Matematica folosește reguli inventate pentru a crea modele și relații. Când învăț, îmi pun următoarele întrebări:

• Ce relație reprezintă acest model?
• Ce elemente din lumea reală împărtășesc această relație?
• Oare această relație are sens pentru mine?

Sunt întrebări simple, dar care mă ajută să înțeleg subiecte noi. Dacă v-au plăcut postările mele despre matematică, acest articol acoperă abordarea mea față de acest subiect adesea defăimat. Mulți oameni au lăsat comentarii pătrunzătoare despre luptele lor cu matematica și despre resursele care i-au ajutat.

Educație matematică

Cărțile de text rareori se concentrează pe înțelegere; în mare parte este vorba de rezolvarea problemelor cu formule „plug and chug”. Mă întristează faptul că idei frumoase primesc un tratament atât de banal:

• Teorema lui Pitagora nu este doar despre triunghiuri. Este despre relația dintre forme similare, despre distanța dintre orice set de numere și multe altele.
• e nu este doar un număr. Este despre relațiile fundamentale dintre toate ratele de creștere.
• Log natural nu este doar o funcție inversă. Este vorba despre cantitatea de timp de care au nevoie lucrurile pentru a crește.

Cunoștințele elegante, „aha!” ar trebui să fie punctul nostru central, dar lăsăm asta pentru ca elevii să se împiedice singuri la întâmplare. Eu am avut un moment „a ha!” după o sesiune infernală de înghesuială în facultate; de atunci, am vrut să găsesc și să împărtășesc aceste epifanii pentru a-i scuti pe alții de aceeași durere.

Dar funcționează în ambele sensuri – vreau ca și tu să împărtășești intuiții cu mine. Există mai multă înțelegere, mai puțină durere și toată lumea câștigă.

Matematica evoluează în timp

Consider matematica ca fiind un mod de gândire și este important să văd cum s-a dezvoltat această gândire, mai degrabă decât să arăt doar rezultatul. Să încercăm un exemplu.

Imaginați-vă că sunteți un om al cavernelor care face matematică. Una dintre primele probleme va fi cum să numeri lucrurile. Mai multe sisteme s-au dezvoltat de-a lungul timpului:

Niciun sistem nu este corect și fiecare are avantaje:

• Sistemul unitar: Trasează linii în nisip — cât se poate de simplu. Grozav pentru a ține scorul în jocuri; puteți adăuga la un număr fără a șterge și rescrie.
• Numere romane: Unar mai avansat, cu scurtături pentru numere mari.
• Zecimale: Realizarea uriașă a faptului că numerele pot folosi un sistem „pozițional” cu loc și zero.
• Binar: Cel mai simplu sistem pozițional (două cifre, pornit vs. oprit), astfel încât este excelent pentru dispozitive mecanice.
• Notarea științifică: Extrem de compactă, poate evalua cu ușurință mărimea și precizia unui număr (1E3 vs 1.000E3).

Credeți că am terminat? Nici vorbă de așa ceva. Peste 1000 de ani vom avea un sistem care va face ca numerele zecimale să pară la fel de pitorești ca numerele romane („Doamne, cum s-au descurcat cu instrumente atât de neîndemânatice?”).

Numerele negative nu sunt atât de reale

Să ne mai gândim puțin la numere. Exemplul de mai sus arată că sistemul nostru numeric este una dintre multele modalități de a rezolva problema „numărării”.

Românii ar considera zero și fracțiile ciudate, dar asta nu înseamnă că „neantul” și „partea la întreg” nu sunt concepte utile. Dar vedeți cum fiecare sistem a încorporat idei noi.

Fracțiunile (1/3), zecimalele (.234) și numerele complexe (3 + 4i) sunt modalități de a exprima noi relații. Este posibil ca ele să nu aibă sens acum, așa cum nici zero nu „avea sens” pentru romani. Avem nevoie de noi relații din lumea reală (cum ar fi datoriile) pentru ca ele să facă clic.

Chiar și atunci, numerele negative s-ar putea să nu existe în modul în care credem noi, așa cum mă convingeți aici:

Tu: Numerele negative sunt o idee grozavă, dar nu există în mod inerent. Este o etichetă pe care o aplicăm unui concept.

Eu: Sigur că există.

Tu: Ok, arată-mi -3 vaci.

Eu: Păi, um… să presupunem că ești un fermier și ai pierdut 3 vaci.

Tu: Ok, ai zero vaci.

Eu: Nu, vreau să spun că ai dat 3 vaci unui prieten.

Tu: Ok, el are 3 vaci și tu ai zero.

Eu: Nu, adică, o să le dea înapoi într-o zi. Îți este dator.

Tu: Ah. Deci numărul real pe care îl am (-3 sau 0) depinde de faptul că eu cred că el îmi va da banii înapoi. Nu mi-am dat seama că părerea mea schimba modul de numărare. În lumea mea, am avut zero tot timpul.

Eu: Suspin. Nu e chiar așa. Când îți dă vacile înapoi, treci de la -3 la 3.

Tu: Ok, deci el ne returnează 3 vaci și noi sărim 6, de la -3 la 3? Mai există și alte noutăți aritmetice de care ar trebui să fiu conștient? Cum arată sqrt(-17) vaci?

Eu: Ieși afară.

