Las matemáticas son un juego de números y los números están en todas partes. Y la regla del juego son las propiedades y reglas asociadas a los números. Las propiedades te ayudan a calcular respuestas en tu cabeza de forma rápida y sencilla. Las propiedades no son más que reglas especiales que siguen los números. Hay tres propiedades básicas de los números que todo sistema matemático obedece: Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Estas propiedades son características de las cuatro operaciones (sumar, restar, multiplicar y dividir) que siempre se aplican independientemente del número con el que se trabaje. Pero en el siguiente artículo sólo hablaremos de las propiedades conmutativas y asociativas.

Tanto las propiedades conmutativas como las asociativas son reglas que se aplican a las operaciones de suma y multiplicación. Estas propiedades son leyes utilizadas en el álgebra para ayudar a resolver problemas. La propiedad conmutativa viene del término «conmutar» que significa moverse y se refiere a poder intercambiar los números que estás sumando o multiplicando. La propiedad asociativa viene de la palabra «asociar» o «agrupar» y se refiere a la agrupación de tres o más números utilizando paréntesis, independientemente de cómo los agrupes. El resultado sigue siendo el mismo, independientemente de cómo se reagrupen los números. Veamos las dos propiedades para entender mejor cómo funcionan.

¿Qué es conmutativo?

Por ejemplo; sabemos que sumar 2 y 5 da la misma respuesta que sumar 5 y 2. El orden de los números en un problema de adición se puede cambiar sin cambiar el resultado. Esto de los números y la suma se llama propiedad conmutativa de la suma. Por tanto, podemos decir que la suma es una operación conmutativa. Del mismo modo, la multiplicación es una operación conmutativa.

Propiedad conmutativa de la adición:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 es lo mismo que 4 + 3 = 7

El resultado será el mismo independientemente del orden de los números.

Propiedad conmutativa de la multiplicación:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 es lo mismo que 7 × 3 = 21

Así mismo, el resultado será el mismo independientemente del orden de los números.

¿Qué es el asociacionismo?

El asociacionismo es otra propiedad que utilizamos tiene que ver con la reagrupación. Por ejemplo, al sumar 2 + 3 + 5, podemos sumar primero el 2 y el 3 y luego el 5, o podemos sumar primero el 3 y el 5 y luego el 2. Matemáticamente, se ve así: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Las operaciones que se comportan de esta manera se llaman operaciones asociativas. El resultado sigue siendo el mismo aunque cambiemos la agrupación de los números.

Propiedad asociativa de la suma:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

El resultado sigue siendo el mismo, independientemente de cómo se agrupen los números.

Propiedad asociativa de la multiplicación:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Así que la agrupación en los números no cambia el resultado.

Diferencia entre conmutativa y asociativa

Significado

– La propiedad conmutativa viene del término «conmutar» que significa ‘moverse’ y se refiere a poder intercambiar los números que estás sumando o multiplicando sin importar el orden de los mismos. La propiedad asociativa, en cambio, viene de la palabra «asociar» o «agrupar» y se refiere a la agrupación de tres o más números mediante paréntesis, independientemente de cómo los agrupes. El resultado será el mismo, independientemente de cómo se reagrupen los números o las variables.

Regla

– La regla conmutativa de la adición establece, a + b = b + a, lo que significa que la suma de a y b da el mismo resultado que la suma de b y a. Se pueden cambiar los órdenes sin cambiar el resultado. Esta regla de la suma se denomina propiedad conmutativa de la suma. Del mismo modo, la multiplicación es una operación conmutativa, lo que significa que a × b dará el mismo resultado que b × a. La propiedad asociativa, en cambio, es la regla que se refiere a la agrupación de números. La regla asociativa de la adición dice, a + (b + c) es lo mismo que (a + b) + c. Igualmente, la regla asociativa de la multiplicación dice que a × (b × c) es lo mismo que (a × b) × c.

Ejemplo

– La propiedad conmutativa de la adición: 1 + 2 = 2 +1 = 3

La propiedad conmutativa de la multiplicación: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

La propiedad asociativa de la suma: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

La propiedad asociativa de la multiplicación: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Comutativa vs. Asociativa: Cuadro comparativo

Resumen

En pocas palabras, la propiedad conmutativa no debe confundirse con la propiedad asociativa. La propiedad conmutativa establece que está bien cambiar el orden de los números en las operaciones de suma y multiplicación porque el resultado será el mismo, sin importar el orden. La propiedad asociativa, por otro lado, establece que el resultado será el mismo, sin importar cómo se agrupen los números o las variables en las operaciones de adición/multiplicación.