Las matemáticas utilizan reglas inventadas para crear modelos y relaciones. Cuando aprendo, me pregunto:

• ¿Qué relación representa este modelo?
• ¿Qué elementos del mundo real comparten esta relación?
• ¿Tiene sentido para mí esa relación?

Son preguntas sencillas, pero me ayudan a entender nuevos temas. Si te han gustado mis posts sobre matemáticas, este artículo recoge mi enfoque de esta asignatura tan denostada. Muchas personas han dejado comentarios perspicaces sobre sus dificultades con las matemáticas y los recursos que les ayudaron.

Educación matemática

Los libros de texto rara vez se centran en la comprensión; se trata sobre todo de resolver problemas con fórmulas de «enchufar y tirar». Me entristece que ideas tan hermosas reciban un tratamiento tan rutinario:

• El Teorema de Pitágoras no es sólo sobre triángulos. Trata de la relación entre formas similares, la distancia entre cualquier conjunto de números y mucho más.
• e no es sólo un número. Se trata de las relaciones fundamentales entre todas las tasas de crecimiento.
• El logaritmo natural no es sólo una función inversa. Se trata de la cantidad de tiempo que las cosas necesitan para crecer.

Las reflexiones elegantes y «¡ja!» deberían ser nuestro objetivo, pero dejamos que los estudiantes se topen con ellas al azar. Desde entonces, he querido encontrar y compartir esas epifanías para evitar que otros sufran el mismo dolor.

Pero esto funciona en ambos sentidos: quiero que tú también compartas tus ideas conmigo. Hay más comprensión, menos dolor, y todos ganan.

Las matemáticas evolucionan con el tiempo

Considero las matemáticas como una forma de pensar, y es importante ver cómo se desarrolló ese pensamiento en lugar de mostrar sólo el resultado. Intentemos un ejemplo.

Imagina que eres un cavernícola haciendo matemáticas. Uno de los primeros problemas será cómo contar cosas. Se han desarrollado varios sistemas a lo largo del tiempo:

Ningún sistema es correcto, y cada uno tiene ventajas:

• Sistema unario: Dibujar líneas en la arena… lo más sencillo posible. Ideal para llevar la cuenta en los juegos; se puede añadir a un número sin tener que borrar y reescribir.
• Números romanos: Unario más avanzado, con atajos para números grandes.
• Decimales: Enorme realización de que los números pueden usar un sistema «posicional» con lugar y cero.
• Binario: Sistema posicional más simple (dos dígitos, encendido vs apagado) por lo que es genial para dispositivos mecánicos.
• Notación Científica: Extremadamente compacta, puede medir fácilmente el tamaño y la precisión de un número (1E3 vs 1.000E3).

¿Crees que hemos terminado? De ninguna manera. Dentro de 1000 años tendremos un sistema que hará que los números decimales parezcan tan pintorescos como los números romanos («Por Jorge, ¿cómo se las arreglaban con herramientas tan torpes?»).

Los números negativos no son tan reales

Pensemos un poco más en los números. El ejemplo anterior muestra que nuestro sistema numérico es una de las muchas formas de resolver el problema de «contar».

Los romanos considerarían extraños el cero y las fracciones, pero eso no significa que la «nada» y la «parte al todo» no sean conceptos útiles. Pero vea cómo cada sistema incorporó nuevas ideas.

Las fracciones (1/3), los decimales (.234) y los números complejos (3 + 4i) son formas de expresar nuevas relaciones. Puede que ahora no tengan sentido, igual que el cero no tenía «sentido» para los romanos. Necesitamos nuevas relaciones del mundo real (como la deuda) para que encajen.

Incluso entonces, los números negativos pueden no existir de la forma en que pensamos, como me convences aquí:

Tú: Los números negativos son una gran idea, pero no existen intrínsecamente. Es una etiqueta que aplicamos a un concepto.

Yo: Claro que existen.

Tú: Ok, muéstrame -3 vacas.

Yo: Bueno, um… asume que eres un granjero, y que has perdido 3 vacas.

Tú: Ok, tienes cero vacas.

Yo: No, me refiero a que le diste 3 vacas a un amigo.

Tú: Vale, él tiene 3 vacas y tú tienes cero.

Yo: No, me refiero a que algún día te las va a devolver. Te lo debe.

Tú: Ah. Entonces el número real que tengo (-3 o 0) depende de si creo que me los va a devolver. No me había dado cuenta de que mi opinión cambiaba la forma de contar. En mi mundo, tenía cero todo el tiempo.

