Nous commençons l’étude des équations aux dérivées partielles par le problème du flux de chaleur dans une barre uniforme de longueur \(L\), située sur l’axe \(x\) avec une extrémité à l’origine et l’autre à \(x = L\) (figure \(\PageIndex{1}\)).

Nous supposons que la barre est parfaitement isolée, sauf éventuellement à ses extrémités, et que la température est constante sur chaque section transversale et ne dépend donc que de \(x\) et \(t\). Nous supposons également que les propriétés thermiques de la barre sont indépendantes de \(x\) et \(t\). Dans ce cas, on peut montrer que la température \(u = u(x, t)\) au temps \(t\) en un point \(x\) unités de l’origine satisfait l’équation différentielle partielle

\

où \(a\) est une constante positive déterminée par les propriétés thermiques. C’est l’équation de la chaleur.

Pour déterminer \(u\), nous devons spécifier la température en chaque point de la barre lorsque \(t=0\), disons

\

Nous appelons cela la condition initiale. Nous devons également spécifier les conditions aux limites que \(u\) doit satisfaire aux extrémités de la barre pour tout \(t>0\). Nous appellerons ce problème un problème initial-valeur limite.

Nous commençons par les conditions limites \(u(0,t)=u(L,t)=0\), et écrivons le problème initial-valeur limite comme

Notre méthode de résolution de ce problème est appelée séparation des variables (à ne pas confondre avec la méthode de séparation des variables utilisée dans la section 2.2 pour résoudre les équations différentielles ordinaires). Nous commençons par chercher des fonctions de la forme

\

qui ne sont pas identiquement nulles et satisfont

\

pour tout \((x,t)\). Puisque

\(v_t=a^2v_{xx}\) si et seulement si

que nous réécrivons comme

Puisque l’expression de gauche est indépendante de \(x\) alors que celle de droite est indépendante de \(t\), cette équation peut tenir pour tout \((x,t)\) seulement si les deux côtés sont égaux à la même constante, que nous appelons constante de séparation, et l’écrivons comme \(-\lambda\) ; ainsi,

Ceci est équivalent à

et

Puisque \(v(0,t)=X(0)T(t)=0\) et \(v(L,t)=X(L)T(t)=0\) et que nous ne voulons pas que \(T\) soit identiquement nul, \(X(0)=0\) et \(X(L)=0\). Par conséquent, \(\lambda\) doit être une valeur propre du problème de la valeur limite

\

et \(X\) doit être une fonction propre de \(\lambda\). D’après le théorème 11.1.2, les valeurs propres de l’équation \ref{eq:12.1.3} sont \(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\), avec les fonctions propres associées

\7816>

Substituant \(\lambda=n^2\pi^2/L^2\) dans l’équation \ref{eq:12.1.2} donne

qui a pour solution

Maintenant, laissons

Du fait que

\(v_n\) satisfait l’équation \ref{eq:12.1.1} avec \(f(x)=\sin n\pi x/L\). Plus généralement, si \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) sont des constantes et

\

alors \(u_m\) satisfait l’équation \ref{eq:12.1.1} avec

\

Cela motive la définition suivante.

Nous utilisons le terme « solution formelle » dans cette définition car il n’est pas en général vrai que la série infinie de l’équation \ref{eq :12.1.5} satisfasse effectivement toutes les exigences de l’équation \ref{eq:12.1.4} du problème de la valeur limite initiale lorsque c’est le cas, nous disons qu’il s’agit d’une solution réelle de l’équation \ref{eq:12.1.4}.

En raison des exponentielles négatives de l’équation \ref{eq:12.1.5}, \(u\) converge pour tous les \((x,t)\) avec \(t>0\) (Exercice 12.1.54). Puisque chaque terme de l’équation \ref{eq:12.1.5} satisfait l’équation de la chaleur et les conditions aux limites de l’équation \ref{eq:12.1.4}, \(u\) possède également ces propriétés si \(u_t\) et \(u_{xx}\) peuvent être obtenus en différenciant la série de l’équation \ref{eq:12.1.5} terme par terme une fois par rapport à \(t\) et deux fois par rapport à \(x\), pour \(t>0\). Cependant, il n’est pas toujours légitime de différencier une série infinie terme à terme. Le théorème suivant donne une condition suffisante utile pour la légitimité de la différenciation terme à terme d’une série infinie. Nous omettons la preuve.

Le théorème \(\PageIndex{2}\), appliqué deux fois avec \(z=x\) et une fois avec \(z=t\), montre que \(u_{xx}\) et \(u_t\) peuvent être obtenus en différenciant \(u\) terme à terme si \(t>0\) (Exercice 12.1.54). Par conséquent, \(u\) satisfait l’équation de la chaleur et les conditions aux limites de l’équation \ref{eq:12.1.4} pour \(t>0\). Par conséquent, puisque \(u(x,0)=S(x)\) pour \(0\le x\le L\), \(u\) est une solution réelle de l’équation \ref{eq:12.1.4} si et seulement si \(S(x)=f(x)\) pour \(0\le x\le L\). D’après le théorème 11.3.2, ceci est vrai si \(f\) est continue et lisse par morceaux sur \(\), et \(f(0)=f(L)=0\).

Dans ce chapitre, nous définirons les solutions formelles de plusieurs types de problèmes. Lorsque nous vous demandons de résoudre de tels problèmes, nous voulons toujours dire que vous devez trouver une solution formelle.