Les mathématiques utilisent des règles inventées pour créer des modèles et des relations. Lorsque j’apprends, je me demande :
- Quelle relation ce modèle représente-t-il ?
- Quels éléments du monde réel partagent cette relation ?
- Cette relation a-t-elle un sens pour moi ?
Ce sont des questions simples, mais elles m’aident à comprendre de nouveaux sujets. Si vous avez aimé mes posts sur les mathématiques, cet article couvre mon approche de ce sujet souvent malmené. De nombreuses personnes ont laissé des commentaires perspicaces sur leurs luttes avec les mathématiques et les ressources qui les ont aidées.
Éducation mathématique
Les manuels scolaires se concentrent rarement sur la compréhension ; il s’agit surtout de résoudre des problèmes avec des formules « plug and chug ». Cela m’attriste que de belles idées reçoivent un tel traitement par cœur :
- Le théorème de Pythagore ne concerne pas seulement les triangles. Il concerne la relation entre des formes similaires, la distance entre tout ensemble de nombres, et bien plus encore.
- e n’est pas seulement un nombre. Il s’agit des relations fondamentales entre tous les taux de croissance.
- Le logarithme naturel n’est pas seulement une fonction inverse. Il s’agit de la quantité de temps dont les choses ont besoin pour croître.
Des aperçus élégants, « a ha ! » devraient être notre objectif, mais nous laissons cela aux étudiants pour qu’ils tombent par hasard sur eux-mêmes. J’ai eu un moment « a ha » après une session de bachotage infernale à l’université ; depuis, j’ai voulu trouver et partager ces épiphanies pour épargner aux autres la même douleur.
Mais cela fonctionne dans les deux sens — je veux que vous partagiez des intuitions avec moi, aussi. Il y a plus de compréhension, moins de douleur, et tout le monde gagne.
Les mathématiques évoluent au fil du temps
Je considère les mathématiques comme une façon de penser, et il est important de voir comment cette pensée s’est développée plutôt que de montrer seulement le résultat. Essayons un exemple.
Imaginez que vous êtes un homme des cavernes qui fait des mathématiques. L’un des premiers problèmes sera de savoir comment compter les choses. Plusieurs systèmes se sont développés au fil du temps :
Aucun système n’est juste, et chacun a des avantages :
- Système unaire : Tracez des lignes dans le sable — aussi simple que possible. Idéal pour compter les points dans les jeux ; vous pouvez ajouter à un nombre sans effacer et réécrire.
- Chiffres romains : Unaire plus avancé, avec des raccourcis pour les grands nombres.
- Décimales : Énorme prise de conscience que les nombres peuvent utiliser un système « positionnel » avec place et zéro.
- Binaire : Le système de position le plus simple (deux chiffres, on vs off) donc c’est génial pour les dispositifs mécaniques.
- Notation scientifique : Extrêmement compacte, peut facilement jauger la taille et la précision d’un nombre (1E3 vs 1.000E3).
Vous pensez avoir terminé ? Pas du tout. Dans 1000 ans, nous aurons un système qui rendra les nombres décimaux aussi désuets que les chiffres romains (« Par George, comment ont-ils fait avec des outils aussi maladroits ? »).
Les nombres négatifs ne sont pas si réels
Réfléchissons un peu plus aux nombres. L’exemple ci-dessus montre que notre système numérique est l’une des nombreuses façons de résoudre le problème du « comptage ».
Les Romains considéreraient le zéro et les fractions comme étranges, mais cela ne signifie pas que le « néant » et la « partie à la totalité » ne sont pas des concepts utiles. Mais voyez comment chaque système a intégré de nouvelles idées.
Les fractions (1/3), les décimales (.234) et les nombres complexes (3 + 4i) sont des moyens d’exprimer de nouvelles relations. Ils peuvent ne pas avoir de sens en ce moment, tout comme le zéro n’avait pas de « sens » pour les Romains. Nous avons besoin de nouvelles relations du monde réel (comme la dette) pour qu’ils cliquent.
Même alors, les nombres négatifs peuvent ne pas exister de la manière dont nous le pensons, comme vous me convainquez ici :
Vous : Les nombres négatifs sont une excellente idée, mais n’existent pas intrinsèquement. C’est une étiquette que nous appliquons à un concept.
Moi : Bien sûr qu’ils existent.
Vous : Ok, montrez-moi -3 vaches.
Me : Eh bien, hum… supposons que vous êtes un agriculteur, et que vous avez perdu 3 vaches.
Vous : Ok, vous avez zéro vache.
Me : Non, je veux dire, vous avez donné 3 vaches à un ami.
Vous : Ok, il a 3 vaches et vous en avez zéro.
Moi : Non, je veux dire, il va les rendre un jour. Il te les doit.
Toi : Ah. Donc le chiffre réel que j’ai (-3 ou 0) dépend de si je pense qu’il va me rembourser. Je n’avais pas réalisé que mon opinion changeait la façon de compter. Dans mon monde, j’avais zéro tout le temps.
