Matematica este un joc al numerelor și numerele sunt peste tot. Iar regula jocului este reprezentată de proprietățile și regulile asociate numerelor. Proprietățile vă ajută să calculați rapid și ușor răspunsurile în minte. Proprietățile nu sunt altceva decât reguli speciale pe care le respectă numerele. Există trei proprietăți de bază ale numerelor la care se supune orice sistem matematic: Proprietățile comutativă, asociativă și distributivă. Aceste proprietăți sunt caracteristici ale celor patru operații (adunare, scădere, înmulțire și împărțire) care se aplică întotdeauna, indiferent de numărul cu care lucrați. Dar în articolul următor vom discuta doar despre proprietățile comutative și asociative.

Atât proprietățile comutative cât și cele asociative sunt reguli care se aplică operațiilor de adunare și înmulțire. Aceste proprietăți sunt legi folosite în algebră pentru a ajuta la rezolvarea problemelor. Proprietatea comutativă provine de la termenul „comutație” care înseamnă deplasare și se referă la posibilitatea de a schimba numerele pe care le adăugați sau le înmulțițiți. Proprietatea asociativă provine de la cuvântul „asocia” sau „grupa” și se referă la gruparea a trei sau mai multe numere cu ajutorul parantezelor, indiferent de modul în care le grupați. Rezultatul rămâne același, indiferent de modul în care regrupați numerele. Să aruncăm o privire asupra celor două proprietăți pentru a înțelege mai bine cum funcționează.

Ce este comutativitatea?

De exemplu; știm că adunarea a 2 și 5 dă același răspuns ca și adunarea a 5 și 2. Ordinea numerelor dintr-o problemă de adunare poate fi schimbată fără a schimba rezultatul. Acest lucru despre numere și adunare se numește proprietatea comutativă a adunării. Așadar, putem spune că adunarea este o operație comutativă. În mod similar, înmulțirea este o operație comutativă.

Proprietatea comutativă a adunării:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 este același lucru cu 4 + 3 = 7

Rezultatul va fi același indiferent de ordinea numerelor.

Proprietatea comutativă a înmulțirii:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 este același lucru cu 7 × 3 = 21

La fel, rezultatul va fi același indiferent de ordinea numerelor.

Ce este asociația?

Asociația este încă o proprietate pe care o folosim are legătură cu re-gruparea. De exemplu, atunci când adunăm 2 + 3 + 5, putem fie să adunăm mai întâi 2 și 3 și apoi să adăugăm 5, fie să adunăm mai întâi 3 și 5 și apoi 2. Din punct de vedere matematic, arată în felul următor: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operațiile care se comportă în acest mod se numesc operații asociative. Rezultatul rămâne același chiar dacă schimbăm gruparea numerelor.

Proprietatea asociativă a adunării:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Rezultatul rămâne același, indiferent de modul în care grupați numerele.

Proprietatea asociativă a înmulțirii:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Înseamnă că gruparea numerelor nu schimbă rezultatul.

Diferența dintre comutativă și asociativă

Semnificația

– Proprietatea comutativă provine de la termenul „commute” care înseamnă „a se deplasa” și se referă la posibilitatea de a schimba numerele pe care le aduni sau le înmulțești indiferent de ordinea numerelor. Proprietatea asociativă, pe de altă parte, provine de la cuvântul „asocia” sau „grupa” și se referă la gruparea a trei sau mai multe numere folosind paranteze, indiferent de modul în care le grupați. Rezultatul va fi același, indiferent de modul în care regrupați numerele sau variabilele.

Regula

– Regula comutativă a adunării afirmă: a + b = b + a, ceea ce înseamnă că adunarea lui a și b dă același rezultat ca și adunarea lui b și a. Ordinele pot fi schimbate fără a schimba rezultatul. Această regulă a adunării se numește proprietatea comutativă a adunării. În mod similar, înmulțirea este o operație comutativă, ceea ce înseamnă că a × b va da același rezultat ca și b × a. Proprietatea asociativă, pe de altă parte, este regula care se referă la gruparea numerelor. Regula asociativă a adunării spune: a + (b + c) este același lucru cu (a + b) + c. La fel, regula asociativă a înmulțirii spune că a × (b × c) este același lucru cu (a × b) × c.

Exemplu

– Proprietatea comutativă a adunării: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Proprietatea comutativă a înmulțirii: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Proprietatea asociativă a adunării: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Proprietatea asociativă a adunării: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Proprietatea asociativă a înmulțirii: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Commutativă vs. asociativă: Tabel comparativ

Rezumat

În câteva cuvinte, proprietatea comutativă nu trebuie confundată cu proprietatea asociativă. Proprietatea comutativă afirmă că este în regulă schimbarea ordinii numerelor în operațiile de adunare și înmulțire, deoarece rezultatul va fi același, indiferent de ordine. Proprietatea asociativă, pe de altă parte, afirmă că rezultatul va fi același, indiferent de modul în care grupați numerele sau variabilele în operațiile de adunare/multiplicare.