Les mathématiques sont un jeu de chiffres et les chiffres sont partout. Et la règle du jeu, ce sont les propriétés et les règles associées aux nombres. Les propriétés t’aident à calculer des réponses dans ta tête rapidement et facilement. Les propriétés ne sont rien d’autre que des règles spéciales que les nombres suivent. Il existe trois propriétés de base des nombres auxquelles tout système mathématique obéit : Les propriétés commutatives, associatives et distributives. Ces propriétés sont des caractéristiques des quatre opérations (ajouter, soustraire, multiplier et diviser) qui s’appliquent toujours, quel que soit le nombre avec lequel vous travaillez. Mais nous ne parlerons que des propriétés commutatives et associatives dans l’article suivant.

Les propriétés commutatives et associatives sont des règles appliquées aux opérations d’addition et de multiplication. Ces propriétés sont des lois utilisées en algèbre pour aider à résoudre des problèmes. La propriété commutative vient du terme « commuter » qui signifie se déplacer et elle fait référence au fait de pouvoir intervertir les nombres que l’on additionne ou multiplie. La propriété associative vient du mot « associate » ou « group » et fait référence au regroupement de trois nombres ou plus à l’aide de parenthèses, quelle que soit la façon dont vous les regroupez. Le résultat reste le même, quelle que soit la façon dont vous regroupez les nombres. Jetons un coup d’œil à ces deux propriétés pour mieux comprendre leur fonctionnement.

Qu’est-ce que la commutativité ?

Par exemple ; nous savons que l’addition de 2 et 5 donne la même réponse que l’addition de 5 et 2. L’ordre des nombres dans un problème d’addition peut être modifié sans changer le résultat. Cette chose concernant les nombres et l’addition est appelée la propriété commutative de l’addition. On peut donc dire que l’addition est une opération commutative. De même, la multiplication est une opération commutative.

Propriété commutative de l’addition:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 est le même que 4 + 3 = 7

Le résultat sera le même quel que soit l’ordre des nombres.

Propriété commutative de la multiplication:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 est identique à 7 × 3 = 21

De même, le résultat sera le même quel que soit l’ordre des nombres.

Qu’est-ce que l’associatif ?

L’associatif est encore une autre propriété que nous utilisons a trait au regroupement. Par exemple, lors de l’addition de 2 + 3 + 5, nous pouvons soit ajouter 2 et 3 d’abord et ensuite ajouter 5, ou nous pouvons ajouter 3 et 5 d’abord et ensuite le 2. Mathématiquement, cela ressemble à ceci : 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Les opérations qui se comportent de cette manière sont appelées opérations associatives. Le résultat reste le même même si on change le regroupement des nombres.

Propriété associative de l’addition:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Le résultat reste le même, peu importe comment on regroupe les nombres.

Propriété associative de la multiplication:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Donc, le regroupement dans les nombres ne change pas le résultat.

Différence entre commutatif et associatif

Message

– La propriété commutative vient du terme « commuter » qui signifie « se déplacer » et elle fait référence au fait de pouvoir intervertir les nombres que l’on additionne ou multiplie quel que soit l’ordre des nombres. La propriété associative, quant à elle, vient du mot « associer » ou « grouper » et elle fait référence au regroupement de trois nombres ou plus à l’aide de parenthèses, quelle que soit la façon dont vous les regroupez. Le résultat sera le même, quelle que soit la façon dont vous regroupez à nouveau les nombres ou les variables.

Règle

– La règle commutative de l’addition stipule, a + b = b + a, ce qui signifie que l’addition de a et b donne le même résultat que l’addition de b et a. Les ordres peuvent être modifiés sans changer le résultat. Cette règle d’addition est appelée la propriété commutative de l’addition. De même, la multiplication est une opération commutative, ce qui signifie que a × b donnera le même résultat que b × a. La propriété associative, quant à elle, est la règle qui fait référence au regroupement des nombres. La règle associative de l’addition dit, a + (b + c) est le même que (a + b) + c. De même, la règle associative de la multiplication dit a × (b × c) est le même que (a × b) × c.

Exemple

– La propriété commutative de l’addition : 1 + 2 = 2 +1 = 3

La propriété commutative de la multiplication : 2 × 3 = 3 × 2 = 6

La propriété associative de l’addition : 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

La propriété associative de la multiplication : 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Commutative vs. Associative : Tableau comparatif

Résumé

En bref, il ne faut pas confondre la propriété commutative avec la propriété associative. La propriété commutative stipule que l’on peut changer l’ordre des nombres dans les opérations d’addition et de multiplication car le résultat sera le même, quel que soit l’ordre. La propriété associative, d’autre part, stipule que le résultat sera le même, peu importe comment vous regroupez le nombre ou les variables dans les opérations d’addition/multiplication.

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