Începem studiul ecuațiilor cu derivate parțiale cu problema curgerii căldurii într-o bară uniformă de lungime \(L\), situată pe axa \(x\) cu un capăt la origine și celălalt la \(x = L\) (figura \(\PageIndex{1}\)).
Să presupunem că bara este perfect izolată, cu excepția, eventual, a extremităților sale, și că temperatura este constantă pe fiecare secțiune transversală și, prin urmare, depinde doar de \(x\) și \(t\). Presupunem, de asemenea, că proprietățile termice ale barei sunt independente de \(x\) și \(t\). În acest caz, se poate demonstra că temperatura \(u = u(x, t)\) la momentul \(t\) într-un punct \(x\) unități de la origine satisface ecuația cu derivate parțiale
\
unde \(a\) este o constantă pozitivă determinată de proprietățile termice. Aceasta este ecuația căldurii.
Pentru a determina \(u\), trebuie să specificăm temperatura în fiecare punct al barei atunci când \(t=0\), să zicem
Aceasta o numim condiția inițială. De asemenea, trebuie să specificăm condițiile la limită pe care \(u\) trebuie să le satisfacă la capetele barei pentru toate \(t>0\). Vom numi această problemă o problemă de valoare inițială-limită.
Începem cu condițiile la limită \(u(0,t)=u(L,t)=0\) și scriem problema de valoare inițială-limită ca
\
Metoda noastră de rezolvare a acestei probleme se numește separare de variabile (a nu se confunda cu metoda separării variabilelor utilizată în secțiunea 2.2 pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare). Începem prin a căuta funcții de forma
\
care nu sunt identic zero și care satisfac
\
pentru toate \((x,t)\). Deoarece
\
\(v_t=a^2v_{xx}\) dacă și numai dacă
\
, pe care o rescriem ca
\
Deoarece expresia din stânga este independentă de \(x\), iar cea din dreapta este independentă de \(t\), această ecuație poate fi valabilă pentru toate \((x,t)\) numai dacă cele două părți sunt egale cu aceeași constantă, pe care o numim constantă de separare și o scriem \(-\lambda\); astfel,
\
Acest lucru este echivalent cu
\
și
\
Din moment ce \(v(0,t)=X(0)T(t)=0\) și \(v(L,t)=X(L)T(t)=0\) și nu dorim ca \(T\) să fie identic cu zero, \(X(0)=0\) și \(X(L)=0\). Prin urmare, \(\(\lambda\) trebuie să fie o valoare proprie a problemei valorii limită
\
și \(X\) trebuie să fie o funcție proprie \(\lambda\). Din Teorema 11.1.2, valorile proprii ale Ecuației \ref{eq:12.1.3} sunt \(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\), cu funcțiile proprii asociate
\
Substituind \(\lambda=n^2\pi^2/L^2\) în Ecuația \ref{eq:12.1.3}, se obține \(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\).2} rezultă
care are soluția
Acum fie
Deoarece
\(v_n\) satisface Ecuația \ref{eq:12.1.1} cu \(f(x)=\sin n\pi x/L\). Mai general, dacă \(\(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) sunt constante și
\
atunci \(u_m\) satisface Ecuația \ref{eq:12.1.1} cu
\
Aceasta motivează următoarea definiție.
Teorema \(\PageIndex{1}\)
Soluția formală a problemei inițiale-problema valorilor la limită
este
unde
este seria sinusoidală Fourier a lui \(f\) pe \(\); adică,
\
Utilizăm termenul „soluție formală” în această definiție deoarece, în general, nu este adevărat că seria infinită din ecuația \ref{eq:12.1.5} satisface de fapt toate cerințele problemei de valoare limită inițială Ecuația \ref{eq:12.1.4} atunci când o face, spunem că este o soluție reală a Ecuației \ref{eq:12.1.4}.
Datorită exponențialelor negative din Ecuația \ref{eq:12.1.5}, \(u\) converge pentru toate \((x,t)\) cu \(t>0\) (Exercițiul 12.1.54). Deoarece fiecare termen din Ecuația \ref{eq:12.1.5} satisface ecuația căldurii și condițiile la limită din Ecuația \ref{eq:12.1.4}, \(u\) are, de asemenea, aceste proprietăți dacă \(u_t\) și \(u_{xx}\) pot fi obținute prin diferențierea seriei din Ecuația \ref{eq:12.1.5} termen cu termen o dată în raport cu \(t\) și de două ori în raport cu \(x\), pentru \(t>0\). Cu toate acestea, nu este întotdeauna legitim să se diferențieze o serie infinită termen cu termen. Următoarea teoremă oferă o condiție suficientă utilă pentru legitimitatea diferențierii termen cu termen a unei serii infinite. Omitem demonstrația.
Teorema \(\PageIndex{2}\)
O serie infinită convergentă
\
poate fi diferențiată termen cu termen pe un interval închis \(\(\)) pentru a obține
\
\((\)unde derivatele la \(z=z_1\) și \(z=z_2\) sunt una-sided\()\) cu condiția ca \(w_n’\) să fie continuă pe \(\) și
\
unde \(M_1,\) \(M_2,\) …, \(M_n,\) …, …, sunt constante astfel încât seria \(\sum_{n=1}^\infty M_n\) converge.
