Evenimente care se exclud reciproc și care nu se exclud reciproc
În exercițiul anterior, ați învățat că puteți calcula probabilități dificile făcând o simulare și folosind Legea numerelor mari. Probabilitățile teoretice pot fi calculate folosind mai multe strategii diferite, în funcție de situație.
Evenimentele care se exclud reciproc sunt evenimente care nu se pot întâmpla în același timp. Exemplele includ: întoarcerea la dreapta și la stânga, numere pare și impare pe un zar, câștigarea și pierderea unui joc sau alergarea și mersul pe jos.
Evenimentele care nu se exclud reciproc sunt evenimente care se pot întâmpla în același timp. Exemplele includ: a conduce și a asculta radioul, numere pare și numere prime pe un zar, a pierde un joc și a înscrie sau a alerga și a transpira.
Evenimentele care nu se exclud reciproc pot face ca calculul probabilității să fie mai complex.
Reflecție la Târgul de Jocuri
Jocați din nou jocul Single Card Flip din Târgul de Jocuri.
Aplicând definiția evenimentelor care se exclud reciproc, rezultatele diferitelor puncte din joc se exclud reciproc sau nu se exclud reciproc?
Treceți ceva timp pentru a scrie câteva gânduri despre cum să calculați probabilitățile.
GamesFair
Descriere lungă
Problema cu înțelegerea probabilității doar ca evenimente care se exclud reciproc este că simplificați aceste evenimente într-un mod în care ele nu sunt menite să fie simplificate. Este aproape la fel de tragic ca și cum ai spune că oamenii nu pot face bine și să facă bani, sau să fie buni la matematică și foarte creativi. Următorul videoclip demonstrează importanța recunoașterii evenimentelor ca neexcluzându-se reciproc.
Diagrame Venn
Aceasta este o diagramă Venn care prezintă toate cărțile dintr-un pachet standard de 52 de cărți. A este setul de cărți fără față.
Diagramele Venn sunt o modalitate de afișare a evenimentelor și pot fi folosite pentru a afișa situații simple când are loc un singur eveniment.
De asemenea, ele pot fi folosite pentru a afișa evenimente multiple.
Ele sunt deosebit de utile atunci când se afișează evenimente care nu se exclud reciproc.
În această activitate le veți folosi pentru a afișa 2 sau 3 evenimente la un moment dat pentru a analiza relația dintre evenimente.
Intersecția de seturi
Considerați diagrama Venn pentru întrebarea 50 de pacienți din Minds On.
Utilizăm notația 
ca „Intersecție” a celor două seturi, un element în A și B.
În acest exemplu, 
reprezintă suprapunerea simptomelor, sau pacienții care au atât dureri de cap „ȘI” simptome de gripă.
Voi ajunge să cunoașteți intersecția ca fiind cuvântul „ȘI”.
Înregistrează-ți activitatea
V-a fost cerut să aflați câte persoane se află în categoria „ȘI” pentru a calcula probabilitatea ca un pacient să aibă ambele simptome. Stați liniștiți, există un singur mod de a face acest lucru.
Utilizați interactivul de mai jos pentru a crea o diagramă Venn pentru a afla numărul de persoane care au ambele simptome din exemplu.
La începutul sezonului de gripă, un medic examinează 50 de pacienți pe parcursul a două zile. 30 au dureri de cap, 24 au răceală, 12 nu au niciuna dintre ele. Unii pacienți au ambele simptome. Care este probabilitatea ca un pacient oarecare să aibă ambele simptome?
VennDiagramă
Descriere lungă
|
În cuvinte |
În cuvinte |
în Simboluri |
În Simboluri |
|---|---|---|---|
|
Tot roșu |
n(A) = |
P(A) = |
|
|
Toate numerele |
n(B) = |
P(B) = |
P(B) = |
|
Toate cărțile |
n(S) = |
P(S) = |
|
|
Intersecție: Atât număr cât și roșu |
|
|
|
|
Doar roșu (cărți roșii care nu sunt cărți cu numere) |
|
|
|
|
Only Number (cărți cu numere care nu sunt cărți roșii) |
|
|
|
|
Union: Red or Number |
|
|
|
|
Everything else |
.
|
|
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Principiul incluziunii-Excludere
Considerați Diagrama Venn. Dacă adăugați n(A) și n(B), numărați partea de intersecție de două ori. Nu ar trebui să numărați niciodată un element de două ori pentru a afla câte aveți. Dacă l-ați numărat de două ori, există o modalitate ușoară de a corecta acest lucru: scădeți-l o dată.
Principiul de includere-excludere este o formulă/idee utilă atunci când se determină probabilitățile și este utilizat pentru evenimente care nu se exclud reciproc.
Se poate scrie în felul următor:
sau, în cuvinte: numărul de elemente din A „SAU” B este egal cu numărul de elemente din A plus numărul de elemente din B minus numărul de elemente din B minus numărul de elemente din A „ȘI” B.
Aplicați învățarea
Utilizați formula care reprezintă principiul de includere-excludere pentru a rezolva problema inițială:
La începutul sezonului de gripă, un medic examinează 50 de pacienți în două zile. 30 au dureri de cap, 24 sunt răciți, iar 12 nu au niciuna dintre ele. Unii pacienți au ambele simptome. Care este probabilitatea ca un pacient oarecare să aibă ambele simptome?
Arătați pașii din soluție și explicați (definiție: Aveți timp să scrieți explicații pentru orice lucru care nu este evident sau care a necesitat o anumită gândire și care altfel nu este arătat.) răspunsul dumneavoastră.
Soluție
- 8 au doar o răceală,
- 14 au doar o durere de cap,
- 16 au ambele. Trei evenimente, deși mai complicate, pot fi, de asemenea, folosite într-o Diagramă Venn. Dacă se aplică strategia adecvată, acest lucru poate fi realizat într-un mod eficient.
Exemplu
Departamentul de servicii pentru elevi de la Eastside Secondary dorește să numere numărul de elevi din clasa a 12-a. Ei știu că fiecare elev urmează cursurile de matematică, engleză sau științe. Ei au constatat că:
- 64 elevi urmează cursurile de Matematică
- 56 elevi urmează cursurile de Engleză
- 82 elevi urmează cursurile de Științe
- 20 elevi urmează cursurile de Matematică și Engleză
- 25 elevi urmează cursurile de Matematică și Științe
- 21 elevi urmează cursurile de Engleză și Științe
- 12 elevi urmează toate cele trei cursuri.
Creați o diagramă Venn cu trei evenimente asemănătoare cu cea de mai jos. Completați fiecare secțiune a diagramei Venn, acordând o atenție deosebită ca fiecare student să se regăsească într-o singură categorie.
- Câți studenți sunt în total?
- Care este probabilitatea ca un student aleator să se înscrie la matematică și la științe?
- Care este probabilitatea ca un student aleator să se înscrie la matematică sau la științe?
- Care este probabilitatea ca un student să se înscrie la exact 2 din cele 3?
Soluție
- 12 la toate trei,
- 9 la E și S, dar nu și la M,
- 13 în M și S dar nu și în E,
- 8 în M și E dar nu și în S,
- 48 doar în S,
- 27 doar în E,
- 31 doar în M.
Pentru ajutor la această întrebare, consultați următorul exemplu similar.