Numerele negative pot exprima o relație:

• Numerele pozitive reprezintă un surplus de vaci
• Zero reprezintă lipsa vacilor
• Numerele negative reprezintă un deficit de vaci care se presupune că vor fi rambursate

Dar numărul negativ „nu există cu adevărat” – există doar relația pe care o reprezintă (un surplus/deficit de vaci). Am creat un model de „număr negativ” pentru a vă ajuta la contabilitate, chiar dacă nu puteți ține în mână -3 vaci. (Am folosit intenționat o interpretare diferită a ceea ce înseamnă „negativ”: este un sistem de numărare diferit, la fel cum cifrele romane și zecimalele sunt sisteme de numărare diferite.)

Apropo, numerele negative nu au fost acceptate de mulți oameni, inclusiv de matematicienii occidentali, până în anii 1700. Ideea unui număr negativ era considerată „absurdă”. Numerele negative par într-adevăr ciudate dacă nu poți vedea cum reprezintă relații complexe din lumea reală, cum ar fi datoriile.

De ce atâta filosofie?

Am realizat că **mindset-ul meu este cheia învățării. **Ea m-a ajutat să ajung la înțelegeri profunde, în special:

• Cunoașterea faptică nu înseamnă înțelegere. A ști că „ciocanele scot cuie” nu este același lucru cu înțelegerea că orice obiect dur (o piatră, o cheie) poate scoate un cui.
• Păstrați-vă o minte deschisă. Dezvoltați-vă intuiția permițându-vă să fiți din nou un începător.

Un profesor universitar a mers să viziteze un celebru maestru Zen. În timp ce maestrul servea liniștit ceaiul, profesorul vorbea despre Zen. Maestrul a turnat ceașca vizitatorului până la refuz, apoi a continuat să toarne. Profesorul a privit ceașca care se revărsa până când nu s-a mai putut abține. „Este prea plină! Nu va mai intra!”, a răbufnit profesorul. „Tu ești ca această ceașcă”, i-a răspuns maestrul, „Cum aș putea să-ți arăt Zen dacă nu-ți golești mai întâi ceașca.”

• Fii creativ. Căutați relații ciudate. Folosiți diagrame. Folosiți umorul. Folosiți analogii. Folosiți mnemotehnica. Folosiți orice lucru care face ideile mai vii. Analogiile nu sunt perfecte, dar ajută atunci când vă luptați cu ideea generală.
• Realizați că puteți învăța. Ne așteptăm ca copiii să învețe algebră, trigonometrie și calcul care i-ar uimi pe grecii antici. Și ar trebui: suntem capabili să învățăm atât de multe, dacă ni se explică corect. Nu vă opriți până când nu are sens, sau acel decalaj matematic vă va bântui. Rezistența mentală este critică – deseori renunțăm prea ușor.

So What’s the Point?

Vreau să împărtășesc ceea ce am descoperit, în speranța că vă ajută să învățați matematică:

• Matematica creează modele care au anumite relații
• Încercăm să găsim fenomene din lumea reală care au aceeași relație
• Modelurile noastre se îmbunătățesc mereu. Poate apărea un nou model care să explice mai bine acea relație (cifre romane în sistemul zecimal).

Sigur, unele modele par să nu aibă nici o utilitate: „La ce folosesc numerele imaginare?”, se întreabă mulți elevi. Este o întrebare validă, cu un răspuns intuitiv.

Utilizarea numerelor imaginare este limitată de imaginația și înțelegerea noastră – la fel cum numerele negative sunt „inutile” dacă nu ai ideea de datorie, numerele imaginare pot fi derutante pentru că nu înțelegem cu adevărat relația pe care o reprezintă.

Matematica oferă modele; înțelegeți relațiile dintre ele și aplicați-le la obiecte din lumea reală.

Dezvoltarea intuiției face ca învățarea să fie distractivă – chiar și contabilitatea nu este rea atunci când înțelegi problemele pe care le rezolvă. Vreau să abordez numerele complexe, calculul și alte subiecte evazive concentrându-mă pe relații, nu pe demonstrații și mecanică.

Dar aceasta este experiența mea — cum învățați cel mai bine? Câțiva prieteni au scris despre experiența lor:

• Ed Latimore: Un boxer te învață cum să devii mai bun la matematică
• Scott Young: Cum să te înveți singur matematică

Alte articole din această serie

1. Dezvoltarea intuiției pentru matematică
2. De ce învățăm matematică?
3. Cum să-ți dezvolți o mentalitate pentru matematică
4. Învățarea matematicii? Gândiți ca un caricaturist.
5. Math As Language: Înțelegerea semnului de egalitate
6. Evitarea Falsității Adjectivului
7. Căutarea unității în războaiele matematice
8. Brevitatea este frumoasă
9. Învățați concepte dificile cu metoda ADEPT
10. Intuiția, detaliile și metafora arcului/frunzei
11. Învățați să învățați: Intuiția nu este opțională
12. Învățați să învățați: Îmbrățișați analogiile
13. Învățând să înveți: Creion, apoi cerneală
14. Învățați să învățați: Abstractizarea matematică
15. Consiliu de învățare: Fixarea factorului limitativ
16. Ghiduri oneste și realiste pentru învățare
17. Matematică bazată pe empatie
18. Studierea unui curs (Machine Learning) cu metoda ADEPT
19. Matematică și analogii
20. Ecuații matematice colorate
21. Analogie: Matematica și gătitul
22. Învățarea matematicii (Mega Man vs. Tetris)