Yo: Suspiro. No es así. Cuando te devuelve las vacas, pasas de -3 a 3.

Tú: Vale, ¿entonces te devuelve 3 vacas y saltamos 6, de -3 a 3? Alguna otra aritmética nueva que deba conocer? ¿Cómo es el sqrt(-17) de las vacas?

Yo: Fuera.

Los números negativos pueden expresar una relación:

• Los números positivos representan un excedente de vacas
• El cero representa que no hay vacas
• Los números negativos representan un déficit de vacas que se supone que se devuelven

Pero el número negativo «no está realmente ahí» — sólo existe la relación que representan (un excedente/déficit de vacas). Hemos creado un modelo de «número negativo» para ayudar a la contabilidad, aunque no se puedan tener -3 vacas en la mano. (He utilizado a propósito una interpretación diferente de lo que significa «negativo»: es un sistema de recuento diferente, al igual que los números romanos y los decimales son sistemas de recuento diferentes.)

Por cierto, los números negativos no fueron aceptados por mucha gente, incluidos los matemáticos occidentales, hasta el año 1700. La idea de un negativo se consideraba «absurda». Los números negativos parecen extraños a menos que puedas ver cómo representan relaciones complejas del mundo real, como la deuda.

¿Por qué tanta filosofía?

Me di cuenta de que mi **conjunto de ideas es clave para el aprendizaje. **Me ayudó a llegar a conocimientos profundos, concretamente:

• El conocimiento de los hechos no es la comprensión. Saber que «los martillos clavan clavos» no es lo mismo que la idea de que cualquier objeto duro (una piedra, una llave inglesa) puede clavar un clavo.
• Mantén la mente abierta. Desarrolla tu intuición permitiéndote volver a ser un principiante.

Un profesor universitario fue a visitar a un famoso maestro zen. Mientras el maestro servía tranquilamente el té, el profesor hablaba del Zen. El maestro sirvió la taza del visitante hasta el borde, y luego siguió sirviendo. El profesor observó la taza rebosante hasta que no pudo contenerse más. «¡Está llena! No va a entrar más!», soltó el profesor. «Tú eres como esta copa», respondió el maestro, «¿Cómo puedo mostrarte el Zen si primero no vacías tu copa?»

• Sé creativo. Busca relaciones extrañas. Utiliza diagramas. Utiliza el humor. Use analogías. Utilice mnemotecnia. Utilice cualquier cosa que haga que las ideas sean más vívidas. Las analogías no son perfectas, pero ayudan cuando se lucha con la idea general.
• Date cuenta de que puedes aprender. Esperamos que los niños aprendan álgebra, trigonometría y cálculo que asombrarían a los antiguos griegos. Y deberíamos: somos capaces de aprender mucho, si se nos explica correctamente. No te detengas hasta que tenga sentido, o esa laguna matemática te perseguirá. La fortaleza mental es fundamental: a menudo nos rendimos con demasiada facilidad.

Entonces, ¿qué sentido tiene?

Quiero compartir lo que he descubierto, con la esperanza de que te ayude a aprender matemáticas:

• Las matemáticas crean modelos que tienen ciertas relaciones
• Intentamos encontrar fenómenos del mundo real que tengan la misma relación
• Nuestros modelos siempre están mejorando. Puede aparecer un nuevo modelo que explique mejor esa relación (números romanos al sistema decimal).

Seguro que algunos modelos parecen no tener utilidad: «¿Para qué sirven los números imaginarios?», se preguntan muchos alumnos. Es una pregunta válida, con una respuesta intuitiva.

El uso de los números imaginarios está limitado por nuestra imaginación y comprensión — al igual que los números negativos son «inútiles» a menos que tengas la idea de la deuda, los números imaginarios pueden ser confusos porque no entendemos realmente la relación que representan.

Las matemáticas proporcionan modelos; entiende sus relaciones y aplícalas a los objetos del mundo real.

Desarrollar la intuición hace que el aprendizaje sea divertido — incluso la contabilidad no es mala cuando entiendes los problemas que resuelve. Quiero cubrir los números complejos, el cálculo y otros temas esquivos centrándome en las relaciones, no en las pruebas y la mecánica.

Pero esta es mi experiencia — ¿cómo se aprende mejor? Algunos amigos han escrito su experiencia:

• Ed Latimore: Un boxeador te enseña a mejorar en matemáticas
• Scott Young: Cómo enseñarse a sí mismo matemáticas

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