Teorema \(\PageIndex{2}\), aplicată de două ori cu \(z=x\) și o dată cu \(z=t\), arată că \(u_{xx}\) și \(u_t\) pot fi obținute prin diferențierea lui \(u\) termen cu termen dacă \(t>0\) (Exercițiul 12.1.54). Prin urmare, \(u\) satisface ecuația căldurii și condițiile la limită din ecuația \ref{eq:12.1.4} pentru \(t>0\). Prin urmare, deoarece \(u(x,0)=S(x)\) pentru \(0\le x\le L\), \(u\) este o soluție reală a Ecuației \ref{eq:12.1.4} dacă și numai dacă \(S(x)=f(x)\) pentru \(0\le x\le L\). Din Teorema 11.3.2, acest lucru este adevărat dacă \(f\) este continuă și netedă pe bucățele pe \(\), iar \(f(0)=f(L)=0\).
În acest capitol vom defini soluțiile formale ale mai multor tipuri de probleme. Când vă cerem să rezolvați astfel de probleme, ne referim întotdeauna la faptul că ar trebui să găsiți o soluție formală.
Exemplu \(\PageIndex{1}\)
Soluționați ecuația \ref{eq:12.1.4} cu \(f(x)=x(x^2-3Lx+2L^2)\).
Soluția
Din Exemplul \) este
\
Prin urmare
\
Dacă ambele capete ale barei sunt izolate astfel încât să nu poată trece căldura prin ele, atunci condițiile la limită sunt
\
Lăsăm la latitudinea dumneavoastră (Exercițiul 12.1.1.1) să folosiți metoda separării variabilelor și Teorema 11.1.3 pentru a motiva următoarea definiție.
Teorema \(\PageIndex{3}\)
Soluția formală a problemei valorii limită inițiale
\
este
unde
este seria cosinusului Fourier a lui \(f\) pe \(;\), adică,
\
Exemplu \(\PageIndex{2}\)
Soluționează ecuația \ref{eq:12.1.6} cu \(f(x)=x\).
Soluție
Din Exemplul 11.3.1, seria cosinusului Fourier al lui \(f\) pe \(\) este
Deci
Lăsăm la latitudinea dumneavoastră (Exercițiul 12.1.1.2) să folosiți metoda separării variabilelor și Teorema 11.1.4 pentru a motiva următoarea definiție.
Teorema \(\PageIndex{4}\)
Soluția formală a problemei valorii limită inițiale
\
este
unde
este seria sinusoidală Fourier mixtă a lui \(f\) pe \(;\), adică,
\
Exemplu \(\PageIndex{3}\)
Soluționează ecuația \ref{eq:12.1.7} cu \(f(x)=x\).
Soluție
De la Exemplul 11.3.4, seria sinusoidală Fourier mixtă a lui \(f\) pe \(\) este
\
Deci
\
Figura \(\PageIndex{2}\) prezintă un grafic al lui \(u=u(x,t)\) trasat în raport cu \(x\) pentru diferite valori ale lui \(t\). Linia \(y=x\) corespunde lui \(t=0\). Celelalte curbe corespund valorilor pozitive ale lui \(t\). Pe măsură ce \(t\) crește, graficele se apropie de linia \(u=0\).
Vă lăsăm pe dumneavoastră (Exercițiul 12.1.3) să folosiți metoda separării variabilelor și Teorema 11.1.5 pentru a motiva următoarea definiție.
Teorema \(\PageIndex{5}\)
Soluția formală a problemei inițiale-problemă de valoare la limită
este
unde
este seria mixtă a cosinusului Fourier al lui \(f\) pe \(\); adică,
\
Exemplu \(\PageIndex{4}\)
Solvați ecuația \ref{eq:12.1.8} cu \(f(x)=x-L\).
Soluție
De la Exemplul 11.3.3, seria mixtă a cosinusului Fourier al lui \(f\) pe \(\) este
\
Deci
\
Utilizarea tehnologiei
Experimentele numerice vă pot îmbunătăți înțelegerea soluțiilor problemelor de valori limită inițiale. Pentru a fi specific, luați în considerare soluția formală
\
a ecuației \ref{eq:12.1.4}, unde
\
este seria sinusoidală Fourier a lui \(f\) pe \(\). Să considerăm suma parțială \(m\)-ea
\
Pentru mai multe valori fixe ale lui \(t\) (inclusiv \(t=0\)), reprezentați grafic \(u_m(x,t)\) în funcție de \(t\). În unele cazuri, poate fi utilă reprezentarea grafică a curbelor corespunzătoare diferitelor valori ale lui \(t\) pe aceleași axe, în alte cazuri, este posibil să doriți să reprezentați grafic diferitele curbe succesiv (pentru valori crescânde ale lui \(t\)) și să creați o imagine de mișcare primitivă pe monitorul dumneavoastră. Repetați acest experiment pentru mai multe valori ale lui \(m\), pentru a compara modul în care rezultatele depind de \(m\) pentru valori mici și mari ale lui \(t\). Cu toate acestea, rețineți că, în acest caz, semnificațiile termenilor „mic” și „mare” depind de constantele \(a^2\) și \(L^2\). O modalitate bună de a trata acest aspect este să rescrieți ecuația \ref{eq:12.1.12} sub forma
\
unde
\
și să reprezentați grafic \(u_m\) față de \(x\) pentru valori selectate ale lui \(\tau\).
Aceste comentarii se aplică, de asemenea, situațiilor considerate în Teoremele \(\PageIndex{3}\)-\(\PageIndex{5}\), cu excepția faptului că Ecuația \ref{eq:12.1.13} trebuie înlocuită cu
\
în Teoremele \(\PageIndex{4}\) și \(\PageIndex{5}\).
.