În acest articol veți învăța despre probleme de permutări și combinații: Definiție, formule, exemple rezolvate și un test cu întrebări practice.

Permutații

Definiție

Permutațiile sunt diferitele moduri în care poate fi aranjată o colecție de elemente.

De exemplu:

Diferitele moduri în care pot fi grupate alfabetele A, B și C, luate la un loc, sunt ABC, ACB, BCA, BCA, CBA, CAB, BAC.

Rețineți că ABC și CBA nu sunt identice, deoarece ordinea de aranjare este diferită. Aceeași regulă se aplică la rezolvarea oricărei probleme de Permutații.

Numărul de moduri în care pot fi aranjate n lucruri, luate toate odată, nPn = n!, se numește „factorialul lui n.”

Formula factorială

Factorialul unui număr n se definește ca fiind produsul tuturor numerelor de la n la 1.

De exemplu, factorialul lui 5, 5! = 5*4*3*3*2*1 = 120.

Din acest motiv, numărul de moduri în care pot fi aranjate cele 3 litere, luate la un loc, este 3! = 3*2*1 = 6 moduri.

Numărul permutărilor a n lucruri, luate r la un loc, se notează cu:

nPr = n! / (n-r)!

De exemplu:

Diferitele moduri în care pot fi aranjate cele 3 litere, luate câte 2 la un moment dat, este 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 moduri.

Formule importante de permutare

1! = 1

0! = 1
Să vedem câteva exemple:

Problema 1: Aflați numărul de cuvinte, cu sau fără sens, care se pot forma cu literele cuvântului „CHAIR”.

Soluție:

‘CHAIR’ conține 5 litere.

Din acest motiv, numărul de cuvinte care se pot forma cu aceste 5 litere = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problema 2: Găsiți numărul de cuvinte, cu sau fără sens, care se pot forma cu literele cuvântului ‘INDIA’.

Soluție:

Cuvântul ‘INDIA’ conține 5 litere, iar ‘I’ apare de două ori.

Când o literă apare de mai multe ori într-un cuvânt, împărțim factorialul numărului tuturor literelor din cuvânt la numărul de apariții ale fiecărei litere.

Din acest motiv, numărul de cuvinte formate de „INDIA” = 5!/2! = 60.

Problema 3: Aflați numărul de cuvinte, cu sau fără sens, care pot fi formate cu literele cuvântului „ÎNOT?”

Soluție:

Cuvântul „ÎNOT” conține 8 litere. Dintre acestea, I apare de două ori și M apare de două ori.

Din acest motiv, numărul de cuvinte formate cu acest cuvânt = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problema 4: Câte cuvinte diferite se pot forma cu literele cuvântului „SUPER” astfel încât vocalele să se întâlnească întotdeauna?

Soluție:

Cuvântul „SUPER” conține 5 litere.

Pentru a afla numărul de permutări care se pot forma în care cele două vocale U și E vin împreună.

În aceste cazuri, grupăm literele care ar trebui să vină împreună și considerăm acel grup ca fiind o singură literă.

Deci, literele sunt S,P,R, (UE). Acum, numărul cuvintelor este 4.

Deci, numărul de moduri în care pot fi aranjate 4 litere este 4!

În U și E, numărul de moduri în care U și E pot fi aranjate este 2!

În consecință, numărul total de moduri în care pot fi aranjate literele din „SUPER” astfel încât vocalele să fie întotdeauna împreună este 4! * 2! = 48 de moduri.

Problema 5: Aflați numărul de cuvinte diferite care pot fi formate cu literele cuvântului ‘BUTTER’ astfel încât vocalele să fie întotdeauna împreună.

Soluție:

Cuvântul ‘BUTTER’ conține 6 litere.

Letrele U și E trebuie să fie întotdeauna împreună. Deci literele sunt B, T, T, T, R, (UE).

Numărul de moduri în care pot fi aranjate literele de mai sus = 5!/2! = 60 (deoarece litera ‘T’ se repetă de două ori).

Numărul de moduri în care pot fi aranjate literele U și E = 2! = 2 moduri

Din acest motiv, numărul total de permutări posibile = 60*2 = 120 moduri.
Problema 6: Aflați numărul de permutări ale literelor din cuvântul „RĂMÂNE” astfel încât vocalele să apară întotdeauna în locuri impare.

Soluție:

Cuvântul ‘REMAINS’ are 7 litere.

Care conține 4 consoane și 3 vocale.

Scrierea în felul următor ușurează rezolvarea acestui tip de întrebări.

(1) (2) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Nr. de moduri în care 3 vocale pot apărea în 4 locuri diferite = 4P3 = 24 de moduri.

După ce 3 vocale ocupă 3 locuri, nr. de moduri în care 4 consoane pot ocupa 4 locuri = 4P4 = 4! = 24 de moduri.

Din acest motiv, numărul total de permutări posibile = 24*24 = 576 de moduri.

Combinații Definiție Diferitele selecții posibile dintr-o colecție de elemente se numesc combinații.

De exemplu:

Diferitele selecții posibile din alfabetele A, B, C, luate câte 2 la un loc, sunt AB, BC și CA.

Nu contează dacă selectăm A după B sau B după A. Ordinea de selecție nu este importantă în combinații.

Pentru a afla numărul de combinații posibile dintr-un anumit grup de elemente n, luate r la un moment dat, formula, notată cu nCr este

nCr = n! /

De exemplu, verificând exemplul de mai sus, diferitele selecții posibile din alfabetele A, B, C, luate câte două deodată sunt

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 selecții posibile (de ex, AB, BC, CA)

Formule importante de combinare

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Numărul de selecții posibile cu A, B, C, luate toate deodată este 3C3 = 1 (i.e. ABC)

Exemple rezolvate de combinații

Să analizăm câteva exemple pentru a înțelege cum funcționează combinațiile:

Problema 1: În câte moduri se poate forma un comitet format din 1 bărbat și 3 femei dintr-un grup de 3 bărbați și 4 femei?

Soluție:

Numărul de moduri în care poate fi ales 1 bărbat dintr-un grup de 3 bărbați = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 moduri.

Nr. de moduri în care pot fi selectate 3 femei dintr-un grup de 4 femei = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 moduri.

Problema 2: Dintr-un set de 5 bile negre și 3 bile roșii, câte selecții de 5 bile se pot face astfel încât cel puțin 3 dintre ele să fie bile negre.

Soluție:

Să se selecteze cel puțin 3 bile negre dintr-un set de 5 bile negre într-o selecție totală de 5 bile pot fi

3 bile B și 2 bile R

4 bile B și 1 R și

5 bile B și 0 bile R.

În consecință, expresia soluției noastre arată astfel:
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 moduri .

Problema 3: Câte numere de 4 cifre divizibile cu 10 pot fi formate din numerele 3, 5, 7, 8, 9, 0 astfel încât nici un număr să nu se repete?

Soluție:

Dacă un număr este divizibil cu 10, locul unităților sale trebuie să conțină un 0.
_ _ _ _ _ 0

După ce 0 este plasat în locul unităților, locul zecilor poate fi umplut cu oricare dintre celelalte 5 cifre.

Selectarea unei cifre din 5 cifre se poate face în 5C1 = 5 moduri.

După ce umplem locul zecilor, rămânem cu 4 cifre. Selectarea unei cifre din 4 cifre se poate face în 4C1 = 4 moduri.

După completarea locului sutelor, locul miilor poate fi completat în 3C1 = 3 moduri.

Prin urmare, totalul combinațiilor posibile = 5*4*3 = 60.

Proba de permutări și combinații

Încercați aceste probleme practice.

.