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Por todos os relatos, Marilyn vos Savant era uma criança prodígio.

Nascido em St. Louis, Missouri em 1946, o jovem savant rapidamente desenvolveu uma aptidão para a matemática e para a ciência. Aos 10 anos, ela recebeu dois testes de inteligência — o Stanford-Binet, e o Mega Teste — ambos colocaram a sua capacidade mental à de uma criança de 23 anos. Ela foi incluída no Guinness Book of World Records por ter o “World’s Highest IQ” e, como resultado, ganhou fama internacional.

Apesar de ser a “mulher mais inteligente do mundo”, Savant afirmou que as tentativas de medir a inteligência eram “inúteis”, e rejeitou os testes de QI por não serem confiáveis. Em meados dos anos 80, com rédea solta para escolher uma carreira, ela fez as malas e mudou-se para Nova York para ser escritora.

Aqui, ela teve uma pausa: quando a Parade Magazine escreveu um perfil sobre ela, os leitores responderam com tantas cartas que a publicação lhe ofereceu um emprego em tempo integral. Pouco tempo depois, ela estabeleceu “Pergunte a Marilyn”, uma agora famosa coluna semanal na qual ela respondeu (e continua a responder, até hoje) a uma variedade de perguntas acadêmicas e quebra-cabeças de lógica. Foi no corpo de uma dessas colunas que Savant acendeu uma das batalhas estatísticas mais quentes do século 21.

Quando você Savant respondeu educadamente à pergunta de um leitor sobre o problema de Monty Hall, um quebra-cabeças de probabilidade então desconhecido, ela nunca poderia ter imaginado o que aconteceria: embora sua resposta estivesse correta, ela recebeu mais de 10.000 cartas, muitas delas de eruditos notáveis e doutores.Ds, informando-a de que ela era uma idiota com cérebro duro.

O que se seguiu para vos Savant foi uma jornada de pesadelo, repleta de chamadas de nomes, suposições baseadas em gênero e perseguição acadêmica.

O Problema do Monty Hall: A Brief History

Imagine que você está em um programa de jogos de televisão e o apresentador lhe apresenta três portas fechadas. Atrás de uma delas, encontra-se um Lincoln Continental brilhante, novinho em folha; atrás das outras duas, estão cabras velhas e malcheirosas. O anfitrião implora-lhe que escolha uma porta, e você escolhe a porta nº 1. Então, o anfitrião, que está bem ciente do que está acontecendo nos bastidores, abre a porta #3, revelando uma das cabras.

“Agora”, ele diz, virando-se para você, “você quer manter a porta #1, ou você quer mudar para a porta #2?”

Estatisticamente, qual escolha lhe dá o carro: manter sua porta original, ou mudar? Se você, como a maioria das pessoas, posa que suas chances são de 50-50, você está errado — a menos, é claro, que você goste tanto de cabras quanto de carros novos, nesse caso você vai ganhar 100% do tempo.

Loosamente baseado no famoso programa de televisão Let’s Make a Deal, o cenário apresentado acima, mais conhecido como o “Monty Hall Problem”, é uma pergunta de probabilidade bastante famosa. Apesar de sua simplicidade enganosa, algumas das mentes mais brilhantes do mundo — professores do MIT, matemáticos renomados, e MacArthur “Genius” Fellows — tiveram dificuldade em entender sua resposta. Por décadas, ele tem provocado debates intensos em salas de aula e salas de aula.

Histórico, o Problema Monty Hall foi predatado por vários enigmas muito semelhantes.

No paradoxo das caixas de Joseph Bertrand (1889), três caixas são apresentadas — uma contendo duas moedas de ouro, uma contendo duas moedas de prata, e a final contendo uma de cada. Assumindo que o participante tira uma moeda de ouro de uma caixa, o problema então pergunta qual é a probabilidade de que a outra moeda dessa caixa seja ouro. Bertrand, que concluiu que a probabilidade era ⅔, foi elogiado por sua capacidade de olhar além do óbvio.

Uma segunda iteração deste paradoxo, o Problema dos Três Prisioneiros (1959), apresenta um cenário estatisticamente idêntico, com o mesmo resultado. “um problema maravilhosamente confuso”, escreveu mais tarde, de forma presunçosa, o seu criador, o colunista científico americano Martin Gardner. “Em nenhum outro ramo da matemática é tão fácil para os especialistas errar como na teoria da probabilidade”,

Primeiro apresentado em uma carta ao editor do The American Statistician em 1975, o Problema Monty Hall também foi contra-intuitivo. Nesta carta, Steve Selvin, um professor da Universidade da Califórnia, Berkeley, expôs a situação na introdução deste artigo, e argumentou que trocar de porta dá uma ⅔ chance de ganhar o carro, enquanto que manter a porta original resulta em ganhar apenas ⅓ da época.