Moi : Soupir. Ce n’est pas comme ça. Quand il te rend les vaches, tu passes de -3 à 3.
Toi : Ok, donc il rend 3 vaches et on fait un saut de 6, de -3 à 3 ? D’autres nouvelles arithmétiques que je devrais connaître ? A quoi ressemble le sqrt(-17) des vaches ?
Moi : Sortez.
Les nombres négatifs peuvent exprimer une relation :
- Les nombres positifs représentent un surplus de vaches
- Zéro ne représente aucune vache
- Les nombres négatifs représentent un déficit de vaches que l’on suppose être remboursées
Mais le nombre négatif « n’est pas vraiment là » — il n’y a que la relation qu’ils représentent (un surplus/déficit de vaches). Nous avons créé un modèle de « nombre négatif » pour faciliter la comptabilité, même si vous ne pouvez pas tenir trois vaches dans votre main. (J’ai volontairement utilisé une interprétation différente de ce que signifie « négatif » : c’est un système de comptage différent, tout comme les chiffres romains et les décimales sont des systèmes de comptage différents.)
A propos, les nombres négatifs n’étaient pas acceptés par beaucoup de gens, y compris les mathématiciens occidentaux, avant les années 1700. L’idée d’un négatif était considérée comme « absurde ». Les nombres négatifs semblent effectivement étranges à moins que vous puissiez voir comment ils représentent des relations complexes du monde réel, comme la dette.
Pourquoi toute cette philosophie ?
J’ai réalisé que mon **mindset est la clé de l’apprentissage. **Il m’a aidé à arriver à des intuitions profondes, en particulier :
- La connaissance factuelle n’est pas la compréhension. Savoir que « les marteaux enfoncent les clous » n’est pas la même chose que l’intuition que tout objet dur (une pierre, une clé) peut enfoncer un clou.
- Gardez l’esprit ouvert. Développez votre intuition en vous permettant d’être à nouveau un débutant.
Un professeur d’université est allé rendre visite à un célèbre maître zen. Pendant que le maître servait tranquillement le thé, le professeur a parlé du zen. Le maître a versé la tasse du visiteur jusqu’au bord, puis a continué à verser. Le professeur regardait la tasse qui débordait jusqu’à ce qu’il ne puisse plus se retenir. « C’est trop plein ! Il n’y en aura plus ! » s’écria le professeur. « Vous êtes comme cette tasse », répondit le maître, « Comment puis-je vous montrer le zen si vous ne videz pas d’abord votre tasse. »
- Soyez créatif. Cherchez des relations étranges. Utilisez des diagrammes. Utilisez l’humour. Utilisez des analogies. Utilisez des moyens mnémotechniques. Utilisez tout ce qui rend les idées plus vivantes. Les analogies ne sont pas parfaites mais aident quand on a du mal à saisir l’idée générale.
- Réalisez que vous pouvez apprendre. Nous attendons des enfants qu’ils apprennent l’algèbre, la trigonométrie et le calcul qui stupéfieraient les Grecs anciens. Et nous devrions : nous sommes capables d’apprendre tant de choses, si on nous les explique correctement. Ne vous arrêtez pas tant que cela n’a pas de sens, ou cette lacune mathématique vous hantera. La ténacité mentale est essentielle – nous abandonnons souvent trop facilement.
So What’s the Point?
Je veux partager ce que j’ai découvert, en espérant que cela vous aidera à apprendre les mathématiques :
- Les mathématiques créent des modèles qui ont certaines relations
- Nous essayons de trouver des phénomènes du monde réel qui ont la même relation
- Nos modèles s’améliorent toujours. Un nouveau modèle peut arriver qui explique mieux cette relation (chiffres romains vers le système décimal).
Sûr, certains modèles semblent n’avoir aucune utilité : « A quoi servent les nombres imaginaires ? », demandent de nombreux élèves. C’est une question valide, avec une réponse intuitive.
L’utilisation des nombres imaginaires est limitée par notre imagination et notre compréhension — tout comme les nombres négatifs sont « inutiles » à moins que vous ayez l’idée de la dette, les nombres imaginaires peuvent être déroutants parce que nous ne comprenons pas vraiment la relation qu’ils représentent.
Les mathématiques fournissent des modèles ; comprenez leurs relations et appliquez-les à des objets du monde réel.
Développer l’intuition rend l’apprentissage amusant — même la comptabilité n’est pas mauvaise quand vous comprenez les problèmes qu’elle résout. Je veux couvrir les nombres complexes, le calcul et d’autres sujets insaisissables en me concentrant sur les relations, pas sur les preuves et la mécanique.
Mais c’est mon expérience — comment apprenez-vous le mieux ? Quelques amis ont écrit leur expérience :
- Ed Latimore : Un boxeur vous apprend comment devenir meilleur en maths
- Scott Young : Comment s’enseigner les maths
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