se juntam.

Nestes casos, agrupamos as letras que se devem juntar e consideramos esse grupo como uma letra.

Então, as letras são S,P,R, (UE). Agora o número de palavras é 4,

Por isso, o número de formas em que 4 letras podem ser organizadas é 4!

Em U e E, o número de formas em que U e E podem ser organizadas é 2!

Hence, o número total de formas em que as letras do ‘SUPER’ podem ser organizadas de tal forma que as vogais estão sempre juntas são 4! * 2! = 48 formas.

Problema 5: Encontre o número de diferentes palavras que podem ser formadas com as letras da palavra ‘MASTER’ para que as vogais estejam sempre juntas.

Solução:

A palavra ‘BUTTER’ contém 6 letras.

As letras U e E devem estar sempre juntas. Então as letras são B, T, T, R, (UE).

Número de formas em que as letras acima podem ser organizadas = 5!/2! = 60 (já que a letra ‘T’ é repetida duas vezes).

Número de formas em que U e E podem ser organizadas = 2! = 2 formas

Por isso, número total de permutações possíveis = 60*2 = 120 formas.
Problema 6: Encontrar o número de permutações das letras da palavra ‘REMAINS’ de modo a que as vogais ocorram sempre em lugares ímpares.

Solução:

A palavra ‘REMAINS’ tem 7 letras.

Tem 4 consoantes e 3 vogais.

Escrever da seguinte forma facilita a resolução deste tipo de questões.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Número de vias 3 vogais podem ocorrer em 4 lugares diferentes = 4P3 = 24 vias.

Após 3 vogais ocuparem 3 lugares, número de vias 4 consoantes podem ocupar 4 lugares = 4P4 = 4! = 24 formas.

Por isso, número total de permutações possíveis = 24*24 = 576 formas.

Combinações Definição As diferentes seleções possíveis de uma coleção de itens são chamadas combinações.

Por exemplo:

As diferentes selecções possíveis dos alfabetos A, B, C, tomadas 2 de cada vez, são AB, BC e CA.

Não importa se seleccionamos A depois de B ou B depois de A. A ordem de seleção não é importante nas combinações.

Para encontrar o número de combinações possíveis de um dado grupo de itens n, tomados r de cada vez, a fórmula, denotada por nCr é

nCr = n! /

Por exemplo, verificando o exemplo acima, as diferentes selecções possíveis dos alfabetos A, B, C, tomados dois de cada vez são

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 seleções possíveis (i.e, AB, BC, CA)

Importante Fórmulas combinadas

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

O número de selecções possíveis com A, B, C, tomadas todas de cada vez é 3C3 = 1 (i.e. ABC)

Exemplos resolvidos de combinações

Deixe-nos ver alguns exemplos para entender como funcionam as combinações:

Problema 1: De quantas maneiras um comité de 1 homem e 3 mulheres pode ser formado a partir de um grupo de 3 homens e 4 mulheres?

Solução:

Não. de maneiras 1 homem pode ser seleccionado de um grupo de 3 homens = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 formas.

Número de formas 3 mulheres podem ser selecionadas de um grupo de 4 mulheres = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 formas.

Problema 2: Entre um conjunto de 5 bolas pretas e 3 vermelhas, quantas selecções de 5 bolas podem ser feitas de modo a que pelo menos 3 delas sejam pretas.

Solução:

Seleccionar pelo menos 3 bolas pretas de um conjunto de 5 bolas pretas numa selecção total de 5 bolas pode ser

3 B e 2 R

4 B e 1 R e

5 B e 0 R bolas.

Por isso, a nossa expressão de solução é semelhante a isto.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 formas .

Problema 3: Quantos números de 4 dígitos que são divisíveis por 10 podem ser formados a partir dos números 3, 5, 7, 8, 9, 0 de modo a que nenhum número se repita?

Solução:

Se um número for divisível por 10, a sua posição de unidades deve conter um 0.
_ _ _ 0

Após o 0 ser colocado no lugar das unidades, o lugar das dezenas pode ser preenchido com qualquer um dos outros 5 dígitos.

Seleccionar um dígito de 5 dígitos pode ser feito em 5C1 = 5 formas.

Após preencher o lugar das dezenas, ficamos com 4 dígitos. Selecionando 1 dígito de 4 dígitos pode ser feito em 4C1 = 4 vias.

Após encher as centenas de lugares, os milhares de lugares podem ser preenchidos em 3C1 = 3 vias.

Por isso, as combinações totais possíveis = 5*4*3 = 60.

Permutações e Combinações Quiz

Tenta estes problemas de prática.