Fonction lagrangienne, aussi appelée lagrangienne, quantité qui caractérise l’état d’un système physique. En mécanique, la fonction lagrangienne est juste l’énergie cinétique (énergie de mouvement) moins l’énergie potentielle (énergie de position).
On peut penser qu’un système physique, passant au fil du temps d’un état ou d’une configuration à un autre, progresse le long d’un chemin d’évolution particulier, et se demander, de ce point de vue, pourquoi il choisit ce chemin particulier parmi tous les chemins imaginables. La réponse est que le système physique additionne les valeurs de sa fonction de Lagrange pour tous les points le long de chaque chemin imaginable, puis choisit le chemin dont le résultat est le plus petit. Cette réponse suggère que la fonction lagrangienne mesure quelque chose d’analogue aux incréments de distance, auquel cas on peut dire, de manière abstraite, que les systèmes physiques empruntent toujours les chemins les plus courts.
Dans le cas particulier d’un rayon lumineux, le chemin des configurations du système est juste le chemin ordinaire de la lumière à travers l’espace, et la fonction lagrangienne se réduit simplement à une mesure du passage du temps. La trajectoire courbe particulière que prend un rayon lumineux à travers une lentille réfringente est donc juste celle qui prend le moins de temps.
Le principe est cependant beaucoup plus général que cela, et c’est une découverte remarquable qu’il semble décrire tous les phénomènes aussi bien, y compris, par exemple, le voyage d’une fusée vers la lune, et la probabilité que des particules subatomiques en collision se dispersent les unes les autres dans des directions choisies.