Geometria sistemelor hamiltonieneEdit

Hamiltonianul poate induce o structură simplectică pe o mulțime netedă cu dimensiuni egale M2n în mai multe moduri diferite, dar echivalente, dintre care cele mai cunoscute sunt următoarele:

Ca o formă 2 simplectică închisă nedegenerată ω. Conform teoremei lui Darboux, într-o mică vecinătate în jurul oricărui punct de pe M în coordonate locale adecvate p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}}.

există forma simplectică ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}}

Coordonatele locale p, q se numesc atunci canonice sau simplectice.

Forma ω {\displaystyle \omega }

permite construirea unui izomorfism natural T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}

a spațiului tangent T x M {\displaystyle T_{x}M}

și spațiul cotangent T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M.}

Acest lucru se face prin maparea unui vector ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \in T_{x}M}

la forma 1 ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

unde ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

pentru un η arbitrar ∈ T x M . {\displaystyle \eta \in T_{x}M.}

Datorită biliniarității și nedegenerării lui ω , {\displaystyle \omega ,}

și a faptului că d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {\rm {dim}}. T_{x}^{*}M,}

cartografierea ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}

este într-adevăr un izomorfism liniar. Acest izomorfism este natural în sensul că nu se modifică la schimbarea coordonatelor pe M . {\displaystyle M.}

Repetând pentru fiecare x ∈ M , {\displaystyle x\în M,}

ajungem la un izomorfism J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\ la \Omega ^{1}(M)}

între spațiul infinit-dimensional al câmpurilor vectoriale netede și cel al formelor 1 netede. Pentru orice f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\în C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

și ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \ în {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(În termeni algebrici, se va spune că C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-modulele Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

și Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

sunt izomorfe). Dacă H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

atunci, pentru orice t ∈ R t fixat , {\displaystyle t\în \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\în \Omega ^{1}(M),}

și J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\în {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

este cunoscut ca un câmp vectorial hamiltonian. Ecuația diferențială respectivă pe M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

se numește ecuația lui Hamilton. Aici x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

și J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\în T_{x}M}

este valoarea (în funcție de timp) a câmpului vectorial J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

la x ∈ M . {\displaystyle x\în M.}

Un sistem hamiltonian poate fi înțeles ca un fascicul de fibre E pe timpul R, cu fibrele Et, t ∈ R, reprezentând spațiul de poziție. Lagrangianul este astfel o funcție pe fasciculul de jeturi J peste E; luând transformata Legendre pe fibre a lagrangianului produce o funcție pe fasciculul dual peste timp a cărui fibră la t este spațiul cotangent T∗Et, care vine echipat cu o formă simplectică naturală, iar această din urmă funcție este hamiltonianul. Corespondența dintre mecanica lagrangiană și cea hamiltoniană se realizează cu ajutorul formei unice tautologice.

Orice funcție netedă cu valori reale H pe o mulțime simplectică poate fi folosită pentru a defini un sistem hamiltonian. Funcția H este cunoscută sub numele de „Hamiltonianul” sau „funcția de energie”. Mulțimea simplectică se numește atunci spațiu de fază. Hamiltonianul induce un câmp vectorial special pe mulțimea simplectică, cunoscut sub numele de câmp vectorial hamiltonian.

Câmpul vectorial hamiltonian induce un flux hamiltonian pe mulțimea respectivă. Acesta este o familie cu un singur parametru de transformări ale manifoldului (parametrul curbelor este numit în mod obișnuit „timp”); cu alte cuvinte, o izotopie de simplectomorfisme, începând cu identitatea. Prin teorema lui Liouville, fiecare simplectomorfism conservă forma de volum pe spațiul de fază. Ansamblul simplectomorfismelor induse de curgerea hamiltoniană se numește în mod obișnuit „mecanica hamiltoniană” a sistemului hamiltonian.

Structura simplectică induce o paranteză Poisson. Suportul Poisson conferă spațiului funcțiilor de pe mulțime structura unei algebre Lie.

Dacă F și G sunt funcții netede pe M, atunci funcția lină ω2(IdG, IdF) este definită corespunzător; se numește suport Poisson al funcțiilor F și G și se notează {F, G}. Bracketul Poisson are următoarele proprietăți:

1. bilinearitate
2. antisimetrie
4. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (regula lui Leibniz)

5. { { H , F } , G } + { { F , G } , H } + { { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \\{\{H,F\},G\}+\{\{{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (identitatea lui Jacobi)

6. ne-degenerare: dacă punctul x de pe M nu este critic pentru F, atunci există o funcție netedă G astfel încât { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Dată o funcție f

d d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d}} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}

dacă există o distribuție de probabilitate, ρ, atunci (deoarece viteza spațială de fază ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}

are divergență zero și probabilitatea este conservată) se poate demonstra că derivata sa convectivă este zero și deci ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}

Aceasta se numește teorema lui Liouville. Orice funcție netedă G pe mulțimea simplectică generează o familie de simplectomorfisme cu un singur parametru și dacă {G, H} = 0, atunci G este conservat și simplectomorfismele sunt transformări de simetrie.