O problema Monty Hall apareceu em mais ou menos uma década, primeiro em um enigma do Journal of Economics Perspectives de Barry Nalebuff, e depois em uma edição de 1989 do Bridge Today, de Phillip Martin. A lógica de nenhum dos homens foi refutada, e o problema gerou relativamente pouca atenção.

Então, após 15 anos sem incidentes, o Problema Monty Hall foi ressuscitado por Marilyn vos Savant – e uma tempestade de merda absoluta se seguiu.

Marilyn vos Savant’s Debacle

Em setembro de 1990, Marilyn vos Savant dedicou uma de suas colunas à pergunta de um leitor, que apresentava uma variação do Problema Monty Hall:

“Suponha que você esteja em um programa de jogos, e lhe é dada a escolha de três portas. Atrás de uma porta está um carro, atrás das outras, cabras. Você escolhe uma porta, digamos #1, e o anfitrião, que sabe o que está atrás das portas, abre outra porta, digamos #3, que tem uma cabra. Ele diz-lhe: “Quer escolher a porta nº 2?” É vantajoso para você trocar a sua escolha de portas?”

“Sim; você deve trocar”, ela respondeu. “A primeira porta tem 1/3 de chance de ganhar, mas a segunda porta tem 2/3 de chance.”

“Apesar de sua resposta estar correta, uma vasta faixa de acadêmicos respondeu com indignação. Nos meses seguintes, vos Savant recebeu mais de 10.000 cartas — incluindo um par do Diretor Adjunto do Centro de Informações de Defesa, e uma pesquisadora de Estatística Matemática dos Institutos Nacionais de Saúde — todas elas alegando que ela era totalmente incompetente:

Você estragou tudo, e estragou tudo! Já que você parece ter dificuldade em entender o princípio básico no trabalho aqui, eu vou explicar. Depois de o anfitrião revelar uma cabra, você tem agora uma hipótese em duas de estar correcto. Quer mude ou não a sua selecção, as probabilidades são as mesmas. Há analfabetismo matemático suficiente neste país, e não precisamos que o QI mais alto do mundo se propague mais. Vergonha!
Scott Smith, Ph.D.
Universidade da Flórida

Pode eu sugerir que você obtenha e consulte um manual padrão sobre probabilidade antes de tentar responder uma pergunta deste tipo novamente?
Charles Reid, Ph.D.
Universidade da Flórida

Estou certo que você receberá muitas cartas sobre este tópico de estudantes do ensino médio e universitários. Talvez você deva manter alguns endereços para ajuda com as futuras colunas.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Você está totalmente errado sobre a questão do game show, e espero que esta controvérsia chame alguma atenção do público para a grave crise nacional na educação matemática. Se você puder admitir seu erro, você terá contribuído construtivamente para a solução de uma situação deplorável. Quantos matemáticos irritados são necessários para que você mude de idéia?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Você cometeu um erro, mas olhe para o lado positivo. Se todos esses Ph.D. estivessem errados, o país estaria em sérios problemas.
Everett Harman, Ph.D.
Instituto de Pesquisa do Exército dos EUA

Você é o bode!
Glenn Calkins
Western State College

Talvez as mulheres olhem os problemas de matemática de forma diferente dos homens.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

O grito foi tão tremendo que vos Savant foi forçado a dedicar três colunas subsequentes para explicar porque é que a sua lógica estava correcta. Mesmo na esteira das suas respostas claras e bem definidas, ela continuou a ser repreendida. “Eu ainda acho que você está errado”, escreveu um homem, quase um ano depois. “Existe uma coisa como a lógica feminina”

Yet, os números por trás da conclusão de vos Savant não mentem.

Debunking the Monty Hall Problem

Desde que duas portas (uma contendo um carro, e a outra uma cabra) permanecem depois que o anfitrião abre a porta #3, a maioria assumiria que a probabilidade de selecionar o carro é ½. Este não é o caso.

“A probabilidade de ganhar 1/3 na primeira escolha não pode ir até 1/2 só porque o anfitrião abre uma porta perdedora”, escreve o seu Savant. De fato, se você mapear seis jogos explorando todos os resultados possíveis, fica claro que trocar de porta resulta em ganhar dois terços (66,6%) do tempo, e manter a porta original resulta em ganhar apenas um terço (33,3%) do tempo:

Outra maneira de ver isso é quebrar todas as possibilidades de troca de porta. Como delineamos abaixo, 6 dos 9 cenários possíveis (dois terços) resultam em ganhar o carro:

Estes resultados parecem ir contra os nossos impulsos estatísticos intuitivos — então porque é que trocar de portas aumenta as nossas probabilidades de ganhar?

A resposta curta é que as suas probabilidades iniciais de ganhar com a porta #1 (⅓) não mudam simplesmente porque o anfitrião revela uma cabra atrás da porta #3; em vez disso, a acção de Hall aumenta as probabilidades para ⅔ de ganhar ao mudar.

Aqui está outra forma de visualizar isto. Imagine que ao invés de três portas, Monty Hall lhe apresenta 100 portas; atrás de 99 delas estão cabras, e atrás de uma delas está o carro. Você seleciona a porta #1, e as suas chances iniciais de ganhar o carro são agora 1/100:

>Então, vamos supor que Monty Hall abre 98 das outras portas, revelando uma cabra atrás de cada uma. Agora você tem duas opções: manter a porta #1, ou mudar para a porta #100:

Quando você seleciona a porta #1, há uma chance de 99/100 de que o carro esteja atrás de uma das outras portas. O facto de Monty Hall revelar 98 cabras não altera estas probabilidades iniciais — apenas “muda” essa 99/100 de probabilidade para a porta #100. Você pode ficar com a sua probabilidade original de 1/100 ou mudar para a porta #100, com uma probabilidade muito maior de ganhar o carro.

Parar, enquanto a matemática e os números apoiam a afirmação de Savant — que as probabilidades de ganhar aumentam para ⅔ quando você muda de porta — deve-se considerar outros factores que ela não aborda na sua resposta.

A Psicologia da Racionalização

Monty Hall, apresentador de ‘Let’s Make a Deal’

Em 1992, enquanto a controvérsia sobre a resposta de vos Savant se instalou, Monty Hall — o apresentador do game show, e homônimo do problema — sentou-se para uma entrevista com o New York Times.

Clarou que as coisas funcionaram um pouco diferente do cenário apresentado pelo leitor do Parade na coluna do seu Savant. No programa real, por exemplo, ele reteve a autoridade de oferecer dinheiro ao concorrente para NÃO trocar. Detalhes como este, disse ele, alteraram a mentalidade do concorrente:

“, eles pensavam que as chances na porta deles tinham agora subido para 1 em 2, então eles odiavam desistir da porta não importava quanto dinheiro eu oferecia…Quanto mais alto eu ficava, mais pensava que o carro estava atrás. Eu queria fazer uma vigarice para trocar lá. É o tipo de coisa que eu posso fazer quando estou no controle do jogo. Você pode pensar que tem probabilidade de ir atrás de você quando segue a resposta na coluna dela, mas há o fator psicológico a considerar.”

O “fator psicológico” que Hall menciona transporta das regras do show para a variação do problema que apresentamos neste artigo. Para concorrentes e solucionadores de problemas, o problema de Monty Hall causa dissonância cognitiva, um termo que os psicólogos usam para descrever o “estresse mental experimentado por um indivíduo que possui duas ou mais crenças, idéias ou valores contraditórios ao mesmo tempo, ou é confrontado por novas informações que entram em conflito com crenças, idéias ou valores existentes”.

Quando as pessoas são confrontadas com evidências que são “inconsistentes com suas crenças” (ou seja, as chances de vencer trocando de porta são ⅔, ao invés de ½), elas primeiro respondem refutando a informação, depois se unem a dissidentes que pensam da mesma maneira e defendem sua própria opinião dura. Esta é precisamente a mentalidade dos milhares de opositores de vos Savant.

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Mais de 25 anos depois, discussões sobre a semântica do Problema Monty Hall e a resposta de vos Savant ainda permeiam — principalmente centrando-se em torno das complexidades das ações do anfitrião.

“Nossos cérebros não estão conectados para fazer problemas de probabilidade muito bem, então não me surpreende que tenha havido erros”, disse o professor de estatísticas de Stanford Persi Diaconis a um repórter, anos atrás. “O argumento rigoroso seria que a pergunta não pode ser respondida sem conhecer a motivação do anfitrião”.

Mas, porventura, muitos dos que escreveram para corrigir a matemática de Savant recuaram e cederam que estavam em erro.

Um exercício proposto por vos Savant para entender melhor o problema foi logo integrado em milhares de salas de aula de todo o país. Foram construídos modelos de computador que corroboravam sua lógica, e o suporte para seu intelecto foi gradualmente restaurado. Enquanto apenas 8% dos leitores haviam acreditado anteriormente que sua lógica era verdadeira, esse número havia aumentado para 56% até o final de 1992, escreve Savant; entre os acadêmicos, 35% de apoio inicial subiu para 71%.

Entre os novos crentes estava Robert Sachs, um professor de matemática da Universidade George Mason, que havia originalmente escrito uma carta desagradável a Savant, dizendo-lhe que ela “estragou tudo”, e oferecendo-se para ajudar a “explicar”. Depois de perceber que ele estava, de fato, incorreto, ele se sentiu obrigado a enviar-lhe outra carta — desta vez, arrependendo-se de sua auto-retidão.

“Depois de tirar meu pé da boca, agora estou comendo torta humilde”, escreveu ele. “Eu prometi como penitência responder a todas as pessoas que escreveram para me castigar. Tem sido um intenso constrangimento profissional.”

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