Un hamiltonian poate avea mai multe mărimi conservate Gi. Dacă mulțimea simplectică are dimensiunea 2n și există n mărimi conservate Gi independente din punct de vedere funcțional care sunt în involuție (adică, {Gi, Gj} = 0), atunci Hamiltonianul este integrabil Liouville. Teorema Liouville-Arnold spune că, la nivel local, orice hamiltonian integrabil Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un nou hamiltonian cu mărimile conservate Gi ca coordonate; noile coordonate se numesc coordonate de unghi de acțiune. Hamiltonianul transformat depinde doar de Gi și, prin urmare, ecuațiile de mișcare au forma simplă

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

pentru o anumită funcție F. Există un întreg domeniu care se concentrează asupra abaterilor mici de la sistemele integrabile guvernate de teorema KAM.

Integrabilitatea câmpurilor vectoriale hamiltoniene este o problemă deschisă. În general, sistemele hamiltoniene sunt haotice; conceptele de măsură, completitudine, integrabilitate și stabilitate sunt slab definite.

Mulțimi riemannieneEdit

Un caz special important constă în acei hamiltonieni care sunt forme pătratice, adică, Hamiltonieni care pot fi scriși ca

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}}.

unde ⟨ , ⟩q este un produs interior care variază lin pe fibrele T∗
qQ, spațiul cotangent la punctul q din spațiul de configurație, numit uneori cometric. Acest hamiltonian constă în întregime din termenul cinetic.

Dacă se consideră o mulțime riemanniană sau o mulțime pseudo-riemanniană, metrica riemanniană induce un izomorfism liniar între fasciculele tangente și cotangente. (A se vedea Izomorfism muzical). Folosind acest izomorfism, se poate defini o cometrică. (În coordonate, matricea care definește cometricul este inversa matricei care definește metrica). Soluțiile ecuațiilor Hamilton-Jacobi pentru acest hamiltonian sunt atunci aceleași cu geodezicele de pe manifold. În special, fluxul hamiltonian în acest caz este același lucru cu fluxul geodezic. Existența unor astfel de soluții și caracterul complet al setului de soluții sunt discutate în detaliu în articolul despre geodezice. Vezi și Geodezicele ca fluxuri hamiltoniene.

Mulțimi sub-RiemannieneEdit

Când cometricul este degenerat, atunci nu este inversabil. În acest caz, nu se are o mulțime Riemanniană, deoarece nu se are o metrică. Cu toate acestea, Hamiltonianul există în continuare. În cazul în care cometricul este degenerat în fiecare punct q al mulțimii Q a spațiului de configurație, astfel încât rangul cometricului să fie mai mic decât dimensiunea mulțimii Q, avem o mulțime sub-Riemanniană.

Hamiltonianul în acest caz este cunoscut sub numele de Hamiltonian sub-Riemannian. Orice astfel de hamiltonian determină în mod unic cometricul și invers. Aceasta implică faptul că fiecare mulțime sub-Riemanniană este determinată în mod unic de Hamiltonianul său sub-Riemannian și că invers este adevărat: fiecare mulțime sub-Riemanniană are un Hamiltonian sub-Riemannian unic. Existența geodezicilor sub-Riemanniene este dată de teorema Chow-Rashevskii.

Grupul Heisenberg continuu, cu valori reale, oferă un exemplu simplu de manifold sub-Riemannian. Pentru grupul Heisenberg, hamiltonianul este dat de

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz nu este implicat în hamiltonian.

Algebrele PoissonEdit

Sistemele hamiltoniene pot fi generalizate în diverse moduri. În loc să se privească pur și simplu algebra funcțiilor netede pe o mulțime simplectică, mecanica hamiltoniană poate fi formulată pe algebre Poisson reale unitale comutative generale. O stare este o funcție liniară continuă pe algebra Poisson (echipată cu o anumită topologie adecvată) astfel încât, pentru orice element A algebrei, A2 se mapează la un număr real nenegativ.

O altă generalizare este dată de dinamica Nambu.

Generalizare la mecanica cuantică prin paranteza PoissonEdit

Ecuațiile lui Hamilton de mai sus funcționează bine pentru mecanica clasică, dar nu și pentru mecanica cuantică, deoarece ecuațiile diferențiale discutate presupun că se poate specifica poziția și momentul exact al particulei simultan în orice moment în timp. Cu toate acestea, ecuațiile pot fi în continuare generalizate pentru a fi apoi extinse pentru a se aplica atât la mecanica cuantică, cât și la mecanica clasică, prin deformarea algebrei Poisson peste p și q în algebra parantezelor Moyal.

În mod specific, forma mai generală a ecuației lui Hamilton se citește

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}

unde f este o funcție a lui p și q, iar H este Hamiltonianul. Pentru a afla regulile de evaluare a unei paranteze Poisson fără a recurge la ecuații diferențiale, a se vedea Algebra Lie; o paranteză Poisson este numele parantezei Lie într-o algebră Poisson. Aceste paranteze Poisson pot fi apoi extinse la paranteze Moyal care se comportă cu o algebră Lie neechivalentă, așa cum a demonstrat Hilbrand J. Groenewold, și descriu astfel difuzia mecanică cuantică în spațiul de fază (a se vedea formularea spațiului de fază și transformarea Wigner-Weyl). Această abordare mai algebrică nu numai că permite, în cele din urmă, extinderea distribuțiilor de probabilitate în spațiul de fază la distribuții de cvasi-probabilitate Wigner, dar, la simplul cadru clasic al parantezei Poisson, oferă, de asemenea, mai multă putere în a ajuta la analiza cantităților conservate relevante într-un sistem.

.